全国 卷第 题与极值点的第三充分条件
淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点2018全国3卷第21题与极值点的第三充分条件
例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()x
x ax x x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ；
（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a
分析：0=x 是()x f 的极大值点，能够推导出()00'=f ，很自然地应该思考：反过来成立吗？()3
x x f =是一个反例。
研究数学重要的不是否定一个结论，而是能不能修正使得结论成立。
若()00'=f 且()00''<f ，则0=x 是()x f 的极大值点，于是得到极值点的第二充分条件。
定理1：若()x f 在0x x =处有2阶导数，且()0'0=x f ，()0''0≠x f ，则()x f 在0x x =处取得极值，且当()0''0<x f 时取极大值；当()0''0>x f 时取极小值；
如果再追问如果二阶导数也为0呢？研究容易得到极值点的第三充分条件
定理2：若()x f 在0x x =处有n 阶导数，且()()()1,,2,1001-==-n k x f k ，()()00≠x f n ，则
（1）当n 是偶数时，()x f 在0x x =处取得极值，且当()()00<x f n 时取极大值；当()()00>x f n 时取极小值；
（2）当n 是奇数时，()x f 在0x x =处不存在极值.
【解析】()()()21
21ln 21'2
-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f ；()()()+++=1ln 21''x ax x f ()()()
2211431ln 2212+++++=-+++x a ax x x a x ax x ，()00''=f ；()()()32311
662+++-+=x a x ax ax x f ，由()()03=x f 得6
1-=a .下证：当6
1-=a 时，0=x 是()x f 的极大值点.
淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点因为()()()()
331631++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ；当()+∞∈,0x 时，()()00''=<f x f .从而()x f 在()0,1-单增，在()+∞,0单减，所以0=x 是()x f 的极大值点.
评注：当学生学完函数，知道系统性的研究方法，能够从函数的观点来看待问题；当学生研究完一个命题，会很自然地思考：①是否能推广到一般情况；②特殊化之后，能否得到一些常用的结论；③命题有等价形式吗？从数和性两方面来解读，比如函数单增的等价命题有()()02
121>--x x x f x f ，几何意义就是任意两点连线的斜率为正，也有导数为非负数，几何意义是切线斜率为非负数；④反过来，成立吗？即考察一个命题的充分性和必要性。
；⑤不仅能判断一个命题是否成立，还能够去适当地修改，使其为真命题等等。
如果学生能够这样思考，并且有所发现，我们认为学生就具有了很好的学科素养。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷数学参考答案
【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+a b μ+再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-所以(1,1a b λλ+=+-(1,1a b μμ+=+()()a b a b λμ+⊥+可得()()0a b a b λμ+⋅+= )()()()11110λμλμ+++--=整理得：1λμ=-．故选：D ． Df x得ex>上单调递减在12e,-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增OE AC E=∠则tan CAC1Rt ABF 中914,AF a =12cos F AF ∠=所以在12AF F △因为2223F A F B =-所以(又11F A F B ⊥所以1183F A F B c ⎛⋅= ⎝又点A 在C 上则2222254991c t a b -=所以22222225169c b c a a b -=即25整理得422550c c -）3A B +=即π4C =sin sin(B ==2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∥.（2）设(0,2,)(0P λλ则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C =--=--设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 2z =得3,1y x λλ=-=- (1,3,n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,m a b =则22222202m A C a c m D C a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-⎪⎩1a =得1,=b c (1,1,2)m ∴=cos ,6n m n m n m⋅==化简可得2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)或(0,2,3)P0fx则(f x 时()f x 在R 上单调递减；在(),ln a -∞-上单调递减）2133a a =13()6d a +=）{}n b 为等差数列13b b =+即2311)a -=1d >0n a ∴>又9999S T -50502550a a ∴-当12a d =16n p ++=本题第一问直接考查全概率公式的应用后两问的解题关键是根据题意找到递推式然1⎛⎫32.11⎛⎫。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考I ) (解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（ ）A．﹣i B．i C．0D．1【答案】A【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sin cos＝2××＝．故选：B．7．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解答】解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
一元函数极值的三个充分条件
一元函数极值的三个充分条件
一、一元函数极值的第一个充分条件
嘿呀，咱来聊聊一元函数极值的第一个充分条件哦。
你看啊，要是一个函数在某点的导数，在这个点的左边是正的，右边是负的，那这个点就是极大值点呢。
就好比一个人爬山，爬到一个地方的时候，之前一直是往上走（导数为正，函数上升），到了这个点之后就开始往下走了（导数为负，函数下降），那这个点不就是山顶，也就是极大值点嘛。
很有趣吧。
二、一元函数极值的第二个充分条件
再来说说第二个充分条件哈。
要是函数在某个点的一阶导数是0，二阶导数小于0，那这个点就是极大值点；要是二阶导数大于0呢，这个点就是极小值点。
这就好像我们看一个东西的弯曲程度似的，如果它向下弯得很厉害（二阶导数小于0），在一阶导数为0的地方，那就是个极大值点啦；要是向上弯得很厉害（二阶导数大于0），那就是极小值点。
想象一下，一个小坑（极大值点）和一个小丘（极小值点）的样子就好理解啦。
三、一元函数极值的第三个充分条件
最后讲讲第三个充分条件哟。
这个条件相对复杂一点啦。
当一阶导数和二阶导数在某点都为0的时候，我们就要看更高阶的导数了。
如果最低阶的非零导数是奇数阶的，那这个点就不是极值点；如果最低阶的非零导数是偶数阶的，而且这个导数大于0，那这个点就是极小值点，如果这个导数小于0，那这个点就是极大值点。
这就好像在特别复杂的地形里，我们要更细致地去判断哪里是山峰，
哪里是山谷一样。
判断极值点的第三充分条件
判断极值点的第三充分条件判断极值点的第三充分条件引言在数学中，我们经常需要判断函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
其中，第一充分条件是判断极值点的必要条件，而第三充分条件则是判断极值点的额外条件。
本文将介绍判断极值点的第三充分条件及其应用。
第三充分条件的描述判断函数的极值点的第三充分条件可以通过二阶导数来表示。
具体而言，设函数f(x)在某区间上连续，且在该区间的某一点x=a处存在一阶导数f’(a)=0。
若函数在x=a处满足以下条件，则极值点的第三充分条件成立：1.如果f’’(a) > 0，则f(x)在x=a处取得极小值。
2.如果f’’(a) < 0，则f(x)在x=a处取得极大值。
第三充分条件的证明为了了解第三充分条件的证明过程，我们可以回顾二阶导数的几何意义。
二阶导数表示函数曲线的变化率，即曲线的弯曲程度。
当二阶导数为正时，函数曲线在该点凹向上，此时函数取得局部极小值。
反之，当二阶导数为负时，函数曲线在该点凹向下，此时函数取得局部极大值。
因此，第三充分条件能够通过二阶导数的正负确定极值的类型。
应用举例判断函数 f(x)=x3-3x2+4x 的极值点的第三充分条件：1.首先，求导数f’(x)=3x^2-6x+4。
2.求得导数f’(x)=0 的零点，即解方程3x^2-6x+4=0。
求解得x=1±√3/3。
3.然后，求导数的二阶导数f’’(x)=6x-6。
4.将零点x=1±√3/3 代入二阶导数f’‘(x) 中，得到f’’(1±√3/3)=±2√3-6。
5.根据第三充分条件的描述，我们可以得出以下结论：–当f’’(1+√3/3) = 2√3-6 > 0 时，函数 f(x) 在x=1+√3/3 处取得极小值。
–当f’’(1-√3/3) = -2√3-6 < 0 时，函数 f(x) 在x=1-√3/3 处取得极大值。
结论通过判断极值点的第三充分条件，我们可以更准确地确定函数的极值类型。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
全国 卷第 题与极值点的第三充分条件
淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点2018全国3卷第21题与极值点的第三充分条件例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()xx ax x x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ；（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a分析：0=x 是()x f 的极大值点，能够推导出()00'=f ，很自然地应该思考：反过来成立吗？()3x x f =是一个反例。
研究数学重要的不是否定一个结论，而是能不能修正使得结论成立。
若()00'=f 且()00''<f ，则0=x 是()x f 的极大值点，于是得到极值点的第二充分条件。
定理1：若()x f 在0x x =处有2阶导数，且()0'0=x f ，()0''0≠x f ，则()x f 在0x x =处取得极值，且当()0''0<x f 时取极大值；当()0''0>x f 时取极小值；如果再追问如果二阶导数也为0呢？研究容易得到极值点的第三充分条件定理2：若()x f 在0x x =处有n 阶导数，且()()()1,,2,1001-==-n k x f k ，()()00≠x f n ，则（1）当n 是偶数时，()x f 在0x x =处取得极值，且当()()00<x f n 时取极大值；当()()00>x f n 时取极小值；（2）当n 是奇数时，()x f 在0x x =处不存在极值.【解析】()()()2121ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f ；()()()+++=1ln 21''x ax x f ()()()2211431ln 2212+++++=-+++x a ax x x a x ax x ，()00''=f ；()()()32311662+++-+=x a x ax ax x f ，由()()03=x f 得61-=a .下证：当61-=a 时，0=x 是()x f 的极大值点.淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点因为()()()()331631++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ；当()+∞∈,0x 时，()()00''=<f x f .从而()x f 在()0,1-单增，在()+∞,0单减，所以0=x 是()x f 的极大值点.评注：当学生学完函数，知道系统性的研究方法，能够从函数的观点来看待问题；当学生研究完一个命题，会很自然地思考：①是否能推广到一般情况；②特殊化之后，能否得到一些常用的结论；③命题有等价形式吗？从数和性两方面来解读，比如函数单增的等价命题有()()02121>--x x x f x f ，几何意义就是任意两点连线的斜率为正，也有导数为非负数，几何意义是切线斜率为非负数；④反过来，成立吗？即考察一个命题的充分性和必要性。
2021年全国新高考II卷数学试题-【含答案】
2021年全国新高考II卷数学试题-【含答案】2021年全国新高考II卷数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题1.复数2-i和1-3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B=（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=A.1B.2C.22D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。
在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。
将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr^2(1-cosα)（单位：km^2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+123B.282C.562/3D.28/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ^2)，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大。
二、多选题9．下列统计量中，能度量样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的离散程度的是（）A．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的标准差C．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的极差10．如图，在正方体中，$O$为底面的中心，$P$为所在棱的中点，$M$，$N$为正方体的顶点．则满足$MN\perp OP$的是（）A．B．C．D．11．已知直线$l:ax+by-\frac{r}{2}=0$与圆$C:x^2+y^2=r^2$，点$A(a,b)$，则下列说法正确的是（）A．若点$A$在圆$C$上，则直线$l$与圆$C$相切C．若点$A$在圆$C$外，则直线$l$与圆$C$相离12．设正整数$n=a\cdot 2+a_1\cdot 2^2+\dots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中$a_i\in\{0,1\}$，记$\omega(n)=a+a_1+\dots+a_k$．则（）B．$\omega(2n+3)=\omega(n)+1$D．$\omega(2^k-1)=k$C．(8n+5)=(4n+3)第II卷（非选择题）评卷人得分三、填空题14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_________．①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0；③f'(x)是奇函数．15．已知向量a+b+c=，a=1，b=c=2，a·b+b·c+c·a=_______．16．已知函数f(x)=ex-1,x10，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM|/|BN|取值范围是_______．四、解答题17．记Sn是公差不为的等差数列{an}的前n项和，若a3=Sn5，a2an+1=Sn4．1）求数列{an}的通项公式an；2）求使Sn>an成立的n的最小值．18．在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3．1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．20．已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为e．…1.求椭圆C的方程；设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x>0)相切。
【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学
【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题）1．设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10D．﹣22．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}3．若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5B．C．﹣2D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2B．C．1D．25．已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P （﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．6．设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A．B．C．D．8．已知，则＝（）A．B．C．D．9．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”C．“⊥”的充分条件是“x＝0”D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sin A+sin C＝（）A．B．C．D．12．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（共4题）13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．15．已知a＞1，，则a＝．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．（共5题）17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：不合格总计优级品合格品品甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝3a n+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，，FB=，M为AD的中点.（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]（共2题）22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．23．实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．【答案区】1．【答案】A【解析】【解答】解：据题意，，则，，所以故答案为：A.【分析】利用已知条件先求出，再求出的值，代入即可求出结果2．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，，而，利用代入法求解集合B，可得，此时，所以故答案为：D.【分析】根据集合A与集合B的运算求出集合B的所有元素，进而求出A∩B，即可求出∁A（A∩B）的结果.3．【答案】D【解析】【解答】解：据题意，先画出的可行域：如下图所示：法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：，分别将这三点代入z＝x﹣5y，则在A点时，z有最小值为；法二：由化简成：，此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，此时，在可行域内平移直线，在A点时，截距有最大值，此时z有最小值为.故答案为：D.【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果. 4．【答案】B【解析】【解答】解：由S5＝S10，则，化简得：5a1+35d=0，又a5＝1，即解得故答案为：B.【分析】由S5＝S10，a5＝1，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.5．【答案】C【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4），则c=4，又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：，根据两点坐标公式得：，，所以2a=4，则a=2；所以故答案为：C.【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，则，此时切线斜率利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；令，则；令，则；所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故答案为：A.【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.7．【答案】B【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x，则，所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，利用特殊值：当x=1时，，所以B符合.故答案为：B.【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.8．【答案】B【解析】【解答】解：由，利用齐次式分子分母同时除以得：，解得，则故答案为：B.【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果. 9．【答案】C【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）当时，，则，解得或，所以A错误，C正确；同理，当，即，即，所以，BD错误.故答案为：C.【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果. 10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，由，得，同理，根据基本事实四，则，所以.，所以，又∩=m，则，根据基本事实四，则，③正确；对于④，若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，则，则④错误.故答案为：A.【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果. 11．【答案】C【解析】【解答】解：由，根据正弦定理有：又因为，即，所以；根据余弦定理，所以，根据正弦定理得：，即，结合，因为所以，因为A，B，C是三角形的内角，所以所以故答案为：C.【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.12．【答案】C【解析】【解答】解：由a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，将，代入直线方程，所以有，化简得：，则直线恒过定点；对于圆的方程x2+（y+2）2＝5，圆心为，半径为，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，要求|AB|的最小值，只需，此时，，利用勾股定理有故答案为：C.【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.13．【答案】【第1空】5；【解析】【解答】解：根据题意，二项式的通项为：并且假设展开式中第项系数最大，则此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，建立不等式进行求解：，解得：，由因为k为正整数，则；所以.故答案为：5.【分析】先设展开式中第项系数最大，此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，则建立不等式有，进而求出k即可求解.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：据题意，甲乙两个圆台的轴截面都是等腰梯形，可以利用构造直角三角形，结合勾股定理的计算得到圆台的高，即甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），所以甲圆台构造的直角三角形斜边长为：2（r1﹣r2），而其中一条直角边为，则甲圆台的高为：；同理，乙圆台构造的直角三角形斜边长为：3（r1﹣r2），则；此时，故答案为：..【分析】先根据已知条件和圆台结构特征，构造出直角三角形分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，直接代入计算即可得解.15．【答案】【第1空】64；【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，即，对式子进行化简得：，即，利用因式分解得，所以或，因为a＞1，所以，所以，即，故答案为：64.【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.16．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，，则，故，，所以，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：.【分析】利用古典概型的计算公式，先根据题意进行全排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后列出对应事件的数量，进而利用古典概型的计算公式求解即可得到结果.17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：优级品非优级品总数甲车间262450乙车间7030100总计9654150将上面的数值代入公式计算得：，又因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，所以用频率估计概率可得，根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到解果；（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论. 18．【答案】（1）解：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）解：，所以故所以，.【解析】【分析】（1）根据题意，由S n与a n之间的关系，利用分类讨论思想求得与的表达式，结合化简即可得到结果；（2）利用错位相减法求解即可得到结果.19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）过B作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，由（1）可知为平行四边形，则，又，所以为等边三角形，为中点，根据直角三角形OBA，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，利用勾股定理得，所以，所以两两垂直，所以以方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，则，又，即，则，所以，则，故二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；（2）作交于，连接，易证三线两两垂直，利用建系法求出二面角夹角余弦公式即可得到结果.20．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，所以，故，因为在上为增函数，根据单调性的性质，所以在上为增函数，又因为，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2）解：因为，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，又，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍去.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；综上，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）21．【答案】（1）解：设，由题设有且，故，解得，，故椭圆方程为.（2）解：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又根据韦达定理得：，而，故直线，故，所以，故，即轴.【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.22．【答案】（1）解：由，将代入，故可得，两边平方后得：.（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.联立，得，，所以，设，根据韦达定理，所以，则，解得【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.23．【答案】（1）证明：因为，当时等号成立，则，因为，所以；（2）证明：【解析】【分析】（1）直接利用，利用放缩法，结合做差法比较两个式子大小，利用基本不等式即可得到结果.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。
高考数学最新真题专题解析—三角函数(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—三角函数（全国通用）考向一 三角函数的图像【母题来源】2022年高考全国I 卷【母题题文】 设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B. 519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【试题解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题. 常见题型：平移变换、辅助角公式、诱导公式. 【得分要点】（1）利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简； （2）利用三角函数的一些性质解题. 考向二 三角函数的性质 【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ） A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C【试题解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等； 【得分要点】（3）利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简； （4）利用三角函数的一些性质解题. 真题汇总及解析 一、单选题1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=，∴2242Tππωπ===.故选：A. 2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x yxy（ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数，可分别得到2cos x ，2cos y ，()cos xy 的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断. 【详解】由[]22cos ,cos 0,1x y ∈，()[]cos 1,1xy ∈-，易知22cos cos cos 1,3x yxy.同时，由于π是无理数，因此当cos cos 0xy时，cos 1xy ；当22cos cos 1xy时，cos 0xy，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式22cos cos cos x yxy（,x y R ）可以取到任意接近1-和3的值，从而该式无最值.①取x π=，y n （*n ∈N ），则222cos cos cos 2cos x y xy n .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得22N N .再考虑*k ∈N ，使得1k k（由π的无理性，两头都不取等）.则nkN 时，212122NN kkN k，从而2cos 1,coskN，22cos cos cos 2cos ,3x y xy ，即证.②取2x π=，2yn（*n ∈N ），则22221cos cos cos cos4n x y xy .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得224N N .再考虑k ∈Z ，使得4k k（不取等的理由同上）.则nkN 时，2244244N kN N kk，从而221cos cos ,14kN ，22cos cos cos 1,cosxy xy，即证.故选：D 【点睛】易错点点睛：2cos x ，2cos y ，()cos xy 均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()sin cos f x a x b x c ωω=++（a ，b ，0>ω）的部分图象如图所示，则=a （ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】整理()()22f x a b x c ωϕ=+++，且tan b aϕ=222a b +，利用相邻对称轴的距离求得ω，根据对称轴求得ϕ，进而可得tan 1ϕ=，即a b =，即可求解. 【详解】由题，()()22sin cos f x a x b x c a b x c ωωωϕ=+++++，tan b aϕ=，223a b c +=，221a b c -+=-，所以1c =222a b +，又51882T ππ-=，所以T π=，则22T πω==，因为对称轴为8x π=，所以2282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，则24k ϕπ=+π，k ∈Z 所以tan 1ϕ=，即a b =， 所以2a = 故选：B4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若()4sin π5α-=，则cos2α＝（ ） A ．－2425B ．725C ．－725D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2cos 34cos f x x x 的最小正周期为（ ） A ．23πB ．43π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期. 【详解】222cos 22cos 2cos 1cos 2sin cos2sin sin 2cos2cos f xx x x x x xx x x xcos3x =-，所以，函数()f x 的最小正周期为23T π=. 故选：A.6．（2022·上海闵行·二模）“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+="的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条许 D ．既不充分也不必要各件【答案】B 【解析】 【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】由角,αβ的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，可知cos cos αβ=-，即cos cos 0αβ+=成立，充分性成立；当cos cos 0αβ+=时，角,αβ的终边关于y 轴对称或(21),k k Z αβπ=++∈， 所以“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件， 故选：B.7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6π=ϕB ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈. 【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可. 【详解】 函数()()()2313sin cos cos 0sin 21cos222f x x x x x x ωωωωωω=+>=++311sin 2cos2222x x ωω=++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0，所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致， 故选：C ．10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形,6ABCD AB =，沿PQ 对折使得点B 与AD 边上的点1B 重合，则PQ 的长度可以用含α的式子表示，那么PQ 长度的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．2D 93【答案】D 【解析】 【分析】设PQ y =，由三角比的定义可得sin PB y α=，sin cos2PA y αα=⋅，继而求得()262sin 1sin y αα=-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，求导可得()g t 的最大值为：343g =⎝⎭PQ 长度的最小值. 【详解】设PQ y =，1PB PB =，11180APB B PB ∠+∠=，12180B PB α+∠=，则12APB α∠=，则有sin PB y α=和11cos cos2PA PB APB PB ∠α==，代入6AB PA PB =+=，解得：()()266sin 1cos22sin 1sin y αααα==+-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭， 导函数()226g t t '=-，即可得()g t 的最大值在3t =此时343g =⎝⎭min 93y =， 故选：D .二、填空题11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知tan 2α=，则222222cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2αααααα--+=++_________．【答案】16799-##68199-【解析】 【分析】利用同角间的三角函数关系，把待求式化为关于tan α的式子，然后代入已知计算． 【详解】2222222222222222cos 2sin 2cos 3sin cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2sin sin cos cos 2(sin cos )αααααααααααααααα----+=+++++++22222222cos 2sin 2cos 3sin 2sin cos 2sin 3cos αααααααα--++=+222212tan 23tan 2tan 12tan 3αααα--+=++ 182128183--=+++16799=-． 故答案为：16799-． 12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为π的函数()2sin(2)1(0)6f x x πωω=-+>的图像向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，则函数()g x 的一个对称中心为___________【答案】,13π⎛⎫⎪⎝⎭，不唯一【解析】 【分析】根据最小正周期求出ω ，再根据函数平移规则即可求出()g x 的解析式. 【详解】由题意，T π= ，2,12ππωω∴== ，即()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()f x 向左平移4π得()g x ， ()2sin 212sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令2,33x x πππ+== ，∴()g x 的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为： ,13π⎛⎫⎪⎝⎭.13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,1]- 【解析】 【分析】由题意可得()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，a 的取值范围即为函数()f x 的值域.【详解】2()322cos 132cos 22sin(2)6f x x x x x x π-+=-=-，方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，故答案为：[2,1]-14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-； ②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先将()f x 化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可 【详解】ππ()sin()sin()44f x x x =+-2222()()x x x x =+ 2211cos sin 22x x =- 1cos22x =所以()f x 的值域为11[,]22- ，故①错误； 令2π2π2π,k x k k Z ≤≤+∈ ，πππ,2k x k k Z ∴≤≤+∈当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为π[0,]2，故②正确；()f x 的周期2ππT ω== ,故③正确()f x 的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为π1π1()()cos[2()]cos 22222g x f x x x =+=+=- ，是偶函数，故④错误故答案为：②③ 三、解答题15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值． 【答案】(1)2；π6ϕ=；(2)71A =. 【解析】 【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出ϕ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN ∠和PNM ∠的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A xϕ=+的最小正周期2π2πT==，因1(,)3P A是函数()f x图象的最高点，则1ππ2π,Z32k kϕ+=+∈，而02πϕ≤≤，有0k=，π6ϕ=，所以函数()f x的最小正周期为2，π6ϕ=.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x=+，由ππ06x+=得16x=-，即点1(,0)6M-，由ππ2π6x+=得116x，即点11(,0)6N，于是得tan211()36APMN A∠==--，2tan111363APNM A∠==-，而π4PMN PNM∠+∠=，则22tan tan3tan()121tan tan123A APMN PNMPMN PNMPMN PNM A A+∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⋅，又0A>，解得712A=-，所以712A=-.16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．20AB=km，10BC=km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．(1)设BAOθ∠=（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 103km 【解析】 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决； （2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+- 则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+π10sin 10320,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ=此时π101010tan 103(km)63OP =-=所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB103km。
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（新高考全国Ⅰ卷）试卷类型：A一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C【解析】因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A【解析】根据复数除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ=D.1λμ=-【答案】D【解析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ，a b μ+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.[)2,0-C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D【解析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.233B.C.D.【答案】A【解析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以3a =，故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.4C.4D.4【答案】B【解析】因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==，可得106sin ,cos44APC APC ∠==∠=，则sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22221cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛⎫∠=∠=∠-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.故选：C8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B【解析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD【解析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s ==显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD【解析】根据题意可知[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，结合对数运算逐项分析判断.由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg 0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0p p ≥，所以121pp ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p ⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23pp ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg 40p p L p =⨯=，即30lg 2p p =，可得30100pp =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【解析】因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD【解析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为正方体的体对角线长为 1.2>，设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，以1AC 为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h ，如图，结合对称性可知：111111133,0.6222OC C A C O OC OO ===-=-，则1111C O h AA C A =，即30.6213h -=，解得10.60.340.0123h =->>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,2AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．【答案】766【解析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,2AB A B AA ===则11111111112,22222222AO AC B AO AC ======，故()111222AM AC AC =-=，则221116222A M A A AM =-=-=，所以所求体积为1676(4141)326V =⨯++⨯⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010；（2）6.【解析】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin10A ∴==.（2）由（1）知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- ，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z = ，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c = ，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，3cos ,cos1502n m n m n m ⋅∴==︒= ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析【解析】（1）因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =；（2）5150d =.【解析】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d =++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6；（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭；（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.（2）设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+；（2）见解析.【解析】（1）设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.（2）设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=-+-≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故13322C ≥=,即C ≥.当C =时,,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.。