高中数学选修2-3 第一章 计数原理 1-2-1-1 排列与排列数公式(附答案解析)
9．(10 分)一条铁路上原有 n 个车站，为适应客运需要，现新增加了 m(m＞1)个车站， 客运车票增加了 62 种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
2
参考答案
一、1.【解析】原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 【答案】D 2.【解析】A310＝10×9×8＝720. 【答案】B 3.【解析】此问题可以看成求 6 名同学站成一排的方法数即 A66＝720，故选 C. 【答案】C 4.【解析】可知最大数是 m＋20，展开式中是 21 个连续自然数的积，因而可表示为 A2m1＋20. 【答案】D 二、5.【解析】原等式化为：2·n(n－1)(n－2)＝3(n＋1)n－8n，
由上面的树形图知，所有的四位数为：
1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241, 3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共 24 个四位数．
8.【解析】两不等式可化为：
数学选修 2-3 第一章 计数原理 1.2.1 排列与排列数公式
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．5A35＋4A 等于( )
A．107
B．323
C．320
D．348
2．将 3 张不同的电影票分给 10 人中的 3 人，每人一张，则不同的分法种数是( )
A．2 160
B．720
C．240
∴2n2－9n＋9＝0，解得 n＝3(舍)或 n＝3. 2
∴原方程的解为 n＝3. 【答案】3 6.【解析】∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…
∴S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是 3. 【答案】3 三、7.【解析】(1)由题意作树形图，如图．
故所有的两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个． (2)直接画出树形图．
n≥3 且 n＋2≤8，∴3≤n≤6.
综上，5＜n≤6.又 n∈N*，∴n＝6.
9.【解析】由题意可知，原有车票的种数是 A 2n种，现有车票的种数是 A 2n＋m种， ∴A2n＋m－A2n＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
∵m＜2n＋m－1，
D．120
3．6 名学生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为( )
A．36
B．120
C．720
D．240
4．乘积 m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )
A．A2m0
B．A2m0＋20
C．A2m0＋20
D．A2m1＋20
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
5．若 2A3n＝3A2n＋1－8A1n，则 n 的值为________．
n2 n 1n 2 3 n n 1 ①
6
8!
n!
6
8
8! n
!
②
∵n－1＞0，∴①式可化为 n(n－2)＞3，即 n2－2n－3＞0，
3
∴n＞3 或 n＜－1(舍去)．由②得：
8！ ＜6·
8！
.
6－n！ 8－n7－n·6－n！
∴(8－n)(7－n)＜6，即：n2－15n＋50＜0，
∴5＜n＜10.由排列数的意义可知：
m＝2
∴
，
2n＋m－1＝31
解得 m＝2，n＝15，
故原有 15 个车站，现有 17 个车站．
4
6．S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则 S 的个位数字为________．
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
7．(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由 1,2,3,4 四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
8．求满足 nA3n＞3A 2n且 An8＋2＜6A n8的 n 的值．
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《排列一》-最新学习文档
第一章 计数原理§1.2.1 排列（一）班级：高二（ ）班 学号： 姓名：学习目标:1．理解排列的概念;2．能利用计数原理推导排列数公式;学习重点：排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。
学习难点：导出排列数的公式和解有关排列的应用题． 学习过程： 预习﹒交流﹒评价1、 一般的， ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列数。
用符号 表示。
3、 排列数公式m n A = ，这里m,n ∈N+，并且m ≤n.4、 从n 个不同元素中全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个 。
新知﹒巩固﹒展示例1． 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？例2． 计算从a,b,c 这3个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。
巩固练习一：1、下列问题是排列问题吗？（1）从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，共有多少种不同的结果？ （2）从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，共有多少种不同的结果？2、写出：（1）北京、上海、广州三个城市之间的所有直达航线的始发站与到达站不同的飞机票。
（2）由1,2,3,4这四个数字组成的没有重复数字的所有四位数。
3、从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？学点： 有关排列数的计算与证明1、 排列数： 。
2、 阶乘： 。
3、 nnA = ，可简记为 。
另外，规定0!= 。
例3 求证：11mm m n n n A mA A -++=。
巩固练习二：1、计算：（1）36A （2）415A （3）2100A （4）32883A A -（5）812712A A （6）12344444A A A A +++2A 1、求证：（1）n ！＝n+1)n+1（！ （2）8767876787A A A A -+＝2、求下列各式中的n ：（1）75589A A A n n n-= （2）4321A A n n +＝140 （3）332A A n n＝10 （4）5434A +A A n nn= B 组：3、（1）已知10A m＝10×9×8×7×6×5，那么m ＝ 。
2018版高中数学选修2-3课件：第一章 计数原理 1-2 第1
解析
答案
n－m －1 Am · A (2)计算： n－1 n－1n－m ＝___. 1 An－1
解析
n－1！ 原式＝ · (n－m)！· [n－1－m－1]！
n－1！ 1 1 ＝ · (n－m)！· ＝1. n－1！ n－m！ n－1！
解析
答案
反思与感悟
(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大
解
3 * 由 A4 <140A 知， x ≥ 3 且 x ∈ N ， 2x＋1 x
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)· 2x· (2x－1)(2x－2)<140x· (x－1)(x－2)，
23 解得 3<x< 4 ，
因为x∈N*，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}.
解答
反思与感悟
排列数 全排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 n个不同元素 全部取出 的
定义 素的 所有排列的个数 ，叫做从n个 一个排列，叫做n个不同
不同元素中取出m个元素的排列数
表示法
元素的一个全排列
n An
Am n
乘积形式 公式 阶乘形式 性质
(n－2)… Am n ＝n(n－1)·
(n－m＋1)
… An n ＝n个点为端点作弦； 解 弦的端点没有先后顺序，不是排列问题. (4)20个车站，站与站间的车票价格； 解 车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题. (5)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条
直线？可确定多少条射线？ 解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
位数？
答案 4×3＝12(个).
数学人教A版选修2-3备课参考：第一章 计数原理 1.2.1
1.2排列与组合1.2.1排列教学建议本小节具有承上启下的作用.理解排列的概念是应用计数原理推导排列数公式的前提,同时,具体的排列问题的分析又为得出排列数公式提供了基础.本课时通过实例让学生理解排列的概念,能用列举法、树形图列出排列,并从列举过程中体会排列数与计数原理的关系,体会将实际问题划归为计数问题的方法.教学重点:理解排列的概念,能用列举法、树形图列出排列,从简单排列问题的计数过程中体会数学公式.教学难点:对排列要完成的“一件事”的理解;对“一定顺序”的理解.资源拓展数列显示的行星排列规律18世纪70年代,德国自然科学家提丢斯将已知六大行星绕日轨道椭圆的长半轴的天文单位(简称行星与太阳的平行距离)依次排列,寻找它的通项公式,提丢斯发现,如果在火星与木星之间加一项的话,可以得到下表:行星水星金星地球火星? 木星土星与日距离0.387 0.723 1.000 1.524 ? 5.203 9.560近似值0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10如果将近似值的数列记作{a n},则它的通项公式是a n=当n≥2时,{a n}有下面的性质:a n+2-a n+1=2(a n+1-a n).德国天文学家波得宣布了提丢斯的这一成果,后来被称为提丢斯—波得定则.果然,后来天文学家们在2.8处发现了许多小行星,最大的一颗叫“谷神星”,直径有1 000多公里,一些天文学家研究的结论是,这些小行星正好是质量不小的行星爆炸后的产物,对于数列再往下计算一项得19.6,此处是否对应着有颗行星?真是再巧不过了,人们发现了天王星,它到太阳的距离是19.2天文单位,与19.6非常接近.不过后来发现的海王星与太阳的距离与数列不甚符合,冥王星到太阳的距离是39.4天文单位,与数列中38.8比较接近.看来有些规律之谜还未完全揭开,人类在这方面尚需作出不懈的努力.- 1 -。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
高二理数 选修2-3 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 Word版含解析
第章．排列与组合．排列与排列数()排列的定义：一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记为．()排列数公式：＝(－)(－)…(－＋)＝．＝·(－)·(－)·…···＝！，规定！＝．．组合与组合数()组合的定义：一般地，从个不同的元素中取(≤)个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．()组合数公式＝＝＝．()组合数的性质性质：＝．性质：＝＋(≤，∈*，∈*)．温馨提示：（）排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．（）解排列组合题的“字方针，个技巧”：()“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．()“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．、如何判断一个问题是排列问题与还是组合问题？、组合问题常见的基本类型有几种及其求解策略是什么？．【北京朝阳区二模】现将张连号的电影票分给甲、乙等个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为．．．．．【山西太原五中月考】名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这人的笔试名次的所有可能的种数是（）．．．．．【黑龙江哈六中月考】某公司共有五个不同部门，现有名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个不同部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）．．．．．【山东烟台二中月考】将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）．种．种．种．种．【山东烟台二中月考】某班在男生女生中选择人参加演讲比赛，选中的人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（）种．．．．．【山东烟台二中月考】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．种．种．种．种．【山西太原五中月考】数学老师从一张测试卷的道选择题、道填空题、道解答题中任取道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有种．．【河南南阳一中月考】甲、乙、丙三人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是．（用数字作答）．【山西孝义热身训练】共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务，现从辆黄色共享单车和辆蓝色共享单车中任取辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是．．【山东烟台二中月考】个男生，个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？。
高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 排列数公式学案 苏教版选修2-3(2021年最新整理)
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排列排列数公式1．理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列．（重点）2．掌握排列数公式及其推导方法，并能运用排列数公式进行运算或证明．（重点、难点）[基础·初探]教材整理1 排列的概念阅读教材P11“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．判断(正确的打“√",错误的打“×")（1）两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( ）（2）从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．（)(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．（）(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问题．( ）(5）从1,2,3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．（）【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．（2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．（3）×因为分组之后，各组与顺序无关,故不属于排列问题．（4)√因为任取的两个数进行指数运算,底数不同、指数不同、结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．（5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．【答案】（1)×(2)√（3）×(4)√（5）√教材整理2 排列数与排列数公式阅读教材P13~P14，完成下列问题.排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A m n表示全排列的概念n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的概念把n·（n－1）·…·2·1记作n！,读作:n的阶乘排列数公式A错误!＝n(n－1)(n－2）…（n－m＋1)(n,m∈N*，m≤n）阶乘式A m，n＝错误!(n，m∈N＊,m≤n）特殊情况A错误!＝n！，A错误!＝1,0！＝11．A错误!＝________，A错误!＝________.【解析】A24＝4×3＝12；A错误!＝3×2×1＝6。
人教A版高二数学选修2-3第一章 计数原理1.2.2 组合(3)
[规律方法] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：
1．按事情发生的过程进行分步． 2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三 个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求， 再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再 减去不符合要求的排列或组合数．
例题剖析2
高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名， 今从中选出3名同学参加活动． (4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)选取 2 名女生有 C120C215种，选取 3 名女生有 C315种，共有选取方式 N ＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种．
140 [第一步，安排周六有 C37种方法，第二步，安排周日有 C34种方法， 所以不同的安排方案共有 C37C34＝140 种．]
例题剖析2
高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今 从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
温故知新
（一）排列：
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列
2.排列数的定义：
从n个不同元素中,取出m（m≤n）个元素的所 有排列的个数叫做从n个取出m个元素的排列数． 表示为：
Anm
3.排列数公式：
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列：
叫做从n 2n
3其中 4出m 5从n 取出m 6、组合数公式：
其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质： .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1
1+-=+
三、二项式定理
如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：
2、性质：
注意事项：
相邻问题，常用“捆绑法”
1、有4
（1
（2
（3
（4
2
3、(1)
(2)?
4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
9、求值与化简：。
高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式课件新人教A版选修2_3
1.排列的概念
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ
（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程： （1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 （2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
n (n 1)
第1位 n
第2位 n-1
第3位 n-2
A3 n n (n 1)(n 2)
第1位 第2位 第3位 ······ 第m位
n n-1 n-2
n-(m-1)
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
排列数公式
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)(m, n N*, m n)
√（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
A．A11000
B．A11100
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.3知识点总结含同步练习题及答案
a1 + a2 + ⋯ + a100 = 1 − 2 100 .
（3）令 x = −1 可得 a0 − a1 + a2 − a3 + ⋯ + a100 = 3 100 ⋯ ②，与 ① 式联立相减得
a1 + a3 + ⋯ + a99 =
1 − 3 100 . 2
3.二项式定理的应用 描述： 二项式定理一般应用在以下几个方面： ①进行近似计算．当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 (1 + a)n ≈ 1 + na，因为这时展开式的后面 3 3 n n 很小，可以忽略不计；类似地，有 2 部分 C2 (1 − a)n ≈ 1 − na． n a + Cn a + ⋯ + Cn a ②证明某些整除性问题或求余数；
求证：对一切 n ∈ N ∗ ，都有 2 ⩽ (1 + 解：因为
1 n ) < 3． n
(1 +
1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 3 n + C2 ) = C0 n + Cn ⋅ n ⋅ ( ) + Cn ⋅ ( ) + ⋯ + Cn ⋅ ( ) n n n n n 1 n−1 1 n−1 n−2 1 n−1 n−2 1 = 1+1+ ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ ⋅ ⋯ . n n n n n n 2! 3! n!
= 120
（1）展开式的第 4 项的二项式系数为 C3 10 = 120． 3 （2）展开式的第 4 项的系数为 C10 ⋅ (−2)3 = −960 ． 3 4 4 （3）展开式的第 4 项为：T4 = C3 10 ⋅ (−2) ⋅ x = −960x ． 二项式 (x − y)11 的展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第 3 项 B．第 6 项 C．第 6 、7 项 D．第 5 、7 项 解：C 展开式共有 12 项，故中间两项即第 6 、 7 项的二项式系数相等，且最大．