专题五 牛顿第二定律中的临界和极值问题
副本新4.9牛顿第二定律的应用临界与极值(五)
37o 37o 4.9牛顿运动定律应用（五）——临界与极值问题临界现象：临界现象是量变引起质变规律在物理学上的生动体现，即在一定条件下，当物体的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着从一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点称为临界点，这种现象称为临界现象。
解决临界问题的方法：解决临界问题，一般有两种方法：第一种是以定理、定律为依据，首先要找到所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析讨论临界特殊规律和特殊解；第二种是直接分析讨论临界状态，从而通过临界条件求出临界值。
我们通常采用的第二种方法。
临界问题的分类：1．有关弹力的临界2．关摩擦力的临界例1.一质量为m 的物体与 竖直墙面间的动摩擦因数为μ,要使物体不下滑,求推力F 的最小值?练1.质量为m 的物体与车厢的竖直面间的动摩擦因数为μ,要使物体不下滑,车厢的加速度的最小值为 ,方向为 .例2.一细线悬挂质量为m 的小球静止在车厢内,如图.求车厢的加速度的大小和方向(θ=370)（1）试问:车厢的加速度的大小和方向?（2）如果将绳换成细杆,其结果还一样吗?练2.小车的右壁用轻绳悬挂一个质量m=4Kg 的小球,细线与右壁成θ=370角（1）当小车以a 1=7.5m/s 2的加速度向右匀加速运动时,球对细线的拉力和对右壁的压力分别为多少?（2）如果a 2=10m/s 2呢?例3.如图所示，光滑水平面上叠放有M 和m 两个物体，两物体间动摩擦因数为μ。
在m 上施加水平力F ，为使两物体相对静止，求F 的最大值。
练3.如图所示，光滑水平面上叠放有M 和m 两个物体，两物体间动摩擦因数为μ。
在M 上施加水平力F ，为使两物体相对静止，求F 的最大值。
练4.如图所示，m A =1kg ，m B =2kg ，A 、B 间静摩擦力的最大值是5N ，水平面光滑。
用水平力F 拉B ，当拉力大小分别是F =10N 和F =20N 时，A 、B 的加速度各多大？练5.如图所示，质量为m 的木块在质量为M 的长木板上受到向右的水平拉力F 的作用而向右滑行，长木板处于静止状态，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2，则下列说法正确的是（ ）A ．板受到地面的摩擦力大小一定是μ1mgB ．板受到地面的摩擦力大小一定是μ2（m+M ）gC ．F>μ2（m+M ）g 时，木板便会一起运动D ．无论怎样改变F 的大小，木板都不可能运动4.9牛顿运动定律应用（五）——临界与极值问题作业纸1．如图所示，在平直轨道做匀变速运动的车厢中，用轻细线悬挂一个小球，悬线与竖直方向保持恒定的夹角θ，则 （ ）A ．小车一定具有方向向左的加速度B ．小车一定具有方向向右的加速度C ．小车的加速度大小为gtanθD ．小车的加速度大小为gcotθ2．在光滑水平面上有一物块受水平恒力F的作用而运动，在其正前方固定一个足够长的轻质弹簧，如图所示，当物块与弹簧接触并将弹簧压至最短的过程中，下列说法正确的是（）A．物块接触弹簧后即做减速运动B．物块接触弹簧后先加速后减速C．当弹簧处于压缩量最大时，物块的加速度不等于零D．当物块的速度为零时，它所受的合力不为零3．如图，在静止的小车上，用细绳a和b系一质量为m的小球，α=30°，现使小车向右以加速度a作匀加速运动，小球相对小车的位置不变，则a绳的拉力T a将，绳b的拉力Tb 将，当加速度a大于时小球相对小车的位置改变。
牛顿第二定律的应用—临界问题与极值问题
第 1 页 共 2 页牛顿第二定律专题—临界问题与极值 1．临界问题和极值问题涉及临界状态的问题叫临界问题。
临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态，常伴有极值问题出现。
临界问题常伴有特征字眼出现，如“恰好”、“刚刚”等1.如图所示，质量M=4kg 的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力F=6N ，当小车向右运动的速度达到2m/s 时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=1kg 的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长．（g 取10m/s2），求（1）放小物块后，小物块及小车的加速度各为多（2）经多长时间两者达到相同的速度？（3）从小物块放上小车开始，经过t=3s 小物块通过的位移大小为多少？ 有一质量M=4kg 的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg µ=0.2,现对物块施加F=25N 的水平拉力,如图所示，（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g 10m/s2)第 2 页 共 2 页3托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a g ）． 4.如图所示， m =4kg 的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。
求：（1）小车以a=g 向右加速；（2）小车以a=g 向右减速时，细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2各多大？5．如图所示，一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。
（g=10m/s2）6.传送带与水平面夹角37°，皮带以10m/s 的速率运动，皮带轮沿顺时针方向运动，如图所示.今在传送带上端A 处无初速度地放上一个质量为m=0.5kg 的小物体，它与传送带间的动摩擦因数为0.5，若传送带A 到B 的长度为16m ，g 取10m/s 2，则物体从A 运动到B 的时间为多少？（g 取为10m/s 2）。
2024高考物理一轮复习--牛顿第二定律的应用--动力学中的临界和极值问题
动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。
(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。
2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
牛顿定律运用中的临界和极值问题
牛顿定律运用中的临界和极值问题
例题分析： 3,如图所示，传送带与地面的倾角为θ=370 ，从一到 B 的长 度 16m,传送带以 10m/s 的速率逆时针方向转动，在传送带上端无初速 地放一个质量为 m=0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为 0.5 ，求物体从一到 B 所需的时间是多少？（ sin370=0.6 cos370=0.8 g=10m/s2 ） 分析：μ＜ tg θ，物体的初速为零，开始阶段，物体速度
物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时，物体 受到的摩擦力为最大静摩擦力。 y
当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图 2 所示， sin300 N1- f1 cos300=ma0 (1)f1 sin300+N1 cos300= 毫克 (2) f 1= μ N1(3)01= ？ 当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图 3 所示， N2sin300+f2 cos300= ma0
a1=g(犯θ+μ cos θ)=10 ×(0.6+0.5 × 0.8) m/s2=10m/s2
B
物体的速度与传送带速度相等需要的时间为 t1=v/a1=10/10 年代=1 年代 由于μ＜ tg θ，物体在重力的作用下继续加速，当物体的速度大 于传送带的速度时，传送带给物体一斜向上的滑动摩擦力，此 时受力情况如图 3 所示.根据牛顿第二定律，得 Mgsinθ-μmgcosθ=ma2 0.5) m/s2=2m/s2 a2=mgsin θ-μ mgcos θ=10 ×(0.6-0.8 ×
例 4 全解
A
F1 解：（ 1 ）研究物块 1 上升的过程.以物块 1 为研究对象， 其受力分析和运动过程分析如图 1 所示.物块 1 在最高点 O 一处，加速度最大，且方向竖直向下， F1+m1g= mam F2 F1 最大.以物块 2 为研究对象，其受力分析如图 2 所 示.F1'最大时， N=0 ，即 F1'=m2g 因 F1'=F1 所以， B m1 g m2 g m1g+ m2g=m1am 图1 am
牛顿运动定律的应用之临界问题的处理方法(解析版)
牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。
学#科网(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力F N ＝0绳刚好被拉直 绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、 解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
挖掘临界条件是解题的关键。
如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a 。
【典例1】如图所示，θ＝37°，m ＝2 kg ，斜面光滑，g 取10 m /s 2，斜面体以a ＝20 m /s 2的加速度沿水平面向右做匀加速直线运动时，细绳对物体的拉力为多大？【答案】【解析】 设m 处在这种临界状态，则此时m 对斜面体的压力为零．由牛顿第二定律可知，临界加速度a 0＝g c otθ＝10×43 m /s 2＝403 m /s 2.将临界状态的加速度a 0与题设给出的加速度进行比较，知a>a 0，所以m已离开斜面体，此时的受力情况如图所示，由平衡条件和牛顿第二定律可知： T c o s α＝m a ，T s i n α＝mg .注意：a≠0， 所以【典例2】如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。
4.11《牛顿第二定律：临界极值问题》
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零，加速度为零。
3. 解题基本思路
(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段);
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
D.150 N
2.如图所示，质量为1kg 的木块A 与质量为2kg 的木块B 叠放在水平地面上，A、B 间的最大静摩擦力 为 2N,B
与地面间的动摩擦因数为0.2.用水平力F 作用于B, 则A 、B保持相对静止的条件是(g取10m/s²)( )
A.F≤12 N
B.F≤10 N
C.F≤9 N
D. F≤6 N
体位移x之间的关系如图乙所示(g=10m/s²),则下列结论正确的是(
)
A. 物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态
B. 物体的质量为3kg
C. 物体的加速度大小为5m/s²
D. 弹簧的劲度系数为5N/cm
4. (多选)如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧下端系一个质量为m 的小球A, 小球被水平挡板P 托住使弹
时间内，F 为变力，0.2s以后F 为恒力，sin37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10m/s²。求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量xo;
(2)物体Q 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a;
( 3 ) 力F 的最大值与最小值。
1.(多选)如图所示，三个质量均为m 的小物块甲、乙、丙放置在水平地面上，甲紧靠竖直墙壁，
簧的劲度系数为k,C
为一固定挡板，系统处于静止状态。现用外力F(恒为2mg)沿斜面方向拉物块 A 使
牛二临界极值答案版
牛顿第二定律应用之临界极值问题例1、用细绳拴着质量为m 的重物，从深为H 的井底提起重物并竖直向上做直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T ，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？ 【解析】（1)由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件。
提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件。
显然这两个临界条件正是解题的突破口。
（2)重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件。
(3)开始阶段细绳以最大承受力T 上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升（绳子松驰，物体竖直上抛），当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短。
开始阶段，细绳以最大承受力T 上提重物，由牛顿第二定律得T 一mg ＝ma设该过程的时间为t 1，达到的速度为v ，上升的高度为h ，则v =at 1，h =21at 12此后物体以速度v 做竖直上抛运劝，设所用时间为t 2，则t 2=v / g ， H 一h =v 2/2g 总时间t =t 1＋t 2 解以上方程得 )(/2mg T g HT t -=评注：该题还可以借助速度—时间图线分析何种情况下用时最短。
一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v －t 图线如图中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加速度均为最大，其v －t 图线如图中②所示。
显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短。
针对训练：如图所示，已知两物体A 和B 的质量分别为M A ＝4kg ，M B ＝5kg ，连接两物体的细线能承受的最大拉力为80N ，滑轮的摩擦和绳子的重力均不计，要将物体B 提离地面，作用在绳上的拉力F 的取值范围如何？（g 取l0m/s 2）[N F N 14490≤≤]例2、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
高中物理--牛二律临界与极值问题ppt
临界问题和极值问题
涉及临界状态的问题叫
临界问题。临界状态常指某 物理现象由量变到质变过渡 到另一种物理现象的连接状 态，常伴有极值问题的的出
现。
找好临界与极值
条件，是解决临界 问题与极值问题的 关键，如出现“恰 好”、“刚刚”等
2
三类临界问题的临界条件
相互作用 力的弹力
为零
相互接触的两个物体 要脱离的临界条件
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，找 出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
练习： 如图，在光滑的地面上有小车A，其质量为mA=2千克，小车上放一物体B，
质量mB=1千克，A、B间有摩擦，若给B施加一水平推力F1（如图甲所示），当F1
相对滑动与相对静止的临界条件是：
静摩擦力达最大值
三类临界问题的临界条件
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是： 相互作用的弹力为零
（2）绳子松弛的临界条件是： 绳中拉力为零
（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间 不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：
静摩擦力达最大值
y FN
F
x
而a3 =g ，故绳已松弛，
θ
G
绳上拉力为零
[小结] 绳子松弛的临界条件是：绳中拉力刚好为零。
解决临界问题的基本思路 （1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程， 找出临 界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。
（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
a
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专题五牛顿运动定律的应用
——临界和极值问题
一、概念
（1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
（2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
二、关键词语
在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题一般用假设法。
三、常见类型
动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。
四、解题关键
解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。
常见的三类临界问题的临界条：
1、相互接触的两个物体将脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
2、绳子松弛的临界条件是：绳子的拉力为零。
3、存在静摩擦的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
五、例题解析
【例题1】质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角为θ=60°的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g=10 m/s2）
(1) 斜面体以23m/s2的加速度向右加速运动；
(2) 斜面体以43m/s2，的加速度向右加速运动；
【例题2】如图所示，轻绳AB与竖直方向的夹角θ=37°，绳BC水平，小球质量m=0.4 kg，取g=10m/s2。
试求：
（1）小车以a1=2.5m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？
（2）小车以a2=8m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？
a F
b F 【例题3】如图所示，质量为2kg 的m 1和质量为1kg 的m 2两个物体叠放在一起，放在水平面，m 1 与m 2、m 1与水平面间的动摩擦因数都是0.3，现用水平拉力F 拉m 1，使m 1 和m 2一起沿水平面运动，要使m 1 和m 2之间没有相对滑动，水平拉力F 最大为多大？
六、巩固练习
【练习1】一个质量为m=0.1kg 的小球，用细线吊在倾角a =37°的斜面顶端，如图所示。
系统静止时绳与斜面平行，不计一切摩擦。
求下列情况下，绳子受到的拉力为多少?(取g=10m/s 2)
(1)系统以6m/s 2的加速度向左加速运动；
(2)系统以l0m/s 2的加速度向右加速运动；
(3)系统以15m/s 2的加速度向右加速运动。
【练习2】在静止的小车内，用细绳a 和b 系住一个小球，绳a 处于斜向上的方向，拉力为F a ，绳b 处于水平方向，拉力为F b ，如图所示．现让小车从静止开始向右做匀加速运动，此时小球相对于车厢的位置仍保持不变，则两根细绳的拉力变化情况是（ ）
A ．F a 变大，F b 不变
B ．F a 变大，F b 变小
C ．F a 变大，F b 变大
D ．F a 不变，F b 变小
【练习3】A 、B 两物体的质量分别为m A =2kg ，m B =3kg ，它们之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f m =12N ，将它们叠放在光滑水平面上，如图所示，在
物体A 上施加一水平拉力F ＝15N ，则A 、B 的加速度各为多大？
【练习4】如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
现施加水平力F 拉B ，A 、B 刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。
若改为水平力F ′拉A ，使A 、B 也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F ′不得超过（ ）
A ．2F
B ．F /2
C ．3F
D ．F /3。