物理中有关临界极值问题的处理
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
物理临界极值问题归纳总结
物理临界极值问题归纳总结在物理学中，临界极值问题是一类重要而常见的问题，涉及到各种自然现象和物理过程。
在本文中，我们将对一些典型的临界极值问题进行归纳总结，探讨其背后的物理原理和应用。
1. 能量最小问题当一个物体在受到外力作用下移动时，其可能存在最小能量的位置。
例如，在沿着一条曲线从A点到B点的过程中，求物体在这条曲线上，哪个位置可以实现最小的势能状态。
这种求解问题可以使用变分法或者利用物理原理进行分析。
2. 速度最大问题速度最大问题在机械运动学中经常出现。
例如，一个物体自由下落，求其在离地面一定高度时的速度达到最大值。
这类问题可以通过求解速度函数的导数为零的点，找到极值点，并验证其是否是最大值。
3. 加速度最大问题加速度最大问题与速度最大问题类似，但是关注的是物体的加速度达到最大值的情况。
例如，在自由下落的过程中，求物体离地面一定高度时其加速度达到最大值。
可以通过求解加速度函数的导数为零的点来找到极值点。
4. 碰撞问题碰撞问题是临界极值问题中的一个重要分支，涉及到两个或多个物体之间的相互作用。
例如，求两个物体碰撞后的速度以及碰撞瞬间的能量损失。
这类问题可以通过守恒定律和碰撞动量定律来分析，从而得到系统的临界极值情况。
5. 光线折射问题光的折射现象也涉及到一种临界极值问题。
例如，光线从一个介质进入另一个介质时，求解光线的入射角和折射角之间的关系。
这类问题可以利用斯涅尔定律和临界角的概念来解决。
6. 流体力学中的临界极值问题流体力学研究中也存在临界极值问题。
例如，在管道中液体流动速度达到最大值的问题，或者通过调整管道中的形状，使得流体的流量达到最大值。
这类问题可以通过应用伯努利方程和连续性方程来解决。
通过对上述几类典型的临界极值问题进行总结与归纳，我们可以看到它们在物理学研究和应用中的重要性。
在实际问题中，临界极值问题的解决可以帮助我们了解自然现象背后的物理规律，并且为工程设计和科学研究提供有力支持。
临界极值问题(解析版)--动力学中九类常见问题
动力学中的九类常见问题临界极值问题【问题解读】1.题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。
问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2.临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。
当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例精析】1(2024河北安平中学自我提升)如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知m A=m B =1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。
若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。
高中物理临界极值问题的处理方法
和 田师范专科学校学报
Ｊ １ ０ ２ ３ 卷第 五期 ｕ． １ 第 １ ２
总第 ７ ９期
高中物理临界极值 问题的处理方法
胡俊梅
（ 田地区第二中学 和 新疆和 田 ８ ８ ０ ） ４ ００
［ 要］ 摘 临界极值问题在物理学中极为常见，总结中学物理知识，物理临界极值问题主要有静摩擦力的范围引出的临界极值问题 ， 运动 学 中追及 、相遇类极值 问题 ，物体在 竖直面 内做 圆周运动 的临界问题 ，传送 带上的临 界速 度 问题 ，临界出射点 问题 ，某物理量 取极 值求解 临界 问题六种 ，本文重点探究后 四种 问题的处理办法 。 ［ 关键词］ 中学物理；临界；极值；处理方法
解 析 ：为保 证小球 能通过环 的最高 点，对小球 在最高点进 行
２
受力 分析 ，临界条 件下是小 球只受重力 ，由 ｍ＝：知 小球在 最高 ｖ ｇ， 小 开 运 最高 过 机 时 速 至 ＝ ｒ 从 球 始 动到 点 程由 械 ｑ
１ １ 一
图ｌ 图２
确 出现极 值时有 何物理特 征 ，抓 住临界 （ 或极值） 件进行求解 ， 条 这种方 法 突出 了问题 的物 理本质 。 （ 利用数 学方 程式 或极值 求 ２ ） 解 ，通 过对物 理情景 和状 态 的分析 ，根据 物理规律 写 出物理量 之 间的函数关 系，用数学方法求解 极值 。 方 法提炼 ：１对于 圆周运动 极值 问题 有两种 不 同的状态 ，即 ． 绳 （ 或软性物 体或在 轨道 内做 圆周 ）牵扯 物体在 竖直面 内做 圆周 运 动 ，和 杆带动物体 在竖直面 内做 圆周运 动 ，区别主要与绳 与杆 在 最 高 点施力 不 同 。绳 在 最 高点不 施 力或施 加拉 力 方 向只能 向 下 ，而杆 可 以不施 力 即施力 为零 ，也 可施加支 持力方 向向上，也
物理学中临界问题的分析方法
物理学中临界问题的分析方法作者：周玉美来源：《中国校外教育·理论》2008年第03期[摘要]在物理问题中临界问题很常见，如何解答临界问题往往是比较难的问题。
本文以牛顿运动定律的临界问题为例来探讨临界问题的求解方法。
[关键词]物理学临界问题求解方法一、什么是临界问题我们在解答物理力学问题时，经常碰到这样的词语，作用力的最大或最小值、速度的最大或最小值、加速度的最大或最小值等等．我们把物体由一种运动状态转变到另一种运动状态，由一种物理现象转变为另一种物理现象，在发生转变的时刻一些物理量的最大或最小值，叫做临界值．如何求得临界值，有时是解答物理题的关键，它不仅要对题中的物理情景作深入的研究，而且要熟练地应用数学知识去作解答。
二、分析临界问题的一般方法在有关牛顿运动定律的临界问题涉及的物理量主要是力、加速度、速度、位移。
在分析此类问题的时候，我们主要抓住分析“力”的变化。
因为力是决定物体运动的主要因素。
着重要分析力的大小的变化规律、方向变化、受力数目的变化、力的性质的变化（比如，静摩擦力转化为动摩擦力）。
这些变化往往蕴含着临界状态的出现，此时有利于我们找到临界条件。
在追击类问题中要注意物体的速度关系，特别是速度相等往往是一个重要条件。
三、分析临界问题所要用到的数学工具临界问题经常涉及到一些极值问题。
求解临界问题往往伴随的不等式的应用，自燃也就会牵涉到一些与相关的数学知识。
如三角函数，定积求和或定和求积，二次方程判别式等。
例题如下：例1.图1所示，一个质量为m =10kg的物体，放在粗糙的水平面上，物体与水平面的静摩擦因数为．25，今对物体施以向右上方的拉力F，求：物体开始滑动时F的最小值和此时F与水平方向的夹角（g值取）解析：使物体开始滑动的含义是物体与水平面由静止转变为相对运动，可见物体存在一个处于转折的临界状态，构成一个临界问题；如果在F达到某一值，物体开始运动，因此，F此时为临界作用力，要求的就是F的临界值．例题 2.在光骨的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的是恒定斥力F。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题是物理学中常见的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到某种临界状态或取得极值的情况。
下面是对这两类问题的总结：
1. 物理临界问题：
- 物理临界指系统在某些参数达到临界值时出现突变或重要性质发生显著改变的情况。
- 临界问题常见于相变、相平衡和相变点等领域。
- 典型的物理临界问题包括：磁场的临界温度、压力、电流等；化学反应速率的临界浓度；相变时的临界温度和压力等。
2. 极值问题：
- 极值问题涉及到通过调整系统的参数找到使目标函数取得最大值或最小值的条件。
- 极值问题在物理学中广泛应用于优化、动力学和力学等领域。
- 典型的极值问题包括：能量最小原理和哈密顿原理，用于求解经典力学问题；费马原理，用于求解光路最短问题；鞍点问题，用于求解多元函数的极值等。
无论是物理临界还是极值问题，通常需要使用数学工具进行分析和求解。
对于物理临界问题，常用的方法包括热力学、统计物理和相变理论等；而对于极值问题，则常用的方法包括微积分、变分法和最优化等。
总结起来，物理临界和极值问题是物理学中重要的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到临界状态或取得最值的情况。
这些问题需要使用数学工具进行分析和求解，以揭示系统的性质和寻找最优解。
平衡中的临界与极值问题
突破5平衡中的临界与极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大'、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。
2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或【解析】法进行分析.处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法.此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论.学％科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法.此法简便、直观.【典例1】倾角为0=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数《=0.5。
现给A施加一水平力F如图所示。
设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°= 0.6, cos 37°= 0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2【答案】A【典例2】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角形劈的重力为G ,劈的底部与 水平地面间的动摩擦因数为用劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过 多大？（设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）【答案】：球的重力不得超过 1 兴G【跟踪短训】1.将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示。
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在动力学中临界极值问题的处理佛山市高明第一中学（528500）周兆富物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。
在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
一．解决动力学中临界极值问题的基本思路所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。
至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。
动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。
在解决临办极值问题注意以下几点：错误！未指定书签。
临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。
错误！未指定书签。
临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。
错误！未指定书签。
许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。
错误！未指定书签。
有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。
错误！未指定书签。
临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
错误！未指定书签。
确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。
解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。
二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。
〘例1〙速度大小是5m/s 的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。
当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s 的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。
问：(1)当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？(1)相遇前这鸟飞行了多少路程？〘灵犀一点〙甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。
〘解析〙飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt 求路程。
（2）设甲、乙相遇时间为t ，则飞鸟的飞行时间也为t ，甲、乙速度大小相等/5==甲乙v v m s ，同相遇的临界条件可得：()=+甲乙s v v t ,则2000=20010s t s s v v ==+乙甲. (3)这段时间，鸟飞行的路程为：10200'==⨯s vt m .〘思维总结〙本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。
〘例2〙在平直公路上一汽车的速度为15m/s ，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s 2的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s 末车离刹车点的距离是m.〘灵犀一点〙在汽车刹车问题中，汽车速度为0后将停止运动，不会反向运动。
在分析此类问题时，应先确定刹车停下来这个临界状态所用的时间，然后在分析求解。
〘解析〙设汽车从刹车到停下来所用时间为0t ， 由运动学规律得：0000150,7.52t t v v v v at t s s a --=-=== 由于t 0<10s ，所以在计算时应将t=7.5s 代入公式求解。
则有：22011(157.527.5)56.2522s v t at m m =-=⨯-⨯⨯=. 〘思维总结〙本题经常犯的错误是不考虑汽车刹车后速度为零所需时间这一临界状态，直接把题目中所给的时间代入公式。
汽车刹车后不可能再倒行，此类问题应注意验证结果的合理性，若给定的时间内汽车仍未停下，则可直接套用运动学公式；若给定时间汽车早以停下，就应先计算刹车时间，然后再把这一时间代入位移公式求解。
〘例3〙A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2的加速度匀加速开出，2s 后B 车同向以3m/s2的加速度开出。
问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？ 〘灵犀一点〙速度相等是解决追及和相遇问题的临界点。
〘解析〙〖解法1〗由于当A 车的加速度度小于B 车的加速度，B 车后启动，则B 车一定能追上A 车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。
设当A 车运动t 时间时，两车速度相等，则有,(3)A B A B v v a t a t ==-,解得：39B A Ba t s a a ==-. 把t 代入两车之间距离差公式得：2211(3)2722A B A B s s s a t a t m ∆=-=--= 〖解法2〗设A 启动ts 两车相距最远，A 车的位移：212A s at =，B 车的位移：21(3)2B s a t =-. 两车间距离为22211(3)0.5913.522A B A B s s s a t a t t t ∆=-=--=-+-. 由数学知识可知，当992(0.5)t s s =-=⨯-时， 两车间有最大距离：2211(3)2722A B A B s s s a t a t m ∆=-=--=. 〘思维总结〙在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。
应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。
三．在共点力动态平衡中与临界极值相关问题的解读物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。
〘例4〙如图1所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。
现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
〘灵犀一点〙这是一个斜面问题。
当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。
当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。
此时是θ最大。
〘解析〙依题意可知，当mgsin θ=μmgcos θ物体处于临界状态，即tan θ=μ则θμ≤arcot讨论：θμ=tan 是一重要临界条件。
其意义是：θμ<tan 时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；θμ=tan 时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。
〘思维总结〙对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置于斜面上，如θμ≤tan ，则物体保持静止；如θμ>tan ，则物体不能保持静止，而加速下滑。
②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan<μ，则物体减速，最后静止；如θμ=tan ，则物体保持匀速运动；如θμ>tan ，则物体做加速运动。
因此，θμ=tan 这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
〘例5〙如图2所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为α的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体B 和斜面间动摩擦因数为μ（μθ<tan ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．〘灵犀一点〙摩擦力可能有两个方向〘解析〙以B 为研究对象，由平衡条件得：B T m g = 再以A 为研究对象，它受重力、斜面对A 的支持力、绳的拉力和斜面对A 的摩擦作用．假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：cos N mg θ=,0,m m T f mg f N μ--==或：0,m m T f mg f N μ+-==.综上所得，B 的质量取值范围是：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+.〘思维总结〙本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界条件下确定可能的运动趋势． 〘例6〙如图3所示，将一物体用两根等长OA 、OB 悬挂在半圆形架子上，B 点固定不动，在悬挂点A 由位置C 向位置D 移动的过程中，物体对OA 绳的拉力变化是（ ） A.由小变大 B.由大变小C.先减小后增大D.先增大后减小〘灵犀一点〙在进行动态分析时，要找到不变的因素和力发生变化的临界点〘解析〙悬挂点A 由位置C 移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。
以结点O 为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。
因重力的大小和方向始终不变，BO 绳的拉力方向不变，在AO 绳由位置C 到D 移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图4所示。
由图可知OB 绳的拉力由小变大，OA 绳的拉力由大变小，当OA 垂直于OB 时绳OA 的拉力达到最小值，此时，绳OA 的接力由减小到增大的临界点。
则C 正确。
〘思维总结〙作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，T B 的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。
要特别注意是否存在极值和临界点，这是判断力变化的切入点。
图1 图2 图3 T A2 T B 图4 T A1 G T A3 TA4四．动力学中的临界极值问题的解读在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。
此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。
〘例7〙如图5所示，一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s 2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。