统计学 二项分布

≤
本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在 n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值 为19～75，即该吻合术妇女受孕率的95%可 信区间为（19%，75%）。 “阴性”数n-X查得总体阴性率的 可信区 1−α 间QL～QU，再用下面的公式转换成所需的阳 性率的− α 可信区间。 PL=1-QU， PU=11 QL
第 8章
几种离散型变量的 分布及其应用
Distribution and Application of Discrete Data
Binomial distribution Poissin distribution
随机变量有连续型和离散型之分， 随机变量有连续型和离散型之分 ， 相应 的概率分布就可分为连续型分布和离散型 分布。 分布。 有关连续型分布如正态分布、 分布和 分布和F 有关连续型分布如正态分布 、 t分布和 分布等在前面的章节中已作了介绍。 分布等在前面的章节中已作了介绍。 本章主要介绍在医学中较为常用的离散 型分布，即二项分布、 分布。 型分布，即二项分布、Poisson分布。 分布
2 ，而相应的样本率p的分布也近似 N (π , σ p ) 正 而相应的样本率 的分布也近似 态分布。为此，当n较大、p和1-p均不太小，如 态分布。为此， 较大、 和 均不太小， 较大 均不太小 np和n(1-p)均大于 时，可利用样本率 的分布近 均大于5时 可利用样本率p的分布近 和 均大于 似正态分布来估计总体率的可信区间。 似正态分布来估计总体率的可信区间。
P = P( X = k ) + ∑ P( X = i )
i
，其中 i 满足
P( X = i) ≤ P( X = k ) 。
例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10名输卵管结扎了 的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。问实 施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶腹部 吻合术？ 显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为 H0：π=0.55 H1：π>0.55 =0.05
检验统计量u的计算公式为：
p1 − p 2 u= S p1 − p2
S p1 − p2 = X1 + X 2 X1 + X 2 1 1 (1 − )( + ) n1 + n2 n1 + n2 n1 n2
Sp =
p (1 − p ) / n
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π=0.5时，分布是对称的，见图；
图 6-1.
π =0.5 时，不同 n 值下的二项分布
当 π ≠ 0.5时，分布是偏态的，但随着 的增 时 分布是偏态的，但随着n的增 分布趋于对称。 只要π不 大，分布趋于对称。当n → ∞时，只要 不 太靠近0或 ，二项分布则接近正态分布。 太靠近 或1，二项分布则接近正态分布。
p
π
总体方差为 总体标准差为
σp =
2
π (1 − π )n Nhomakorabeaπ (1 − π )
n
σp =
样本率的标准差也称为率的标准误， 样本率的标准差也称为率的标准误 ， 可用 来描述样本率的抽样误差， 来描述样本率的抽样误差 ， 率的标准误越 则率的抽样误差就越小。 小，则率的抽样误差就越小。 在一般情形下，总体率 往往并不知道。此 往往并不知道。 在一般情形下，总体率π往往并不知道 时若用样本资料计算样本率p=X/n作为 的 作为π的 时若用样本资料计算样本率 作为 估计值， 的估计为: 估计值，则 σ 的估计为 p
在医学中类似如这种n重 在医学中类似如这种 重Bernoulli试验的情形 试验的情形 较为常见。 较为常见。 如用某种药物治疗某种疾病， 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效 或无效； 或无效； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后， 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。 感染等。
例：在观测一种药物对某种非传染性疾病的 治疗效果时， 治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾 病患者100 100人 发现55人有效， 55人有效 病患者100人，发现55人有效，试据此估计 该药物治疗有效率的95%可信区间。 95%可信区间 该药物治疗有效率的95%可信区间。
=100， 本例 n=100，p=55/100=0.55
第一节 二项分布
二项分布（binomial distribution）是指在只 会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性” 之一的n次独立 独立重复试验（常常称为n重 独立 Bernoulli Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性” 概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0， 1，2，…，n的一种概率分布。
= (1 − 0 . 5 5 (1 − 0 . 5 5 ) = 0 .0 4 9 7 100
Sp
)
=
0.55-1.96× 0.55-1.96×0.0497=0.4526 0.55+1.96× 0.55+1.96×0.0497=0.6474 95%可信区间为 45.26%， 可信区间为（ 即该药物治疗有效率的 95% 可信区间为 （ 45.26% ， 64.74% ） 。
可信区间为： π 的1 − α 可信区间为：
( p − uα 2 S p , p + uα 2 S p )
π 可信区间为 如： 的95%可信区间为 ( p − 1.96S p , p + 1.96S p ) 可信区间 π 的99%可信区间为 ( p − 2.58S p , p + 2.58S p ) 可信区间为
10! 0.55 X (1 − 0.55)10− X X !(10 − X )!
=0.023257
按=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1 ，即认 为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高 于壶腹部-壶腹部吻合术。
2.正态近似法 当n较大、p和1-p均不太小， 如np和n(1-p)均大于5时，利用样本率的分 布近似正态分布的原理，可作样本率p与已 知总体率π0的比较。检验统计量u值的计算 公式为:
n! X n− X P( X ) = π (1−π ) X !(n − X )!
P(X ) 实际上就是二项函数 [π + (1 − π )]
n
X = 0,1,2, ⋅⋅⋅, n
展开式中的通项，式中的
n n! 称为二项系数。总有： ∑ P ( X ) = 1 。 X ! (n − X )! x=0
一、二项分布的适用条件和性质 (一) 二项分布的适用条件 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果 之一， 之一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于1 恒等于1； 每次试验产生某种结果（ 阳性” 2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的 固定不变； 概率π固定不变； 重复试验是相互独立的， 3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。 现的概率。
(二)样本率与总体率的比较 二 样本率与总体率的比较 1.直接法 在诸如疗效评价中，利用二项分 直接法 在诸如疗效评价中， 布直接计算有关概率， 布直接计算有关概率 ， 对样本率与总体率 的差异进行有无统计学意义的比较。 比较 的差异进行有无统计学意义的比较 。 经常遇到单侧检验， 时 ， 经常遇到单侧检验 ， 即 “ 优 ” 或 “ 劣 ” 的问题。 那么， 在总体阳性率为π的n次独 的问题。 那么， 在总体阳性率为 的 次独 立重复试验中， 立重复试验中 ， 下面两种情形的概率计算 是不可少的。 是不可少的。
u=
p −π0
π 0 (1 − π 0 ) n
对某疾病采用常规治疗， 例6-6 对某疾病采用常规治疗，其治愈率 为45%。现改用新的治疗方法，并随机抽 。现改用新的治疗方法， 名该疾病患者进行了新疗法的治疗， 取180名该疾病患者进行了新疗法的治疗， 名该疾病患者进行了新疗法的治疗 治愈117人。问新治疗方法是否比常规疗 治愈 人 法的效果好？ 法的效果好？ 本例是单侧检验， 本例是单侧检验，记新治疗方法的治愈率 单侧检验 为π，而π0=0.45。其假设检验为 ， 。 H0：π=0.45 H1：π>0.45 α =0.05
次的概率为: （1）出现“阳性”的次数至多为 次的概率为 ）出现“阳性”的次数至多为k次的概率为
P(X ≤ k) = ∑ P( X ) = ∑
X =0
k
k
X =0
n! X n− X π (1 − π ) X !(n − X )!
（2）出现“阳性”的次数至少为 次的概率为 ）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
P(X ≥ k) = ∑ P( X ) = ∑
X =k
n
n
X =k
n! π X (1 − π ) n − X X !(n − X )!
对于双侧检验而言， 对于双侧检验而言 ， 由于要回答的是 有无差别” “有无差别 ” 即备择假设 H1：π ≠ π0 是否 ， 成立，因此 ，所要计算的双侧检验概率 成立，因此，所要计算的双侧检验概率 P 值 应为实际样本（ 阳性” 应为实际样本（记“阳性”次数为 k 次）出 现的概率与更背离无效假设的事件（ 现的概率与更背离无效假设的事件（记“阳 出现的概率之和， 性”次数为 i 次，i ≠ k）出现的概率之和， 即
α
对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按 0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率 大于0.05，则不拒绝H0 ；否则，拒绝H0 ， 0.05 H H 接受H1。 本例n=10，π=0.55，k=9。按公式（6-12） 有:
P(X ≥ 9) = ∑ P( X ) = ∑
X =9 10 10 X =9
本例n=180，p=117/180=0.65
u=
0.65 − 0.45 0.45(1 − 0.45) 180