几个常用统计分布
数理统计分布类型
数理统计分布类型数理统计是数学和统计学的交叉学科，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和原则。
其中，分布类型是数理统计的重要概念之一。
统计分布是指一组数据按照一定规律的分布情况，根据数据分布的形状和特点，可以将统计分布分为不同的类型。
常见的数理统计分布类型有正态分布、均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、指数分布、正态分布、t分布和F分布等。
以下将逐一介绍这些常见的分布类型。
1.正态分布：正态分布（或高斯分布）是数理统计中最常见的一种分布类型。
正态分布的密度函数呈钟形曲线，对称且具有峰值，其分布的均值、方差决定了曲线的位置和形状。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如身高、体重、考试成绩等。
2.均匀分布：均匀分布是指数据在给定区间内的分布是均匀的，即每个数据点出现的概率相等。
均匀分布的密度函数是一个常数，对应的分布函数是线性的。
均匀分布常用于模拟随机数产生、建立实验设计等领域。
3.伯努利分布：伯努利分布是一种离散型的分布，只有两个可能的取值（例如0和1），其中一个取值的概率为p，另一个取值的概率为1-p。
伯努利分布常用于描述二项式试验中的成功和失败的概率。
4.二项分布：二项分布是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布，其中每个试验只有两个可能的结果（例如成功和失败）。
二项分布可以用于描述多次独立重复试验中成功次数的分布情况。
5.泊松分布：泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布假设事件以恒定的平均速率独立地发生，其参数λ表示单位时间或空间内事件的平均发生次数。
6.几何分布：几何分布是一种描述第一次成功发生需要的独立试验次数的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果（例如成功和失败），成功的概率为p，几何分布描述了第一次成功发生之前需要进行的试验次数的分布情况。
7.指数分布：指数分布是描述时间间隔或空间间隔的分布，它的特点是具有无记忆性。
指数分布可以用于描述等待时间、服务时间、设备故障时间等。
五个数据分布类型及实例 -回复
五个数据分布类型及实例-回复数据分布是指数据在整体上呈现出的规律或特征。
不同的数据集可能呈现出不同的分布类型，而了解和理解这些分布类型可以帮助我们更好地分析和解释数据。
本文将介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例来帮助读者更好地理解这些概念。
第一种数据分布类型是正态分布，也被称为高斯分布。
正态分布是统计学中最常见的分布类型之一，它的形状呈现出钟形曲线。
在正态分布中，平均值、中位数和众数都是相等的，且曲线关于平均值对称。
一个典型的正态分布的例子是身高分布。
在一个大样本中，大多数人的身高都聚集在平均值附近，然后逐渐减少，直到达到极端的身高。
这个分布通常受到遗传、环境和营养等多种因素的影响。
第二种数据分布类型是偏态分布，也被称为斜态分布。
在偏态分布中，数据的分布形成一个长尾，其中一个尾部更长或更重，使曲线形状不对称。
一个例子是收入分布。
在许多国家和地区，大多数人的收入聚集在较低的水平上，而只有少数人的收入非常高。
这导致了偏态分布，其中大部分数据集中在左侧，右侧的数据则呈现出较长的尾巴。
第三种数据分布类型是均匀分布，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，数据在整个范围内的出现频率是相等的，没有明显的高点或低点。
一个例子是掷骰子的结果。
假设我们投掷一个公正的六面骰子，每个面的结果出现的概率相等。
在大量的掷骰子试验后，每个面的出现频率将趋近于相等，这意味着结果呈现出均匀分布。
第四种数据分布类型是二项分布，用于描述在一系列独立的是/非实验中的成功次数。
二项分布是离散性的，其形状由两个参数决定：成功的概率和试验次数。
一个实例是硬币的正面朝上概率。
假设我们有一个公正的硬币，进行了10次独立投掷的实验，我们想知道正面朝上的次数。
这种情况下，我们可以使用二项分布来描述正面朝上次数的分布。
第五种数据分布类型是泊松分布，用于描述一段时间或空间内某事件发生的次数。
泊松分布是离散分布，它的形状由一个参数决定，即事件的平均发生率。
一个例子是某地区每小时发生的交通事故次数。
6.2数理统计中几种常用的分布
一、 2 分布
二、t 分布
三、F分布
1
一、 2 分布
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2
X12
X
2 2
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为 2 ~ 2 (n)
2 0.05
(10
)，
2 0.1
(20
)。
解：从附表 5查得
2 0.05
(10
)
18
.307
，
2 0.1
(20
)
28
.412，
5
二、t 分布 定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n), 且X与Y相互
独立，则称变量 T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为T～t(n).
6
t分布的分位点
F F1 (n1, n2 )
所以 P{ 1
1 }
F F1 (n1, n2 )
又因为 1/ F ~ F(n2,n1)， 所以 F
即 F1 (n1, n2 ) 例： F0.95(12,9)
1 F (n12 , n1) F0.05 (9,12)
1 (n2,n1) F1 (n1, 1 0.357
2.80
2
由 2分布的定义，不难得到：
1. 设X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态分布
N (, 2 ), 则
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~ 2 (n)
2. 设X1 ~ 2 (n1), X 2 ~ 2 (n2 ),且X1,X2相互
常用的统计分布
(419)
则Z的密度函数为
f
(x;
m,
n)
1 B(m,
n)
(m)(m nn
m
x) 2
1(1
m
n
x) 1(mn) 2
x0
(420)
22
其中
B(
p,
q)
1
0x
p1(1
x)q1dx
(
p
0,
q
0)
是
B(贝塔)函数
如果随机变量X的密度函数由(420)给出 则称X服从第
一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记作X~F(m n)
n
22
1 ( n )
n 1 1 x
x2 e 2 ,
2
(x 0)
则称X服从以n为自由度的2分布 记作X~2(n)
说明
根据命题41 若X1 X2 Xn是n个相互独立的标准 正态随机变量 则
X
X12
X
2 2
X
2 n
~
2(n)
9
定义46(2分布)
如果随机变量X的密度函数为
2 (x; n)
n
22
n)
1 B(1 ,
n)
1
(1
x2 )
n1 2
x
nn
22
则称X服从自由度为n的t分布 记作X~t(n)
当自由度n很大时 t分布接
近于标准正态分布 这是因为
lim(1
x2
)
n1 2
e
1 x2 2
n n
19
t分布的分位数
附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上
侧分位数t(n)之值 当X~t(n)时 有
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。
统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。
以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。
正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。
每次试验的成功概率由固定的参数p确定。
二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。
二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。
这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。
泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。
均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。
均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。
6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。
与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。
t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。
7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
统计学常用分布
统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。
不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。
二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。
正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。
正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。
二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。
2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。
泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。
四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。
指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。
2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。
许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。
五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。
卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。
2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。
相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。
t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。
六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
三大抽样分布及常用统计量的分布
(n1
1) S12
2
～
2
(n1
1),
(n2
1)S
2 2
2
～
2
(n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2 1)S22
2
～ 2 (n1
n2
2)
再由定义3知
T
X
Y Sn
(1
1 n1
1
2
)
～t(n1
n2
n2
- 2)
t 分布的上侧分位点
对于给定的 (0< <1)，称满足条件
X
2 i
.
i2
i4
解 (1) 因为Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n. 所以
X1-X2 ～N(0, 2)，
X
2 3
X
2 4
~
2(2),
X1
X2 2
~
N(0,1),
故
X1 X2
X
2 3
X
2 4
(X1
X
X 2)
2 3
X
2 4
2
～t(2).
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表.
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)= 1.753
t0.05/2(15)= 2.131
其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.
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性质2 设 T ~ t (n) 则
n
2 此性质说明，当 n 时，T分布的极限
e
t2 2
例2 设X ~ N ( , ),
2
Y
X T Y n 的概率分布.
2
~ (n), 且X , Y相互独立 , 试求
2
X 解 因为X ~ N ( , ), 所以 ~ N (0,1) Y X Y 2 又 2 ~ ( n), 且X , Y 独立, 则 与 2 独立, 由定义得 X (X ) / T ~ t ( n) Y n (Y / 2 ) / n
由中心极限定理得
n
lim P{
n
2 n
2n
lim P { x} n
i 1
2 X i n
n
n
x}
x
1 2
e dt
t2
2
即 2分布的极限分布是正态 分布, 也即, 当n很大时
近似 n 2 近似服从 N (0,1).进而 n ~ N (n,2n). 2n 2 n
2
定理
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 N ( , ) 的
2
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有 X ~ t ( n 1). S/ n X ~ N (0,1), 证明 / n
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
1 因为 lim h( t ) e n 2π
t2 2
,
所以当 n足够大时 t分布近似于 N ( 0,1)分布 ,
但对于较小的 n , t分布与 N ( 0,1)分布相差很大 .
t 分布具有下列性质： 性质1
n 2 时有 设T ~ t (n) , 则当
E (T ) 0
n D (T ) n2 p ( t ) 是T的分布密度， ，
X X S/ n / n
( n 1) S ~ t ( n 1). 2 (n 1)
2
定理 设 X 1 , X 2 , , X n1 与 Y1 , Y2 , , Yn2 分别是来自
2 两个正态总体 N ( 1 , 12 ), N ( 2 , 2 )的样本 , 且这
2
2
Y
i 1
n2
i
分别是这两
或 ( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
2 2. 分布
定义 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，均服从 N (0, 1) 分布, 则称统计量 ＝X X X 服从自由
根据 分布的可加性知 n
2
Xi
i 1
n
2
2 ( n)分布的概率密度曲线如 图.
n 1 ~ , . 2 2
2 分布的性质
性质1 ( 分布的可加性 )
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
i 1 i 1
其中C1 , C2 , , Cn为不全为零的常数.
证明 由于X 1 , X 2 , , X n 独立且均为正态变量, 故他们的线性函数 C i X i 仍为正态变量, 又
i 1 n
E ( C i X i ) C i E ( X i ) C i i
i 1 i 1 i 1
推论3 设 X 1 , X 2 , , X n 与 Y1 , Y2 , , Yn 分别是
1 2
来自两个独立的正态总 体 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 ) 1 n1 1 的样本, 设 X X i , Y n1 i 1 n2 个样本的均值, 则有
2 12 2 X Y ~ N ( 1 2 , ) n1 n2
证明
2
因为 X i ~ N ( 0, 1), 所以 E ( X i 2 ) D( X i ) 1,
4 2
D( X i ) E ( X i ) [ E ( X i )]2 3 1 2, i 1, 2, , n.
n n 2 2 2 故 E ( ) E X i E ( X i ) n, i 1 i 1 n n 2 2 2 D ( ) D X i D ( X i ) 2 n. i 1 i 1
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2), 1 1 Sw n1 n2 (n1 1) S (n2 1) S 2 其中 S , Sw Sw . n1 n2 2
2 w 2 1 2 2
2 2 证明： 因为 X Y ~ N 1 2 , n n 1 2 ( X Y ) ( 1 2 ) 所以 U ~ N ( 0,1), 1 1 n1 n2
C i X i ~ N ( C i ,
i 1 n n 2 2 C i ). i 1 n
的样本 , 则样本的任一确定的线 性函数
i 1
其中 C 1 , C 2 , , C n为不全为零的常数 .
推论2
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本 , X 是样本均值 , 则有 X ~ N ( , 2 / n ).
1 1 两个样本互相独立 , 设 X X i , Y n1 i 1 n2 别是这两个样本的均值 ,
2 1 n1 n2
n1
Y
i 1
n2
i
分
1 1 2 2 2 S ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 i n1 1 i 1 n2 1 i 1 分别是这两个样本的样本方差, 则有
由
(n1 1) S12
2
~ 2 (n1 1),
2 (n2 1) S2
2
~ 2 (n2 1),
且它们相互独立 , 故由 2 分布的可加性知
V
(n1 1) S
2
2 1
2 (n2 1) S2
2
~ 2 ( n1 n2 2),
由于 U 与 V 相互独立 , 按 t 分布的定义 U V /( n1 n2 2) ( X Y ) ( 1 2 ) ~ t ( n1 n2 2). 1 1 Sw n1 n2
2
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 i2 ~ 2 ( ni ), 并且 i2 ( i 1, 2,, m ) 相互 独立 , 则 i2 ~ 2 ( n1 n2 nm ).
i 1 m
性质2 ( 2分布的数学期望和方差 )
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
2 n 2 1 2 2 2 n
自由度 :
度为 n 的 分布, 记为 n ~ (n).
2 2 2
指 n X X X 中右端包含独立
2 1 2 2 2 n
2
变量的个数 .
定理
2 (n)分布的概率密度为
n x 1 1 2 2 x e x0 n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 其它 0 1 1 2 证明 因为 (1) 分布即为 , 分布,
2 2
又因为 X i ~ N ( 0, 1),
即 X i2
1 1 ~ , , i 1, 2, , n. 2 2
由定义 X i2 ~ 2 (1),
因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立 ,
2 2 所以 X 12 , X 2 , , X n 也相互独立 ,
例1 设 X 1 , X 2 , , X 6为来自正态总体 N ( 0,1)的一组 样本 , 求 C1 , C 2使得 Y C1 ( X 1 X 2 ) 2 C 2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 ) 2 服从 2分布 .
解
同理
X1 X 2 X 1 X 2 ~ N (0,2), 则 ~ N (0,1) 2
3. F分布
定义
设 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), 且X , Y 独立, 则
X / n1 称随机变量 F 服从自由度为 ( n1 , n2 ) 的 F 分布, Y / n2 记为 F ~ F (n1 , n2 ).
F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
n1 n1 2 1 n n n 1 2 1 2 y 2 n2 , y0 n1 n2 ( y) n1 n2 n1 y 2 1 2 2 n2 其它 0,
第6.3节
几个常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1.正态分布
定理 设 r.vX 1 , X 2 , , X n 相互独立, 且 X i ~ N ( i , i )
2
(i 1, 2, , n)
n n
则它们的任一确定的线性函数
i 1
n
Ci X i ~ N ( Ci i , Ci2 i2 ).
n
n
n
D( Ci X i ) C D( X i ) Ci2 i2
i 1 i 1 2 i i 1
n
n
n
所以
2 2 C X ~ N ( C , C i i i i ii ) i 1 i 1 i 1 n n n