北京市朝阳区2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(有答案)
北京市朝阳区2016~2017学年度第二学期期末统一考试
高一年级数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．点(1,0)P 到直线30x y --=的距离为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
2．已知角α的终边在第四象限，且3
sin 2
α=-，则tan α的值为（ ）．
A ．3-
B ．3
3
-
C ．
33
D ．3
3．已知直线210x y -+=与直线20x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ）．
A ．2-
B ．1
2
-
C ．
12
D ．2
4．已知平面向量a ，b 满足(1,1)a =，6b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）．
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
5．若函数ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>-<< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则ω和ϕ的值分别是（ ）．
A ．2ω=，π
4
ϕ=
B ．2ω=，π
4
ϕ=-
C ．12ω=
，π
8
ϕ= D ．12ω=
，π8
ϕ=- 6．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）．
A ．21n -
B ．11612n ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
C ．121n --
D ．111612n -⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
7．在梯形ABCD 中，24DC AB PC ==，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的值为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．
52
D ．3
8．将函数π2sin 6y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图
象向左平移π
3个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为（ ）．
A ．π4x =
B ．π8
x =
C ．π
4
x =-
D ．π
2
x =-
9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（ ）． A ．
13
22
B ．
3733
C ．
4744
D ．
6766
10．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π
3
C =，3c =．当AB AC ⋅取得最大值时，b
a 的值为（ ）． A ．312
+
B ．3
22
+
C ．23-
D ．23+
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上． 11．已知平面向量(1,2)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则x 的值为__________．
12．若点(4,0)A 与点(0,2)B 关于直线l 对称，则直线l 的斜率为__________．
13．若实数x ，y 满足条件0,10,1,x y x y y -⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≥≤≥则2z x y =+的最大值为__________．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121()n n a S n +=+∈N *，则2a =__________，通项公式n a =__________．
15．如图，在ABC △中，45C ∠=︒，D 是BC 边上的一点，且7AB =，5AD =，3BD =，则A D C
∠的度数为__________，AC 的长为__________．
16．已知等式sin1sin 2sin 3sin 4sin sin1sin 2sin 3sin 4sin x x ︒+︒+︒+︒+
+︒=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅
⋅︒，其中x 是
正整数，当190x ≤≤时，满足该等式的x 的个数为__________；当12017x ≤≤时，满足该等式的x 的个数为__________．
三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分9分）
已知函数22()cos sin 23sin cos f x x x x x =-+．
（I ）求()f x 的最小正周期．
（II ）求()f x 在区间ππ,43⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
18．（本小题满分9分）
已知数列{}n a 为等比数列，且21a =，527a =，{}n b 为等差数列，且13b a =，44b a =．
（I ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列2n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
19．（本小题满分10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos c A a C =．
（I ）求角C 的大小．
（II ）若31c =，7a b +=，求ABC △的面积．
20．（本小题满分12分）
如果存在常数A ，对于数列{}n a 中任意一项()i a i ∈N *，i A a -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}
n a 具有D 性质，常数A 是它的D 性系数．
（I ）若数列：2，3，6，(6)m m >具有D 性质，且它的D 性系数为A ，求m 和A 的值． （II ）已知等差数列{}n b 共有101项，所有项之和是S ，求证：数列{}n b 具有D 性质，并用S 表示它
的D 性系数．
（III ）对于一个不少于3项，且各项均为正整数的等比数列{}n c ，能否同时满足：①对于任意的正整数i ，j ，当i j <有，有i j c c <；②具有D 性质．请给出你的结论，并说明理由．
参考答案
1-5：BABDC 6-10：ACDDD 11、－2 12、2 13、3 14、3 1
3
n -
15、30°
56
2
16、1 11 17、
18、
19、
20、。
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷答案
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末考试高一
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
2016-2017年北京二中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣14．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b25．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝16．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4 7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．614．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是；z＝x2+y2的最小值是．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为．三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线y＝x+1的倾斜角为α，则tanα＝，其中α∈[0°，180°）；∴α＝60°．故选：B．2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，又经过（1，0），∴1﹣0+c＝0故c＝﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1＝0；故选：A．3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【解答】解：直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，∴2×＝﹣1，解得m＝﹣1．故选：D．4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，D正确．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，化为：＜．可知：A不正确，C正确．故选：A．5．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．6．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c＝0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2＝，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a＝﹣2，b＝4，c＝4，故选：B．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交【解答】解：∵AB∥CD，AB⊂面α，CD⊄面α，∴CD∥面α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是平行或异面．故选：B．9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①由m⊂α，n⊂α，且m∩n＝O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故①不正确；②n∥m，n⊂α，如果m⊂α则不可能有m∥α，可得②不正确；③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则③不正确；④m∥α，n⊂α⇒m∥n或m，n异面，则④不正确．综上可得，没有正确的命题．故选：A．10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，∴，解得m＝2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3＝0与6x+2y+1＝0，即6x+2y﹣6＝0与6x+2y+1＝0．∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．故选：D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1＝0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选：C．12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：折起后的四棱锥是P﹣ABCD，如图所示，对于①，由题意，EF∥AD，GH∥BC，且AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF与GH不是异面直线，①错误；对于②，由EF∥BC知，∠PBC是异面直线EF与PB所成的角，又△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝60°，②正确；对于③，EF∥GH，EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，③正确；对于④，EF∥AD，EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理，EH∥平面ABCD，且EF∩EH＝E，由EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，④正确；综上，其中正确的结论是②③④，共3个．故选：D．13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．6【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6．故选：D．14．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【解答】解：解法一：∵A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4＝45个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．【解答】解：∵＞1，∴＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得：1＜x＜2．∴不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是8；z＝x2+y2的最小值是．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，3）时，目标函数取得最大值z＝2+2×3＝8．z＝x2+y2的最小值就是坐标原点与只需x+y＝1距离的平方，即：＝．故答案为：8；．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是x2+（y+1）2＝4．【解答】解：设圆心C（0，﹣1）关于直线x﹣y﹣1＝0对称的点M的坐标为（a，b），则由，解得a＝0，b＝﹣1，故对称圆的方程为x2+（y+1）2＝4．故答案为：x2+（y+1）2＝4．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是3．【解答】解：过A，B的直线方程为：；点M（x，y）为直线AB上的动点；∴；∴；∴xy的最大值是3．故答案为：3．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，△DMN是正三角形，∴MN∥AC，且MN＝DM＝DN＝＝＝，∴△DMN的边长为．故答案为：．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或．【解答】解：当t＝时，直线方程为x+（y+1）＝2，即为x+y＝3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为×3×＝，直线系x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．∵点（0，﹣1）到直线的距离d＝＝2，∴直线系都是圆C：x2+（y+1）2＝4的切线．当圆C是正三角形的内切圆时，则AB＝2•＝4，∴S＝AB2＝12，当圆C是正三角形的旁切圆时，则FC＝2r＝4，CE＝r＝2，∴FE＝2，∴AB＝2AE＝2EF tan30°＝∴S＝AB2＝综上所述该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或，故答案为：，12或三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，∴，∵PC⊂平面P AC，EF⊄平面P AC，∴EF∥平面P AC．（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG，∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面PEG．（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，∴，∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N点为所找的H点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【解答】解：（1）∵M（0，﹣1）和N（2，5），∴，则l MN：y+1＝3x，与直线MN垂直的直线斜率，l′：y+1＝，整理得所求两条直线为﹣3x+y+1＝0和x+3y+3＝0．（2）∵直线MN方程为：y﹣3x+1＝0，另外一条对角线斜率k′＝，设MN中点为G（1，2），则另一条对角线过G点，∴y﹣2＝，整理得3y+x﹣7＝0，设另外两个端点坐标分别为M′（x1′，y1′），N′（x2′，y2′），∵M′在直线3y+x﹣7＝0上，∴3y1′+x1′﹣7＝0，①且|OM|2＝|OM′|2，即，②联立①②解出或，即另外两个端点为（﹣2，3）与（4，1）．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，∴m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，由得，即直线l过定点M（3，1）；（2）方法一：由题意可知：圆心C：（4，0），∴k MC＝﹣1，又∵所截弦长最短时，k MC•k l＝﹣1，∴k l＝1，∴直线方程为y＝x﹣2；方法二：∵圆心C（4，0）到直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0的距离，d＝＝＝，设弦长为a，则a2+d2＝r2，当所截弦长最短时，d取最大值，∴d＝＝，令＝t，∴d＝；令g（t）＝2t2+6t+5＝2（t2+3t+﹣）+5＝2+，当t＝﹣时，g（t）取到最小值；此时m＝＝﹣，d取最大值，弦长取最小值，直线l的方程为y﹣x+2＝0；（3）设P（x0，x0﹣2），当以P为圆心，为半径画圆P，当圆P与圆C刚好相外切时，|CP|＝＝2，解得x0＝0或x0＝6，由题意，圆P与圆心有两个交点时符合题意，∴点P横坐标的取值范围为（0，6）．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2y+m＝0，可得x2+（y﹣1）2＝1﹣m．∵x2+（y﹣1）2＝1﹣m表示圆，∴1﹣m＞0，即m＜1．又∵圆C与直线y＝0无公共点，∴1﹣m＜1，即m＞0．综上，实数m的取值范围为0＜m＜1；（2）∵圆C过坐标原点，∴m＝0，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1．圆心C（0，1），半径为1．当a＝1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．由题意可设直线l的方程为y＝kx+a，△ABC的面积为S，则S＝|CA|•|CB|•sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即．整理得：k2＝2（a﹣1）2﹣1≥0，解得a≤1﹣或a≥1+．①当a∈[0，1﹣]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2a2﹣4a+1，即u＝2a2﹣4a+1．②当a∈（1﹣，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．1°a∈[0，1﹣]∪[1+，2]，u＝2a2﹣4a+1＝2（a﹣1）2﹣1，当a＝2或a＝0时，u取得最大值1．2°a∈（1﹣，1）∪（1，1+），u＝0．由1°、2°得，u的最大值是1．。
北京101中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M={x|x2-4x+3<0}，N={x|3-x>1}，则M N=（）A. {x| 1<x<3}B. {x| 1<x<2}C.D. {x| x<3}2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A. 90B. 100C. 180D. 3003. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A. 9B. 18C. 20D. 354. 重庆市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）A. 19B. 20C. 21.5D. 235. 在区间[0，2]上随机取一个实数x ，若事件“3x-m<0”发生的概率为61，则实数m 的值为（ ）A. lB.21C.31D.61 6. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,03,01y y x y x 则2x+y 的最小值为（ ）A. 11B. 5C. 4D. 27. 已知实数x ，y 满足a x<a y（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ） A.111122+>+y x B. ln （x 2+1）>ln （y 2+1） C. sinx>sinyD. x 3>y 38. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=21，有下列结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD ；③平面ACC 1A 1⊥平面BEF ；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等。
北京市朝阳区高一数学下学期期末试卷(含解析)
北京市朝阳区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．计算cos330°的值为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用余弦函数的诱导公式cos（2π﹣α）=cosα，即可求得cos330°的值．解答：解：cos330°=cos（﹣30°+360°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：D．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．函数y=sinx图象的对称轴方程可能是( )A．x=﹣πB．x=C．x=πD．x=考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由于当x=±π时，函数的值等于零，不是最值，故函数的图象不关于x=±π对称，故排除A、C；当x=时，y=，不是最值，故函数的图象不关于x=对称；故排除B；由于当x=时，函数y取得最小值为﹣1，故函数y=sinx图象关于直线x=对称，故选：D．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于( )A．5 B．6 C．8 D．10考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为( )A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：数形结合．分析：观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．解答：解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，是基础题．6．在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是( )A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，2），此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为( )A．a，32b B．32a，C．16a，D．16a，考点：有理数指数幂的化简求值．专题：等差数列与等比数列．分析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．解答：解：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，故对折5次后报纸的厚度为25a=32a，报纸的面积×b=，故选：B．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细分析，避免错误8．已知，，，，则的最大值为( ) A．B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．解答：解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题9．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则( )A．a，b，c成等差数列B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．解答：解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．点评：本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．10．记函数f（x）=1+的所有正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…，若θ=x1+x2+x3+…x2015，则cosθ的值是( )A．﹣1 B．C．0 D．1考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，求得x=2kπ+π，k∈z；从而求得θ=x1+x2+x3+…+x2015的值；再利用诱导公式求得cosθ的值解答：解：令函数f（x）=1+=0，求得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，∴，∴x=2kπ+π，（k∈z），由题意可得x1 =π，x2 =2π+π，x3 =4π+π，…，x2015 =2014×2π+π，∴θ=x1+x2+x3+…+x2015=（1+2+3+…+2014）2π+2015×π，∴cosθ=cos=cosπ=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．已知半径为3的扇形的弧长为4π，则这个扇形的圆心角的弧度数为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数．解答：解：由题意可知，l=4π，r=3扇形圆心角的弧度数为：α==．故答案为：．点评：本题考查扇形圆心角的弧度数的求法，考查计算能力．12．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则m的值是8．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件，求解即可．解答：解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，可得m=8，故答案为：8．点评：本题考查在的平行的条件的应用，基本知识的考查．13．已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则a4=13．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．解答：解：∵a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；∴a2=a1+2=3，a3=a2+2•2=3+4=7，a4=a3+2•3=7+6=13，故答案为：13．点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．14．如图，一只蜘蛛从点O出发沿北偏东45°方向爬行xcm，到达点A处捕捉到一只小虫，然后沿OA方向右转105°爬行10cm，到达点B处捕捉哦另一只小虫，这时他沿AB方向右转135°爬行回到它的出发点O处，那么x=．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10，再由正弦定理可确定答案．解答：解：由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10根据正弦定理可得：，∴x=，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属基础题．15．已知点M（﹣1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是2．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果．解答：解：如图所示：点M（﹣1，0）关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′（0，﹣1），故直线M′N的方程为=，即 3x﹣y﹣1=0，故点M到直线M′N的距离为=．由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时，且此最小值为|M′N|=2，故答案为：；2．点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为﹣5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．解答：解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．故答案为：；﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能三、解答题：本大题共4小题，共4分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式即可得解．（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．解答：（本题满分为9分）解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2=+sin2x﹣2=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期T=…5分（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[k，k]（k∈Z）…9分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=2，求证：△ABC为等边三角形．考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用数量积公式求出A的余弦值，进而求角A的大小；（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三边，判断三角形的形状．解答：解：（Ⅰ）由向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．得到﹣1+2cosA=0解得cosA=，由0＜A＜π，所以A=；（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=，b+c=2，所以3=b2+c2﹣2bc=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，解得c=，所以b=，所以a=b=c=，所以三角形为等边三角形．点评：本题考查了平面向量的数量积运用以及利用余弦定理判断三角形的形状；属于基础题目．19．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 2 0 ﹣2 0 （Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可解得ω，φ的值，由，，，可求x1，x2，x3的值，又由Asin（）=2，可求A的值，即可求得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（），y=f（x）g（x）=2sin（x﹣），结合范围x∈[0，π]时，可得x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．解答：（本题满分为10分）解：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可得，φ=﹣，由，，，可得：x1=，，，又因为Asin（）=2，所以A=2．所以f（x）=2sin（）…6分（Ⅱ）由f（x）=2sin（）的图象向左平移π个单位，得g（x）=2sin（）=2cos（）的图象，所以y=f（x）g（x）=2×2sin（）•cos（）=2sin（x﹣）．因为x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]，所以实数k的取值范围为：[﹣2，]…10分点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．对于数列{a n}，如果存在正整数k，使得a n﹣k+a n+k=2a n，对于一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k﹣等差数列．（1）若数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{a n}是3﹣等差数列，且a n=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{a n}的前3n项和S3n；（3）若{a n}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{a n}是等差数列．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由a n=﹣n+sinωn，且{a n}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．解答：（1）解：由数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{a n}是3﹣等差数列，a n+3+a n﹣3=2a n，∵a n=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此时a n=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）证明：若{a n}为2﹣等差数列，即a n+2+a n﹣2=2a n，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{a n}为3﹣等差数列，即a n+3+a n﹣3=2a n，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：a n=a1+（n﹣1）d，∴{a n}为等差数列．点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．。
2016-2017北京朝阳三里屯高一下期中数学真题卷
北京市三里屯一中2016-2017学年第二学期高一期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．与263-︒角终边相同的角的集合是（ ）．A ．{}|360250,k k αα=⋅︒+︒∈ZB ．{}|360197,k k αα=⋅︒+︒∈ZC ．{}|36063,k k αα=⋅︒+︒∈ZD ．{}|360263,k k αα=⋅︒-︒∈Z【答案】D【解析】当α终边相同的角与α相差360︒的整数倍，所以，与263-︒角终边相同的角的集合是{}|360263,k k αα=⋅︒-︒∈Z ． 故选D ．2．若cos 0α<，tan 0α>，则角α的终边在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵cos 0α<，∴α的终边在第二象限，第三象限或x 轴负半轴上， 又∵tan 0α>，∴α的终边在第三象限． 故选C ．3．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则tan α的值是（ ）．A ．1213B ．1213-C ．512D ．512-【答案】D【解析】∵α是第二象限的角，且5sin 13α=，∴12cos 13α=-， ∴sin 5tan cos 12ααα==-． 故选D ．4．正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++等于（ ）．A ．CFB ．BEC ．ADD ．0【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF 中，CD AF =，EF CB =， ∴BA CD EF BA AF CB BF CB CF ++=++=+=． 故选A ．5．若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）．A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【答案】B【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直， ∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=， ∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2||||||||b a b a b a b b b -⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒．故选B ．6．如图为函数5sin()10y x ωϕ=++的部分图象，则ω、ϕ的可能取值是（ ）．A ．π4ω=、πϕ=- B ．π4ω=、0ϕ= C ．π8ω=、3π4ϕ=D ．π8ω=、π4ϕ=- 【答案】C【解析】根据题意12π14622T ω=⨯=-，得π8ω=， 当6x =时，5sin()105y x ωϕ=++=，即sin()1x ωϕ+=-，∴π3π682ϕ⨯+=，解得3π4ϕ=， 综上所述．故选C ．7．设5πsin 7a =，2πcos 7b =，2πtan 7c =，则（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】∵5π2πsin sin 77a ==，2π3πcos sin 714b ==， 而2π3π714>，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴2π3πsin sin 714>，即a b >， 又∵2ππtan tan 174>=， ∴c a b >>．故选D ．8．为了得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数3sin y x =的图象上所有点的（ ）．A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移π10个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移π10个单位长度C ．向右平移π5个单位长度，再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）D ．向左平移π5个单位长度，再把所得图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）【答案】A【解析】把函数3sin y x =上的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数3sin 2y x =的图象，在把所得图象上所有的点向左平移π10个单位长度得到π3sin 210y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．故选A ．9．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）．A ．πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin cos y x x =C ．sin 2cos2y x x =+D ．tan 2y x =【答案】B【解析】A 项，πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故A 项错误； B 项，1sin cos sin 22y x x x ==，是奇函数，且最小正周期2ππ2T ==，故B 项正确；C 项，πsin 2cos 224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，故C 项错误；D 项，tan 2y x =是奇函数，但最小正周期π2T =，故D 项错误； 综上所述． 故选B ．10．点(,)P x y 是函数15()π,22f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的点，已知点(2,0)Q ，O 为坐标原点，则OP QP ⋅的取值范围是（ ）．A ．[1,0]-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[11]-【答案】B【解析】∵点(,)P x y 是函数15()π,22f x x x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的点，∴πy x =，∴222223(,)(2,)(2)2πsin π24OP QP x y x y x x y x x x x x x ⎫⋅=⋅-=-+=-+=+-⎪⎪⎝⎭，222353sin π(1)1(1)cos2488x x x x =+--=---， ∵15,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴当1x =时，OP QP ⋅有最小值为1-；当12x =-或52时，OP QP ⋅有最大值为2，∴OP QP ⋅的取值范围为[1,2]-．故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=__________．【答案】【解析】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =∴sinα==．12．sin 35cos 25cos35sin 25︒︒+︒︒的值等于__________．【解析】sin 35cos 25cos35sin 25sin(3525)sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=．13．已知平面向量a ，b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则|2|a b +=__________．【答案】【解析】∵平面向量a ，b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =， ∴1||||cos602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯=，∴222|2|||44||44412a b a a b b +=+⋅+=++=， ∴|2|23a b +=．14．设向量(1,sin )a θ=，(3sin ,1)b θ=，且a b ∥，则cos 2θ等于__________．【答案】13【解析】∵(1,sin )a θ=，(3sin ,1)b θ=，且a b ∥，∴23sin 1θ=，即21sin 3θ=，∴221cos212sin 133θθ=-=-=．15．如图，在ABC △中，D 为BC 中点，AD AB ⊥，1AD =，则AC AD ⋅=__________．【答案】2【解析】∵AD AB ⊥， ∴0AD AB ⋅=，∴()22()AC AD AB BC AD BC AD BD AD AD AB AD ⋅=+⋅=⋅=⋅=-⋅，222222AD AB AD AD =-⋅==．16．已知P ，Q 为ABC △所在平面内的两点，且满足1124AP AB AC =+，1142AQ AB AC =+，则APQ ABCS S =△△__________． 【答案】316【解析】取AB 中点E ，AC 中点F ，连接EP 并延长，交BC 于G ，连接PQ 并延长，交BC 于G '，根据1142AQ AB AC =+，有EP AC ∥， ∴G 为BC 中点，同理G '也为BC 中点，即G 与G '重合， ∵APQ EFG AEQ AFD GPQ S S S S S =---△△△△△，∴APQ △的面积为平行四边形AEGF 面积的38，又∵平行四边形AEGF 的面积为ABC △面积的12，∴316APQ ABCS S =．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，(2,1)A ，(1,3)B ，(cos ,sin )C θθ． （1）求OA 与OB 的夹角． （2）若OC AB ⊥，求tan θ的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵(2,1)A ，(1,3)B ， ∴(2,1)OA =，(1,3)OB =，∴cos ,||||5OA OB OA OB OA OB ⋅===⋅，∴OA 与OB 的夹角为45︒．（2）∵(2,1)A ，(1,3)B ，(cos ,sin )C θθ， ∴(cos ,sin )OC θθ=，(1,2)AB =-， 又OC AB ⊥，∴cos 2sin 0θθ-+=，即2sin cos θθ=， ∴sin 1tan cos 2θθθ==． 18．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值．（2）求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知，πtantan π1tan 4tan 241tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，∴1tan 3α=．（2）2222sin 2cos sin 2sin cos sin sin (2cos 1)sin cos22cos 12cos 1αααααααααααα---===--， ∵1tan 3α=，∴cos 3sin αα=，又∵22sin cos 1αα+=，∴21sin 10α=， 又α为锐角，∴sin α=∴sin 2cos sin cos 2αααα-．19．（本小题满分14分）已知函数21()sin cos cos22f x x x x x =+-，x ∈R ．（1）求()f x 的单调增区间．（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，及此时x 的取值．（3）若00π02x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）21()sin cos cos22f x x x x x =+-，1cos212cos222x x x -=-，12cos22x x =-+，π12sin 262x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+-+≤≤，k ∈Z ，得ππππ63k x k -++≤≤，k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间为：πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当ππ262x -=时，即π3x =时， ()f x 取得最大值max 5()2f x =．（3）若00π02x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤为()f x 的一个零点，则00π1()2sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴0π1sin 264x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∵0π02x ≤≤，∴0ππ5π2666x --≤≤，∴0ππ2066x --≤≤，∴0πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴0000ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1142=-+，=。
2016-2017学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．304．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．105．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n 项和S n＝．10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1＝20}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}，故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【解答】解：．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．30【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n T循环前/1 0 0第一圈是 5 2 2第二圈是9 4 6第三圈是13 6 12第四圈是17 8 20第五圈否所以最后输出的T值为20．故选：C．4．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．10【解答】解：∵x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），∥，∴，解得x＝2，∴＝（﹣1，2），∴＝（1，3），∴|+|＝＝．故选：B．5．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增，则a≤1，∴“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在区间（1，+∞）上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）【解答】解：由于函数f（x）是周期为2的偶函数，∴f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（）．∵当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，故f（x）在（0，1）上单调递减．∵＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），即f（﹣）＞f（）＞f（），故选：C．8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【解答】解：（1）若只有甲预测正确，则甲为第一名或第三名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第三名，于是丙为第二名，故丙预测正确，矛盾；（2）若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第二名，于是丙为第三名，乙为第一名．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n项和S n＝2﹣21﹣n．【解答】解：由题意a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则∴数列{a n}为等比数列，公比q＝，∴a n＝．数列{a n}的前n项和S n＝＝2﹣21﹣n．故答案为：，2﹣21﹣n10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是8．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（4，0），此时z＝2×4+0＝8，故答案为：8．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝＝．则tanα＝．那么tan2α＝．故答案为：，．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．【解答】解：mn≤＝，m＝n＝时取等号，∴mn的最大值是，故答案为：．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝3．【解答】解：根据题意，如图所示：+＝2，﹣＝，若|+|＝|﹣|，则有|2|＝||＝6，即||＝3；故答案为：3．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝﹣sin x；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．化简可得：f（x）＝sin2x﹣1+cos2x＝sin（2x+）﹣1．∴函数f（x）的最小正周期T＝．令．k∈Z．可得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（II）由（I）函数f（x）＝sin（2x+）﹣1．∵x∈[﹣，0]上，∴2x+∈[，]．当2x+＝时，f（x）取得最小值为＝．故得函数f（x）在[﹣，0]上的最小值为﹣（）．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．【解答】解：（1）等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列，所以a3＝a1a11．设数列{a n}的公差为d，则（a1+2d）2＝a1（a1+10d）．将a1＝2代入上式化简整理得d2+d＝0，又因为d≠0，所以d＝﹣1．于是a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣n+3，即数列{a n}的通项公式为a n＝﹣n+3．（2）∵{a n}为等差为﹣1等差数列，∴a1，a3，a5…a2n﹣1是等差为﹣2的等差数列，∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝2n+×（﹣2）＝3n﹣n2．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．【解答】解：（I）A＝2B，sin B＝．则cos B＝正弦定理，可得sin A＝sin2B，即sin A＝2sin B cos B＝2×＝．那么cos A＝．（II）b＝2，sin B＝．sin A＝，正弦定理：，可得：a＝余弦定理：a2＝c2+b2﹣2bc cos A．即可得c＝．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（I）解：f（0）＝2．可得切点（0，2）．f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝（x﹣1）cos x﹣sin x+1，f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．可得切线斜率为0．∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣2＝0．（II）证明：∵x∈（0，1），∴f″（x）＝cos x﹣（x﹣1）sin x﹣cos x＝（1﹣x）sin x＞0，∴函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．∴f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）解：由（II）可得：函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，在x∈（1，π）单调递减．f′（0）＝0，f′（1）＝1﹣sin1＞0，f′（）＝0，f′（π）＝2﹣π．∴函数f′（x）在[0，π]上有两个零点0，．又f（0）＝2，＝π﹣1，f（π）＝π﹣2．∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值分别为：π﹣1，π﹣2．。
北京朝阳外国语2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(word含解析)
北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．62．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．194．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．497．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）． A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）． A ．4 B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填 序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠．（Ⅱ）若ABC △，求b 的值．17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．18．如图，四棱锥P ABCD，底面四边形ABCD是菱形，E为侧棱PD中点，平面ABE交侧棱PC于F．（Ⅰ）若PA⊥平面ABCD，求证：BD PC⊥．（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD．（Ⅲ）试在平面PAB内找一点G，使得EG∥平面PAC（写出作图方法即可，无需说明理由）19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，1714a a +=， ∴47a =， ∵35a =， ∴59a =．2．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()sin 2f x x =向左平移π4得到ππ()sin 2sin 244g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()cos2g x x =（诱导公式）．3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19【答案】B【解析】∵(1,1)a c m n +=++ 且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴||a = ．4．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD．【答案】D【解析】∵外接球体积为36π，设半径为R ，则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a26R ==，即a =．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >【答案】C【解析】∵()n a f n =，*n ∈N 为递增数列， ∴240124(4)44a a a a a⎧->⎪>⇒<<⎨⎪-⨯-<⎩．6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．49【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥， 底面为22⨯的正方形，高为2，∴1822233V =⨯⨯⨯=．7．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）．A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-【答案】D【解析】∵12n n nna a --=，11a =， ∴232a =，3158a =，4178a =，57332a =， ，可写为252222+-，353222+-，454222+-，555222+-， ，∴2017n =时，201720175201922a =-．8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】如图所示，共6个．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________． 【答案】1或9【解析】由题意可得：216a =，210b =， ∴4a =±，5b =， ∴1a b +=或9．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________． 【答案】90︒【解析】建系，1(0,1,1)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，1(1,0,1)D ， ∴1(1,1,1)B D =-- ，1(0,1,1)CD =-， ∵110B D CD ⋅=， ∴为90︒．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥ 【答案】②④【解析】①中l 与m 可以异面， ③中l 与β可以相交或平行．12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．【答案】101010111⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】设第几项为最大项，则 11n n n n a a a a -+⎧⎨⎩≥≥， 即1010(101)(109)11111010(101)(101)1111n nn nn n n n ⎧⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥， 解得10.99.9n n ⎧⎨⎩≤≥，∵*n ∈N ， ∴10n =， ∴10max 101010111n a a ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________． 【答案】34【解析】如图所示在ABC △中，EF EA AF =+1324BA AC =+13()24BC CA AC =++1142AC BC =+． ∴14x =，12y =，∴34x y +=．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．【答案】233n n +【解析】建系，以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，则n B 点的横坐标为2(1)121n n -+=-∴1(216n n a AB AB n n =⋅=⋅-=． ∴2(66)332n n n S n n ⨯+==+．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）∵π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1sin cos 64x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11sin sin 24x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭211cos sin 24x x x +-12cos24x x - 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴最小正周期2ππ2T ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1π()sin 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ2π22π262k x k --+≤≤，k ∈Z 时为增，即ππππ63k x k -+≤≤，k ∈Z ，当0k =时，在[0,π]上有单增区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当1k =时，在[0,π]上有单增区间5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．∴()f x 在[0,π]上的单增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠． （Ⅱ）若ABC △，求b 的值． 【答案】（Ⅰ）45︒；【解析】（Ⅰ）∵ab =，π3B ∠=， ∴由正弦定理得sin sin a b A B=sin 2=，∴sin A =， ∵a b <，(0,π)A ∈， ∴45A =︒．（Ⅱ）∵11sin 22ABC S a c B c =⋅⋅⋅==△∴c =再由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⋅，∴b17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）21n nT n =+【解析】（Ⅰ）证明：∵2n ≥时，122n n a a n -=-+， ∴1222n n a n a n --=-+， ∴12[(1)]n n a n a n --=--即12(1)n n a na n --=--，∴{}n a n -为等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(1)2n n a n a --=-⨯， ∵13a =， ∴2n n a n -=， ∴2n n a n =+， 又∵2n n n b a =-， ∴n b n =． ∴(1)2n n n S +=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵12111n nT S S S =+++ ， ∴11111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭ ．18．如图，四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 是菱形，E 为侧棱PD 中点，平面ABE 交侧棱PC 于F ．（Ⅰ）若PA ⊥平面ABCD ，求证：BD PC ⊥． （Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD ．（Ⅲ）试在平面PAB 内找一点G ，使得EG ∥平面PAC （写出作图方法即可，无需说明理由）【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）取AD 中点G ，可使EG ∥平面PAC ． 【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∵PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ，∴BD PC⊥．（Ⅱ）证明：∵AB DC∥，DC⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC，∵平面ABFE 平面PDC EF=，∴EF AB∥，又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅲ）取AD中点G，连接EG，可得EG∥平面PAC．19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．【答案】；；（Ⅲ）3 4【解析】∵O为AD中点，EAD△为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面EAD⊥平面ABCD，∴可建如图所示空间直角坐标系O xyz-．（Ⅰ）(0,0,0)O ，(1,2,0)B，E ，(1,0,0)D -，(1,2,0)C -． ∴(1,2,0)OB =，(1DE =，(0,2,0)DC =．设平面EDC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111110000n DE x y n PC ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令11z =，则11101x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴1(n =．设直线OB 与平面EDC 所成角为θ，则1sin |cos ,|n OB θ===．（Ⅱ）(1,2,EB = ，(2,0,0)BC =-，设平面EBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则122222020200n EB x y x n BC ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩， 令22z =则22202x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2n =，设平面EBC 与平面EDC 所成锐二面角为β，则12cos |cos ,|n n β==（Ⅲ）设EFEB λ=，则(,2,)(01)EB EF λλλλ== ≤≤，∴(,2)F λλ，∴(,2)OF λλ=，(1,2,EC =-，当OF EC ⊥时，0OF EC ⋅=即2330λλλ-+-+=，∴34λ=即34EF EB =．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．【答案】（Ⅰ）389a =，4100a =或3100a =，489a = （Ⅱ）71组 （Ⅲ）证明见解析【解析】（Ⅰ）∵111a =，278a =，597a =，690a =， ∴数列中必有1289a a +=，189100a +=， ∴389a =，4100a =或3100a =，489a =． （Ⅱ）由题意可知，3a ，4a ，5a 中必有49．∴①当449a =，550a =时，339a =，40， ，48共10种， ②当549a =时，31a =，2，3， ，10，12会使5m >不成立．313a =，14， ，37时，4a 有唯一对应的值，共25种； 339a =时，数列中会出现50，不成立； 340a =时，441a =，42， ，48，共8种， 341a =时，442a =，43， ，48，共7种；，347a =时，448a =，共1种．综上3a ，4a ，5a 共有71组不同的值． （Ⅲ）证明：不妨设12m a a a <<< ．当m 为偶数时，数列可配对为1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++，只需证每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≥，使1j m j a a n +-+≤， ∵数列单调递增，∴存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤， 显然1k m j a a +->， ∴1k m j >+-，∴k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾， ∴1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++每一对和数都不小于1n +，即12(1)2m ma a a n ++++ ≥． 当m 为有数时亦然，∴1212m a a a n m ++++ ≥．。
2016-2017学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷
2016-2017学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，用不等式组可以表示为（）A．B．C．D．2．（3分）在数列{a n}中，a n+1=a n+1，n∈N*，则数列的通项可以是（）A．a n=﹣n+1 B．a n=n+1 C．a n=2n D．a n=n23．（3分）sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．14．（3分）在等差数列{a n}中，已知a3=2，a5+a8=15，则a10=（）A．64 B．26 C．18 D．135．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A．﹣ B．C．2 D．36．（3分）现有八个数，它们能构成一个以1为首项．﹣3为公比的等比数列，若从这八个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）若不等式m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，则（）A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＞08．（3分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据≈2.45，sin75°≈0.97）（）A．170米B．110米C．95米D．80米9．（3分）已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和．a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，则S4=（）A．75 B．80 C．155 D．16010．（3分）甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示若s甲，s乙，s丙分别表示他制测试成绩的标准差，则它们的大小关系为（）A．s丙＜s甲＜s乙B．s甲＜s丙＜s乙C．s乙＜s丙＜s甲D．s丙＜s乙＜s甲11．（3分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．12．（3分）已知数列2016，2017，1，﹣2016，﹣2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于（）A．0 B．2016 C．2017 D．4033二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共l8分将答案填在题中横线上．13．（3分）不等式2x2﹣x≤0的解集为．14．（3分）某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．15．（3分）小亮开通了一个微信公众号，每天推送一篇文章，通常将阅读量作为微信公众号受关注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：则图中的a=．16．（3分）当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是．17．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+S n=1，n∈N*，则a1=；a n=．18．（3分）某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆，现有A，B两种型号的单车：其中A型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B型车为轻便型，成本为3000元/车，骑行半小时需花费1元．若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计算），则在该社区单车公司可获得的总收入最多为元．三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．20．（7分）已知{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．（I）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n．（Ⅱ）求使得S n＞14的最小正整数n的值．21．（10分）已知sinα﹣2cosα=0．（I）求tan（α+）的值．（Ⅱ）求的值．22．（10分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．23．（12分）已知函数f（x），给出如下定义：若f1（x），f2（x），…，f n（x），…（x）），其中均为定义在同一个数集下的函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1n=2，3，4，…，则称f1（x），f2（x），…，f n（x），…为一个嵌套函数列，记为{f n（x）=λf n（x），（x）}，若存在非零实数λ，使得嵌套函数列{f n（x）}满足f n﹣1则称{f n（x）}为类等比函数列．（Ⅰ）已知{f n（x）}是定义在R上的嵌套函数列，若f（x）=+．①求f（2），f2（2），f3（2）．②证{f n（x）﹣}是类等比函数列．（Ⅱ）已知{g n（x）}是定义在（1，+∞）上嵌套函数列．（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．若g（x）=（x+），求证|g n+12016-2017学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，用不等式组可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，∴，故选：A．2．（3分）在数列{a n}中，a n+1=a n+1，n∈N*，则数列的通项可以是（）A．a n=﹣n+1 B．a n=n+1 C．a n=2n D．a n=n2=a n+1，n∈N*，【解答】解：∵a n+1∴a n﹣a n=1，n∈N*，+1∴数列{a n}为公差为1的等差数列，其中A，a n=﹣n+1中，a n+1﹣a n=﹣（n+1）+1+n﹣1=﹣1，不满足，B，a n=n+1中，a n+1﹣a n=（n+1）+1+n﹣1=1，满足，C：为等比数列，不满足，D：a n+1﹣a n=（n+1）2﹣n2=2n+1，不满足，故选：B．3．（3分）sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：sin43°cos17°+cos43°sin17°=sin（43°+17°）=sin60°=，故选：C．4．（3分）在等差数列{a n}中，已知a3=2，a5+a8=15，则a10=（）A．64 B．26 C．18 D．13【解答】解：设公差为d，a3=2，a5+a8=15，∴a3+2d+a3+5d=15，解得7d=11，∴a10=a3+7d=2+11=13，故选：D．5．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A．﹣ B．C．2 D．3【解答】解：i=0＜4，s=3，i=1＜4，s=，i=2，s=﹣，i=3＜4，s=3，i=4≥4，输出s=3，故选：D．6．（3分）现有八个数，它们能构成一个以1为首项．﹣3为公比的等比数列，若从这八个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意成等比数列的8个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）7；其中大于8的项有：（﹣3）2，（﹣3）4，（﹣3）6，共3个数这8个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是P=；故选：D．7．（3分）若不等式m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，则（）A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＞0【解答】解：∵m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，∴只有mn＜0时，=＜0．∴m＜0＜n．故选：C．8．（3分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据≈2.45，sin75°≈0.97）（）A．170米B．110米C．95米D．80米【解答】解：在△ABC中，∠ACB=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理得：，∴AC===40，∴S△ABC=AB•AC•sin∠CAB=≈5703.6，∴C到AB的距离d==≈95．故选：C．9．（3分）已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和．a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，则S4=（）A．75 B．80 C．155 D．160【解答】解：∵a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，由等比数列的通项，可得a1q2﹣a1=15，a1q﹣a1=5，∵a2﹣a1≠0，∴q≠1解得：a1=5，q=2．那么：S4=a1+a2+a3+a4==75．故选：A．10．（3分）甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示若s甲，s乙，s丙分别表示他制测试成绩的标准差，则它们的大小关系为（）A．s丙＜s甲＜s乙B．s甲＜s丙＜s乙C．s乙＜s丙＜s甲D．s丙＜s乙＜s甲【解答】解：甲的平均成绩为（7+8+9+10）×0.25=8.5，其方差为S甲2=0.25×[（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]=1.25乙的平均成绩为7×0.3+8×0.2+9×0.2+10×0.3=8.5，其方差为S乙2=0.3×（7﹣8.5）2+0.2×（8﹣8.5）2+0.2×（9﹣8.5）2+0.3×（10﹣8.5）2=1.45丙的平均成绩为7×0.2+8×0.3+9×0.3+10×0.2=8.5，其方差为S丙2=0.2×（7﹣8.5）2+0.3×（8﹣8.5）2+0.3×（9﹣8.5）2+0.2×（10﹣8.5）2=1.05∴S丙2＜S甲2＜S乙2∴S丙＜S甲＜S乙．故选：A．11．（3分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为P==．故选：C．12．（3分）已知数列2016，2017，1，﹣2016，﹣2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于（）A．0 B．2016 C．2017 D．4033【解答】解：设该数列为{a n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，=a n+a n+2，即a n+1=a n+1+a n+3，则a n+2两式相加，得a n+a n=0，即a n+3=﹣a n，+3=﹣a n+3=﹣（﹣a n）=a n，∴a n+6∴该数列的周期为6，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=2016+2017+1﹣2016﹣2017﹣1=0，∴S2017=336×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1=0+2016=2016．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共l8分将答案填在题中横线上．13．（3分）不等式2x2﹣x≤0的解集为{x|0≤x≤} ．【解答】解：不等式2x2﹣x≤0化为x（2x﹣1）≤0，且不等式对应方程的两个实数根为x=0或x=，所以该不等式的解集为{x|0≤x≤}．故答案为：{x|0≤x≤}．14．（3分）某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为9．【解答】解：由题意可得=0.2，解得x=24．三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=，故应从三班抽取的人数为36×=9，故答案为24；9．15．（3分）小亮开通了一个微信公众号，每天推送一篇文章，通常将阅读量作为微信公众号受关注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：则图中的a=0.0015．【解答】解：根据频率和为1知，（0.0004+0.0008+2a+0.002+0.0026+0.0006+0.0004+0.0002）×100=1，解得a=0.0015．故答案为：0.0015．16．（3分）当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：当x＞0时，不等式x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∵不等式x+≥a恒成立，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]17．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+S n=1，n∈N*，则a1=；a n=．【解答】解：当n=1时，a1+S1=1，解得a1=，∵a n+S n=1，+S n=1，∴S n﹣S n﹣1﹣1，∴2（S n﹣1）=S n﹣1∵S1﹣1=﹣，∴数列{S n﹣1}是以﹣为首项，以为公比的等比数列，∴S n﹣1=﹣，∴a n=故答案为：，18．（3分）某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆，现有A，B两种型号的单车：其中A型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B型车为轻便型，成本为3000元/车，骑行半小时需花费1元．若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计算），则在该社区单车公司可获得的总收入最多为120元．【解答】解：根据题意，设投放A型号单车x辆，B型号单车y辆，单车公司可获得的总收入为Z；则有，即，①且Z=2×0.5x+2×y=x+2y，不等式组①表示的平面区域为；分析可得：当x=80，y=20时，Z取得最大值，其最大值Z=80+2×20=120；故答案为：120．三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【解答】解：（1）∵AD=5，AC=7，DC=3，∴cos∠ADC==﹣∴∠ADC=120° …（3分）（2）在△ABD中，∠ADB=60°，AD=5，B=45°由正弦定理：，得AB=．…（6分）20．（7分）已知{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．（I）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n．（Ⅱ）求使得S n＞14的最小正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．∴﹣12+4d=2（﹣12+5d），解得d=2，∴a n=﹣12+（n﹣1）×2=2n﹣14．S n==n2﹣13n．（Ⅱ）∵S n＞14，∴，且n∈N*，解得n＞14，且n∈N*，∴使得S n＞14的最小正整数n的值为15．21．（10分）已知sinα﹣2cosα=0．（I）求tan（α+）的值．（Ⅱ）求的值．【解答】解：（I）∵sinα﹣2cosα=0，∴tanα=2，∴tan（α+）===﹣3．（Ⅱ）=2cosα•cosα﹣1=cos2α====﹣．22．（10分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．【解答】解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+14+20+31）=17，由此估计A班学生每周平均上网时间17小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+26）=19，由此估计B班学生每周平均上网时间较长．（Ⅱ）A班的样本数据中不超过21的数据有3个，分别为：9，11，14，B班的样本数据中不超过21的数据也有3个，分别为：11，12，21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），其中a＞b的情况有（14，11），（14，12）两种，故a＞b的概率P=23．（12分）已知函数f（x），给出如下定义：若f1（x），f2（x），…，f n（x），…（x）），其中均为定义在同一个数集下的函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1n=2，3，4，…，则称f1（x），f2（x），…，f n（x），…为一个嵌套函数列，记为{f n（x）}，若存在非零实数λ，使得嵌套函数列{f n（x）}满足f n（x）=λf n（x），﹣1则称{f n（x）}为类等比函数列．（Ⅰ）已知{f n（x）}是定义在R上的嵌套函数列，若f（x）=+．①求f（2），f2（2），f3（2）．②证{f n（x）﹣}是类等比函数列．（Ⅱ）已知{g n（x）}是定义在（1，+∞）上嵌套函数列．若g（x）=（x+），求证|g n（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．+1【解答】解：（Ⅰ）若f（x）=+．①则f（2）=，f2（2）=f（）=，f3（2）=f（）=．②证明：f（x）﹣=，f2（x）﹣=，f3（x）﹣=．…（x）﹣=[f n（x）﹣]，猜想：{f n（x）﹣}满足f n﹣1即{f n（x）﹣}是类等比函数列．下面用数学归纳法证明：当n=2时，显然满足条件；假设n=k时，满足条件；则f k（x）﹣=，即f k（x）=，（x）=则f k+1f k+1（x）﹣==，（x）﹣]，即f k（x）﹣=[f k+1即n=k+1时，满足条件，故{f n（x）﹣}是类等比函数列．（II）利用数学归纳法证明：|g（x）|=≥=1，当且仅当|x|=1时取等号．依此类推可得：|g n（x）|≥1．（1）当n=1时，g1（x）=（x+），g2（x）=．|g2（x）﹣g1（x）|====×＜=．（2）假设n=k∈N*时，|g k+1（x）﹣g k（x）|＜．则|g k+2（x）﹣g k+1（x）|==|g k+1（x）﹣g k（x）|•＜．∴当n=k+1时也成立，因此|g n+1（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．。
2016-2017学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷〖含答案〗
9．（4 分）若关于 x 的不等式
对于一切 x∈（1，+∞）恒成立，则实
数 a 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞） 【解答】解：∵x＞0，∴2x+ =2（x﹣1）+ +2≥6，
当 2（x﹣1）= ，即 x=2 时取等号；
则关于 x 的不等式
对于一切 2017 学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的. 1．（4 分）已知数列{an}满足 a1=3，an+1=2an，那么 a4=（ ） A．24 B．18 C．16 D．12 【解答】解：数列{an}满足 a1=3，an+1=2an， 可得数列{an}是首项为 3，公比为 2 的等比数列， 则 a4=a1q3=3×23=24． 故选：A．
4．（4 分）设直线 l 经过两点 A（2，1），B（﹣1，3），则直线 l 下方的半平面（含
直线 l）可以用不等式表示为（ ）
A．2x+3y﹣7≥0B．2x+3y﹣7≤0C．2x+3y+1≥0 D．2x+3y+1≤0
【解答】解：根据题意，直线 l 经过两点 A（2，1），B（﹣1，3），
由市西城区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的. 1．（4 分）已知数列{an}满足 a1=3，an+1=2an，那么 a4=（ ） A．24 B．18 C．16 D．12 2．（4 分）不等式 的解集为（ ）