徐芝纶弹性力学第三版习题解答

⎞ ⎟ ⎠P
dxdy
+
式中
⎛ ⎜⎝
∂f ∂x
⎞ ⎟⎠P
,
⎛ ⎜ ⎝
∂f ∂y
⎞ ⎟ ⎠P
等表示在点
(
xP
,
yP
)
处的一阶偏导数。
若设 f (x + dx, y) = σ y (x, y) 并令 dy = 0 ，得
5
σyA
=σy
+
∂σ y ∂x
dx
+
1 2
∂2σ y ∂x2
dx2
+
1 6
∂3σ y ∂x3
=
1 E
⎣⎡σ x
−
μ
σy +σz
⎦⎤
=
1− μ E
2
⎛⎜σ ⎝
x
−
μ 1− μ
σ
y
⎞⎪
⎟ ⎠
⎪⎪
⎬
(c)
εy
=
1 E
⎣⎡σ y
−
μ (σ z
+ σ x )⎤⎦
=
1− μ2 E
⎛ ⎜ ⎝
σ
y
−μ 1− μ
σx
⎞⎪ ⎟⎠⎪⎪
γ xy
=
1 G
τ
xy
,
γ
zx
=
1 G
τ
zx
=
0, γ
yz
=
1 G
τ
yz
=
0
⎪ ⎪⎭
解：设薄层的厚度为 δ ，由于 z 方向不受力，即 σ z = τ zx = τ zy = 0
若薄层足够小，则可认为在其厚度 δ 范围内上述三应力保持与表
面一致，考虑上述近似，则有
x z oy
⎧ ⎪σ x ⎪
=
E 1+ μ
⎛μ
⎜ ⎝
1−
2μ
θ
+εx
⎞ ⎟ ⎠
⎪ ⎪σ ⎪ ⎨
y
=
E 1+ μ
⎛μ ⎜⎝ 1− 2μ
徐芝纶弹性力学(第三版)习题解答
尹久仁
2005 湘潭大学
1
第二章
2-1 如果某一问题中，σ z = τ zx = τ zy = 0 ，只存在平面应力分量σ x ,σ y ,τ xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？
解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将σ z = τ zx = τ zy = 0 代入下列方程
x
−
1
μ −μ
σ
y
⎞ ⎟ ⎠
⎪⎨⎪ε y ⎪
=
1− μ2 E
⎛ ⎜⎝
σ
y
−
1
μ −
μ
σ
x
⎞ ⎟⎠
⎪ ⎪γ yz ⎪⎩
=
1 G
τ
yz
这正是平面应变的广义虎克定律。同时，在平面应变问题中，ε z = 0 ，当沿 z 方向的应力并不为零，
且有
σ z = μ (σ x + σ y ).
2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层 中，图 2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。
= τ yx
+
∂τ yx ∂x
dx
τ yxD
= τ yx
+
∂τ yx ∂x
dx +
∂τ yx ∂y
dy
⎧⎪⎨− ⎪⎩
1 2
⎡ ⎢σ x ⎣
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
+
∂σ x ∂y
dy
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎫⎪ ⎬
dy
⎠⎦ ⎪⎭
+
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
1 2
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
σ
x
+
∂σ x ∂x
dx
⎞ ⎟⎠
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
+
∂σ x ∂x
+ ⎛⎜τ yx ⎝
+
∂τ yx ∂y
dy ⎞⎟δ dxdy ⎠
−
⎛ ⎜
σ
y
⎝
+
∂σ y ∂y
dy
⎞ ⎟
δ
dx
⎠
dx 2
− σ xδ dy
dy 2
+
X δ dxdy
dy 2
− Yδ dxdy
dx 2
=
0
化简后两边同时除以 δ dxdy ，忽略二阶以上的微量，则有
τ yx = τ xy
2-6 在图 2-3 的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的 平衡微分方程？
dx3
+
(b)
可见 PA 微分面上的应力分量σ y 是按非线性规律变化的。
同样，如设 f (x, y) = σ x (x, y) 。并令 dx = 0 ，又得
σ xB
=σx
+
∂σ x ∂y
dy +
1 2
∂2σ x ∂y 2
dy 2
+
1 6
∂3σ x ∂y3
dy3
+
(c)
可见 PB 微分面上的应力分量σ x 是按非线性规律变化的。
上有
ox
z
σ z z=±t 2 ≠ 0,τ zx z=±t 2 = τ zy z=±t 2 = 0
(a)
由于板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化，也就是说板不会产生弯
y
曲，可以认为在整个弹性薄板的所有各点除有与板面相同的应力分量
σ z ≠ 0,τ zx = τ zy = 0
(b)
此外，还有σ x ,σ y ,τ xy 它们仅是 x, y 的函数，与 z 无关。注意剪应力的互等
dy
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎫⎪ ⎬
dx
⎠⎥⎦ ⎪⎭
+ Xtdxdy = 0 式中 t 为六面体厚度。
将式(d)展开约简以后，两边除以 tdxdy ，得 ∂σ x + ∂τ yx + X = 0 ∂x ∂y
同样由 ΣY = 0 ，得
6
∂τ xy + ∂σ y + Y = 0. ∂x ∂y
2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什
− μσ x )
γ xy
=
1 G
τ
xy
这正是平面应力的广义虎克定律。同时，在平面应力问题中，σ z = 0 ，当沿 z 方向的应变并不为零，
而有
εz
=
−
μ E
(σ x
+ σ y ).
2-2 如果某一问题中，ε z = γ zx = γ zy = 0 ，只存在平面应变分量 ε x ,ε y ,γ xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？
边界 x = b
σ x x=h = −ρ gy(0 ≤ y ≤ h2 ), τ yx x=h = 0
2-9 试应用圣维南原理，列出图所示的两个问题中 OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两
者的面力是否是静力等效？
q x
oA
b h
F
M x
o
A F = qb
2
h
bb 22
M = qb2 12
y (a) (h
σ
y
−μ 1− μ
σx
⎞ ⎟⎠
⎪⎪ ⎬ ⎪
γ yz
=
1 G
τ
yz
=
2 (1 +
E
μ ) τ yz
⎪ ⎪ ⎪⎭
2-5 在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平衡条
件 Σmc = 0 ，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什
么形式的方程？
解：，则
x
y b,δ = 1)
(b)
解： 对于图(a)所示 OA 边，根据 S-N 原理，有
7
∫ ∫ τb 0 xy
δ dx
y=0
=
τb
0 xy
dx
y=0
=0
∫ ∫ σb 0y
δ dx
y=0
=
b qx dx = qb
0b
2
∫ ∫ σb 0y
y=0
⎛ ⎜⎝
x
−
b 2
⎞⎟⎠δ
dx
=
b 0
qx b
⎛ ⎜⎝
x
−
b 2
么？
解：
基本方程
基本假定
适用条件
平衡微分方程 连续性，小变形，均匀性
任意条件
几何方程
连续性，小变形，均匀性
小变形
物理方程
连续性，小变形，均匀性，完全弹性，各向同性 完全弹性，发生泊松变形
2-8 试列出下列两图所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积 分的应力边界条件。
o
h1 x
τ
yz
,
γ
zx
=
1 G
τ
zx
,
γ
xy
=
1 G
τ
xy
则有
2
也就是
⎧⎪ε x ⎪
=
1 E
[σ
x
− μ(σ y
+ σ z )]
⎪⎪ε y ⎨
=
1 E
[σ
y
−
μ(σ z
+ σ x )]
⎪⎪0
=
1 E
[σ z
−
μ(σ x