最大值和最小值定理定义
什么是最大值和最小值定理问答
什么是最大值和最小值定理问答问题1：什么是最大值和最小值定理？最大值和最小值定理是微积分中的一个重要定理，它指出在闭区间上连续的函数中，函数一定会在这个闭区间的某个点取得最大值和最小值。
问题2：最大值和最小值定理的形式化表述是什么？最大值和最小值定理可以形式化地表述为：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在闭区间[a,b]内至少存在一点c，使得$f(c) \\geq f(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值。
同理，存在一点d，使得$f(d) \\leqf(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(d)是f(x)在[a,b]上的最小值。
问题3：最大值和最小值定理的重要性在哪里？最大值和最小值定理为我们对函数的极值进行研究提供了基础。
在微积分和数学分析中，求解函数最大值和最小值是一个重要的问题，通过最大值和最小值定理，我们可以知道函数在什么地方取得最大值或最小值，这对于优化问题和最优化算法有着重要的应用。
问题4：如何利用最大值和最小值定理求解函数的最值？为了利用最大值和最小值定理求解函数的最值，可以按照以下步骤进行：1.首先，确定函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的；2.然后，计算函数f(x)在闭区间端点a和b处的取值，将这些端点和可能的极值点列在一个表格中；3.然后，求出在上一步中列出的各个点处的函数值，通过比较这些函数值，找出最大值和最小值所对应的点即可。
通过以上步骤，就可以利用最大值和最小值定理求解函数在闭区间上的最大值和最小值。
问题5：最大值和最小值定理和导数有什么联系？最大值和最小值定理和导数之间有着密切的联系。
导数可以帮助我们确定函数的增减性，而函数的最值通常对应着函数的极值点。
因此，通过导数的信息，我们可以在潜在的极值点附近进行搜索，进一步求解函数的最值。
最大值和最小值定理在一定程度上可以视为导数定理的延伸，它提供了在闭区间上连续函数中寻找最值的保证。
最大值和最小值定理最大值和最小值
即：f ( x)g( x)在x0点连续。
例1 如 tan x sin x , cot x cos x 在它们的定义域内是连续的。
cos x
sin x
17
反函数、复合函数的连续性 定理4
例2
y
sin
x在闭区间
2
,
2
上单调增加且连续,
反函数y arcsin x在对应区间 1,1上单调增加且连续.
定义1 设函数
在点
的某一邻域内有定义，若函数
当
时的极限存在， 且等于它在点
处的函数值
即 就称函数
在点
连续。
此定义经常用来判断 函数在某点的连续性
上面的定义用 “
”语言表达如下：
定义2 设函数 对应的函数值
在点
的某一邻域内有定义，若对于
使得对于适合不等式
的一切
都满足不等式
就称函数
在点
连续。
1
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。
同样, y arccos x在 1,1上单调减少且连续,
y arctan x在区间 ,内单调增加且连续.
y arc cot x在区间 ,内单调减少且连续.
• 综上,反三角函数arcsin x,arccos x,arctan x, arc cot x
在它们的定义域内都是连续的。
18
定理5
注： 1. 由 lim x a,lim f u f a,1式又可写成：
x x0
ua
或
2. （2）式表示在求复合函数
f x 时，极限符号与函数
符号可以交换次序;
3. 3式表示：作代换u x,则求 lim f x就化为求lim f u,
高等数学上-闭区间上连续函数的性质
并记
f(x0 )m x iInfx
例 函数 f(x)xx在整个区间上的最小值为0 ,
但无最大值.
f(x)xx,
当 0x1 ,f(x)x; 当 1x 2 ,f(x)x 1 ; 当 2 x 3 ,f(x ) x 2 ; L L L L
y fxxx
O
x
定理1 （最大值最小值定理）.
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
两个端点分别位于x 轴的两侧，则曲线弧与x 轴至少有
一个交点.
y
y f x
oa
x0 b x
例 证明方程 xex0在区间(1,1)内有唯一的根.
证 令 f(x)xexC [1,1],
f(1 )f( 1 ) e 1 e 1 1 0 ,
由零点定理，必存在 x0 1,1，使得 f (x0 ) 0.
由于区间 a , b 可以表示为
a ,b a ,a U a ,b
由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a , b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 P n ( x ) ，若存在 x 1 , x 2 使得 Pn(x1)Pn(x2)0,
则一定存在 x0 x 1 ,x2,使 P n(x0) 0 .
y
从几何上我们可以很清楚地看到 该问题的实际意义.
O
x0
x
但该问题对于一般函数而言，结论不成立.
例如，
y
f (x)xx2
x1 ,
x1
O
x
注意到： f(0)2,f(2)2, 但不存在 x0,使f(x0)0.
关键原因在于函数不连续.
定理2 (零点定理)
单调性极值及判定最大值最小值
思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
函数的最大值 与最小值
一、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
试证当x 0时, x arctanx.
证 : 设f (x) x, g(x) arctanx,
G(x) f (x) g(x),则
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
最大值和最小值定理
上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b ) ，使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内 例1 至少有一根 .
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 , 证
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (0,1), 使 f (ξ ) = 0,
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
则有 f ( x ) ≤ K .
2009-10-21
函数与极限(13)
4
二、介值定理
定义: 使 f ( x0 ) = 0 的 x0 称为 f ( x )的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
数的最大值和最小值
数的最大值和最小值数学中，数的最大值和最小值是常用的概念。
在数轴上，数的大小可以通过比较来确定，其中最大值是指一组数中最大的数，而最小值则是指一组数中最小的数。
本文将介绍最大值和最小值的定义，以及计算最大值和最小值的方法。
一、最大值和最小值的定义在一组数中，最大值是指这个数集中的最大的数；最小值则是指这个数集中的最小的数。
最大值和最小值在比较数的大小和做数学运算中具有重要的作用。
二、计算最大值和最小值的方法1. 查找法通过逐个比较每个数，找到其中最大的数和最小的数。
设有一组数a1，a2，a3，...，an，首先假设a1为最大值和最小值，然后依次比较后续的数与当前的最大值和最小值，如果找到更大的数，则更新最大值的值，如果找到更小的数，则更新最小值的值。
最终得到的最大值和最小值即为所求。
2. 排序法先将一组数按照从小到大（或从大到小）的顺序进行排序，在有序数列中，最小值为首个数，最大值为末尾数。
可以使用冒泡排序、插入排序、快速排序等算法进行排序。
3. 数学方法如果给定的数是一个数学公式或问题的解，可以通过求导和求解函数的极值来找到最大值和最小值。
这一方法常被用于求解最优化问题，例如求函数的极大值和极小值。
三、最大值和最小值的应用最大值和最小值的概念在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 统计学在统计学中，最大值和最小值可以用于描述数据集的范围。
例如，在描述一组考试成绩时，最高分为最大值，最低分为最小值，可以帮助我们了解整体成绩水平。
2. 经济学在经济学中，最大值和最小值可以用于描述经济数据的波动范围。
例如，在分析股票市场时，最高点为最大值，最低点为最小值，可以帮助投资者了解股票的波动情况。
3. 工程学在工程学中，最大值和最小值可以用于确定材料的极限状态。
例如，在设计一座桥梁时，通过对应力值的计算，可以确定桥梁材料的最大受力值和最小受力值，从而保证桥梁的安全性。
4. 计算机科学在计算机科学中，最大值和最小值可以用于排序算法、搜索算法等。
最大值与最小值是什么关系
最大值与最小值是什么关系在数学和统计学中，最大值和最小值是常见的概念。
它们在许多领域都有着重要的作用。
最大值代表了一组数据中的最大数值，而最小值则代表了一组数据中的最小数值。
下面我们将探讨最大值与最小值之间的关系以及它们在数据分析中的应用。
最大值与最小值的定义首先，我们来定义最大值和最小值。
在一组数据中，最大值是指数值中最大的那个，表示数据中的最高点；而最小值则是指数值中最小的那个，表示数据中的最低点。
在统计学中，最大值和最小值可以帮助我们找到数据集的范围，即最大值与最小值之间的距离。
最大值与最小值的关系最大值和最小值之间有着密切的关系。
一般情况下，在一个数据集中，最大值和最小值是有限的，而且最大值一定大于等于最小值。
这是因为最大值代表了整个数据集中最大的数值，而最小值则代表了整个数据集中最小的数值。
因此，在数值上，最大值和最小值之间一定存在一种顺序关系，即最大值总是大于或等于最小值。
最大值与最小值的作用最大值和最小值在数据分析中具有重要作用。
首先，通过比较最大值和最小值，我们可以得到数据集的范围，进而了解数据集的分布情况。
其次，最大值和最小值也可以帮助我们识别数据集中的异常值。
如果某个数值远远大于最大值或远远小于最小值，那么这个数值很可能是异常值，需要进行进一步的调查和处理。
此外，通过比较最大值和最小值，我们还可以了解数据集的波动情况和变化趋势，为进一步的分析提供参考。
结论最大值和最小值是一组数据中的重要指标，它们之间存在着密切的关系，最大值一定大于等于最小值。
在数据分析中，最大值和最小值可以帮助我们了解数据集的范围、分布情况、异常值等重要信息，为后续分析提供参考。
因此，理解最大值和最小值之间的关系对于数据分析和统计学具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
且在点 x a右连续， 若f ( x ) 在(a, b)内连续，
在点x b左连续，
. 则称f ( x ) 在闭区间 [a, b]上 连 续
连续函数的几何意义: 若y f ( x) 在 [ a, b]上连续, 则对应于函数的图形(曲线) 是连续不断的, 若在 x0处 f ( x) 不连续, 则图形在 x0 必断开,
且断开的形式是多种多样的.
. 例1 证明 y sin x 在 (, ) 内连续 证 设 x 是 ( , ) 内任一点 , 当 x 有 增 量x 时 ， 相应的函数增量为 x x y sin(x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos( x ) 1, 2 x x y 2 sin 2 x 2 2
ln(1 3x ) lim f ( x ) lim [ a ( x 1 )] x 0 x 0 tan x
3x lim lim a( x 1) 3 a x 0 x x 0 而 f (0) b. 根据函数连续的定义知
3 a 0 , b 0 从 而 得 a 3, b 0
且 lim f ( x )存在， 则称x0为 f ( x)的可去间断点；
(2) 若 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 中至少有一个不存在 ,
x x0
则称x0为 f ( x)的第二类间断点； 1, x 0 例4 y sgn( x) 0, x 0 , 则 x 0 为第一类间断点； 1, x 0
于是
x 0
lim y 0, 由 x 的任意性知
y sin x 在 ( , ) 内 连 续 .
同法可以证明 y
cos x 在 (,) 内也连续
x 2 x 1, x 0 例2 证明 f ( x ) 在 x 0 连续. x0 sin x 1, 证 因为 lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1, 且 f (0) 1
x 0
x 0
因此 f ( x ) 在 x 0 连续.
例3
1 2 x sin x , x0 sin x 设 f ( x ) b, x0 ln(1 3 x ) a( x 1), x 0 tan x
函数 f ( x ) 在 x 0 连续 问 a , b 为何值时， 1 2 x sin x 1 x 解 lim f ( x ) lim lim lim x sin 0 x 0 x 0 x 0 sin x x 0 sin x x
并称 x0 为 f ( x ) 的连续点
反之,称函数在x0 处间断,
且将x0 叫作函数的间断点
因为
y f ( x0 x) f ( x0 ) 故由
x 0x 0来自lim y 0可推得 lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 或
x 0
lim f ( x ) f ( x0 )
( 4) 若 f ( x ) 在x0附近满足：
1) f ( x ) 在 x0 的邻域（含 x0）有定义
2) l i m f ( x ),
x x0
x x0
lim f ( x) 都 存 在 ;
3) li m f ( x ) li m f ( x ) f ( x0 );
x x0 x x0
第六节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性
增量 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，
称为自变量的增量 . 用 x 表示自变量的变化，
若 x从x0变到x0 x , 则 y从f ( x 0 )变 到f ( x 0 x ),
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 为函 数 y f ( x ) 的增 量
f ( x0 x)
f ( x0 )
注意
y
x
(1) 增量可正、可负、可为 零；
(2) y 为整体符号 .
0
x0 x0 x
且 随x的 变 化 而 变 化
二.函数连续的定义
定义1
设函数 y f ( x) 在点 x0 的
某邻域内有定义，
若
x 0
lim y 0
则称函数 y f ( x) 在点 x0 是连续的，
于是,得到连续性的等价定义
注意 等价定义如下
x 0
(1)
( 2)
lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
(3) 对 0， 0， 当 x x0 时， 有 f ( x) f ( x0 )
xx0
x0
xx0
(3) 在点 x0处有定义，且 lim f ( x)存在，
但 lim f ( x) f ( x0 )；
xx0
间断点分类
但 f ( x ) 和 f ( x , (1) 若 f ( x) 在点 x0间断， 0 0 ) 都存在 则称x0为 f ( x)的第一类间断点；
若x0为 f ( x )的第一类间断点，
三、间断点
定义3
若 f ( x) 在点x0不连续， 则点x0称为f ( x) 的间断点 .
即函数 f ( x) 在点 x0 有下列三种情况之一出 现，
则点 x0称为函数 f ( x) 的间断点: (1) 在点 x0附近有定义， 但在点 x0处无定义；
0
(2) 在点 x0处虽有定义，
x0
0
但 lim f ( x)不存在；
则称 f ( x ) 在x0 连 续
定义2
若 lim f ( x ) f ( x0 )，
x x0
则称f ( x ) 在x0左连续 .
若 lim f ( x ) f ( x0 )，
x x0
则称f ( x ) 在x0右连续 .
若f ( x ) 在开区间 (a, b)内每一点连续，
则 称f ( x ) 在(a, b)内 连 续 。