极值存在定理
极小点的判定条件
（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）
一、一般条件
定理1（一阶必要条件）设1
R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则 0)(*=∇x f
定理2（二阶必要条件）设1
R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导
数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。
定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导
数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)
(x f 的严格局部极小点。
定理4（二阶充分条件）设1
R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。
二、凸规划极值判定条件
凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。
定理5 设1
R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则
（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；
（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)
(x f 在D 上的全局极小点；
（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。
定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数
C x b Qx x x f ++=T T 2
1)(，n x R ∈ 则b Q x 1
*--=为唯一的全局极小点。
（二） 边界点为极小值点的判定条件
考虑一般的非线性规划(NP)：
)(min x f
:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(
,,1 ,0)(l j x h m i x s j
i （1） 一、一般条件
定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x
处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数
l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==m
i m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）
二、凸规划极值判定条件
考虑凸规划问题：
)(min x f
s.t. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(
,,1 ,0)(l j x h m i x s j
i （2） 其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。
定理2（凸规划的极值）：若*x 是凸规划（2）的K —T 点，则*
x 为全局极小点。
注：线性函数既可视为凸函数，又可视为凹函数。
三、等式约束极值判定条件
⎩
⎨⎧== ,,1 ,0)( ..)(min l j x h t s x f j （3） 定理3：（一阶必要条件）假设
（1）*
x 为等式约束(3)的局部极小点；
（2）1n :),,1(,R R l j h f j →= 在*x 的某邻域内连续可微； （3）)(,),(),(**2*1x h x h x h l
∇∇∇ 线性无关。
则存在R ,,,**2*1∈l λλλ 使得
0)()(*1*
*
=∇-∇∑=x h x f j l
j j λ （**） 定理4（二阶充分条件）假设
（1）1n :),,1(,R R l j h f j
→= 是二阶连续可微函数； （2）存在n x R *∈与l l R ],,,[T **2*1*∈=λλλλ 使得式（**）成立；
（3）关于x 的海色矩阵),(*
*2λx L x ∇在切子空间 },,1 ,0)({T l j v x h v T j ==∇=
上正定。
则点*
x 是问题(3)的严格局部极小点。
四、线性约束的（NP ）问题极值判定条件
考虑如下线性约束的（NP ）问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≥
..)(min d Cx b Ax t s x f （4） 定理5：在约束问题（4）中，假设
i ）x 是容许点；
ii ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''=A A A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'''=b b b 使得b x A '='，b x A ''>''； iii ）A '和C 的行向量线性无关（即起作用约束的梯度线性无关）；
iv ）*
p 是如下线性规划的最优解： p x f z T )(min ∇=
s.t. ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=≥'e p e Cp p A -0 0 （***） 其中，[]1,,1,1 =e 。
则点x 为K —T 点的充要条件是0)(*T =∇p x f 。
五、几何最优性条件
考虑不等式约束问题
⎩
⎨⎧=≥ ,,1 ,0)( ..)
(min m i x s t s x f i （5） 定理6（几何最优性条件）：设*
x 是问题（2）的一个局部极小点，
目标函数)(x f 在*x 处可微，且 1°)(x s i （I i ∈）在*x 处可微；
2°)(x s i （I i ∉）在*
x 处连续。
则在*x 处不存在容许下降方向，即不存在方向p 满足
⎪⎩⎪⎨⎧∈>∇<∇I i p x s p x f i ,0)(0)(T *T * （****）
六、线性规划问题的极值条件
最优性检验
判别数j σ：用非基变量表示的目标函数式中，各非基变量的负系数，即称为各非基变量的判别数。
1º最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解， 所有判别数0≤j σ，且人工变量为0，则该基本容许解是最优解。
2º无穷多最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本
容许解，所有判别数0≤j σ，又存在某个非基变量的判别数为0，且人工变量为0，则该线性规划问题有无穷多最优解。
3º无容许解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数0≤j σ，但人工变量不为0，则该线性规划问题无容许解。
4º无有限最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，有一个非基变量的判别数0<k σ，但k p 列中没有正元素，且人工变量为0，则该线性规划问题无有限最优解。
高等数学自考3.3函数的单调性与极值
上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
费马定理极值必要条件
费马定理极值必要条件1.引言1.1 概述费马定理是数学中的一个重要定理，它关于极值问题给出了一个必要条件。
极值问题是数学中研究函数在一定区间上取得最大值或最小值的问题，它在经济学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
费马定理通过对函数的导数进行分析，给出了一个在极值点附近的特殊性质。
本文将首先介绍费马定理的背景和相关概念，然后从数学推导的角度解释极值必要条件，并最终利用费马定理推导出极值必要条件的表达式。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地理解极值问题以及费马定理的作用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分将简要介绍费马定理的极值问题及其重要性。
文章结构部分将详细说明本文按照怎样的顺序和方式来讨论费马定理的极值必要条件。
目的部分将阐明本文的写作目的，即通过对费马定理的极值必要条件的推导和讨论，帮助读者更好地理解和运用该定理。
正文部分主要分为费马定理的介绍与极值问题的背景两个小节。
费马定理的介绍将回顾费马定理的基本定义和主要内容，介绍其在求解极值问题中的重要作用。
极值问题的背景将探讨极值问题的起源和应用领域，并举例说明极值问题在实际生活和科学研究中的重要性。
结论部分主要包括极值必要条件的推导和费马定理的极值必要条件两个小节。
极值必要条件的推导将详细推导出费马定理的极值必要条件，通过对导数的分析和运用，解释为什么该定理能够有效地帮助我们找到极值点。
费马定理的极值必要条件将阐述该定理在实际问题中的应用，并列举一些实例进行说明。
综上所述，本文将通过分析费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解和运用该定理，并展示该定理在求解极值问题中的重要性和应用价值。
1.3 目的本文旨在探讨费马定理在极值问题中的应用，并推导出极值条件的必要性。
通过深入研究费马定理的原理和极值问题的背景，我们将阐述费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解极值问题的求解过程。
求极值的方法与技巧
(3)当 EMBED Equation.DSMT4 为不定矩阵时， EMBED Equation.DSMT4 不是 EMBED Equation.DSMT4 的极值。
极值的求法：
第一步 解方程组fx(x( y)(0( fy(x( y)(0( 求得一切实数解( 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0( y0)( 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC(B2的符号( 按定理1的结论判定f(x0( y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
令 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由 EMBED Equation.DSMT4
得驻点 EMBED Equn.DSMT4
故 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 处取极大值，即函数 EMBED Equation.DSMT4 在圆周 EMBED Equation.DSMT4 上取极大值 EMBED Equation.DSMT4
求极值的方法与技巧
极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数z(f(x( y)在点(x0( y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数( 又fx(x0( y0)(0( fy(x0( y0)(0( 令
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
88多元函数极值
在点(1, 2)处, AC–B2=12(–6)<0, 在点(–3, 0)处,
AC–B2=(–12)6<0, 所以f(–3, 0)和f(1, 2)不是极值;
在点(–3, 2)处, AC–B2= –12(–6)>0, 且A= –12<0,
所以函数在点(–3, 2)处有极大值f(–3, 2)=31.
推广: 如果三元函数 u=f(x, y, z) 在点P(x0, y0, z0)处 具有偏导数, 则它在点P(x0, y0, z0)处有极值的必要条件 为: fx(x0, y0, z0)=0, fy(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0)=0.
仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的点, 称为此函数的驻点.
的存在性可知: 这时长方体在第一卦限顶点的坐标为:
(a , b , c )
333
最大长方体的长宽高分别为: 2a , 2b , 2c .
最大体积为:
8abc . 3
3
3
解二:
作变量替换:
33 X
x,
Y y,
Z z.
a
b
c
问题变成在单位球面X2+Y2+Z2=1内求内接长方体
的最大体积问题.
例2: 求由方程 x2+y2+z2–2x+2y–4z–10=0 确定的隐
函数z=f(x, y)的极值.
解: 在方程两边分别对x, y求偏导, 得
2 x 2 y
2z 2z
zx zy
2 2
4zx 4zy
0 0
由函数取极值的必要条件知, 求驻点. 令
zx 0, zy 0, 得驻点P(1, –1). 在上述方程组两边再分别对x, y求偏导数, 得
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
极值问题的极值存在定理及其简要证明
极值问题的极值存在定理及其简要证明数学中的极值问题是研究一个函数在某一区间内的最大值或最小值。
极值问题是数学分析中的一个重要问题，在数学的各个领域都有涉及。
极大值和极小值的存在性是极值问题的一个基本问题，下面简要介绍极值存在定理及其证明。
极值存在定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极大值和极小值。
证明：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有极大值，则$f(x)$在区间$[a,b]$上不断增加，即$f(x_1)<f(x_2)<\cdots<f(x_n)$，其中$x_1<x_2<\cdots<x_n$为区间$[a,b]$上的任意$n$个不同的点。
由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因此根据介值定理，对于任意$k\in\mathbb{N^{+}}$，都存在一个$x_k\in(a,b)$，使得$f(x_k)=k$，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上无上界，矛盾。
同理可证$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极小值。
从证明中可以看出，极值存在定理的证明过程依赖于介值定理。
介值定理是数学分析中一个重要的定理，它表明了连续函数在区间中取到介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值。
介值定理的表述：设$f(x)$为区间$[a,b]$上的连续函数，$u$和$v$分别为$f(x)$在区间$[a,b]$上的任意两个值，其中$u<v$。
则对于任意$w\in(u,v)$，总存在一个$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=w$。
介值定理的证明：对于任意$\epsilon>0$，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以存在$\delta>0$，使得对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
§4[1].3.2函数的极值及其求法
的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点
3.4函数的极值及其求法
证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法
证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法 证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果. 综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下: (1) 求导数 f ( x ); (2) 求驻点, 及使 f ( x ) 不存在的 点 x k ; (3) 检查 f ( x ) 在 x k 左右的正负号, 确定极值点; (4) 求出函数极值.
f ( 2) 18 0,
值, 仍用第一充分条件进行判断.
2. 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.
完
例5 解
2 3 f ( x ) ( x 1 ) 1 的极值. 求函数
由 f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 0, 得驻点 x1 1,
x2 0, x3 1. f ( x ) 6( x 2 1)( 5 x 2 1). 因 f ( x ) 6 0, 故 f ( x ) 在 x 0 处取得极小 值, 极小值为 f (0) 0. 因 f ( 1) f (1) 0,
5( x 1) f ( x ) 3 ; 3 x 1
( 2) 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 1; x 1 为 f ( x ) 的
不可导点;
( 3) 列表讨论如下:
例 2 求函数 f ( x ) ( x 4) ( x 1) 的极值.
3 2
解
( 3) 列表讨论如下:
f ( x0 x ) f ( x0 ) 证 (1) 因 f ( x0 ) lim 0 , x 0 x 故 f ( x0 x ) f ( x0 ) 与 x 异号, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 所以, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值.
多元函数的极值问题
最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问