第六章 对流换热基本方程

(6-2-2)
6-2 动量方程
图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡
6-2 动量方程
等式两边同除以，得到
D x xy Du u v u ( ) Fx D x y x y D 考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有
通过消去控制体体积ΔxΔy，得到
( u ) ( v) 0 x y
(6-1-3)
对于三维流动，类似地可以得到
( u ) ( v) ( w) 0 x y z
(6-1-4)
这就是流体的连续性方程，用矢量Leabharlann Baidu式表示，则为
D 其中 为全导数，即 D D u v w (6-1-8) D x y z 为当地变化率。· V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变
为
D V 0 D
(6-1-7)
6-1 质量守恒与连续性方程

D divV 0 D
(6-2-1)
式中，n表示所讨论的方向。 有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。 图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-2-
1)应用于x方向，得到
( uxy ) u 2 y u 2 ( u 2 )x y uvx uv ( uv)y x x y xy x x y ( x x)y xy x ( xy y ) Fx xy 0 x y
将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方
程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和 粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。 考虑作用于控制体上的力平衡，有

( Mvn )cv (qm vn ) (qm vn ) in out
6-3 -1 热对流携的净能量 单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能：

1 e U （u2 +v2 +w 2） 2
uedydz+
(6-3-2)
( ue) dxdydz 之 x
x 方向流体携入控制体的净能量为ρuedydz与
差，即

类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为 ( ve) ( we) dxdydz dxdydz 和 y z 因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或
第十三章 复合换热
第六章 对流换热基本方程
热对流是指：依靠流体的流动将热量从一处传递到另一处的现象，
即运动的流体质点以热焓形式将热量带走。热对流传递的热量为
p f2 f1 热量传递中，流体是能量的携带者或传递者。 热对流只发生在运动的流体中。流体流动时，流体微团运动的 同时，伴随有微观粒子的热运动，即导热，热对流与导热同时发 生，两者密不可分。 工程中，对流换热是指流动流体与固体壁面或其它界面之间的换 热。但是，由于紧贴固体壁面或其它界面处的流体因其粘性而停 滞不动，此处的传热是导热占主导地位，而热量的传递必须通过 这个区域，因此对流换热必然是导热与热对流的联合作用，或称 为运动的流体的热扩散。为使问题的描述更直接，1701年牛顿提 出了对流换热的冷却公式：
qx dxdydz x

由傅里叶定律
q x
T x
6 -3 能量方程
因而x方向净导的能量可写为：
T ( )dxdydz x x

类似的，y、z方向的净导的能量为：

T ( )dxdydz y y
和
T ( )dxdydz z z
6 -3 能量方程
高等传热学内容

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算

(6-2-3)
式(6-2-4)中的法向应力 y 和切向应力 xy 由下式给出：

x xy Du Fx D x y
(6-2-4)
x P 2
u 2 u v ( ) x 3 x y
(6-2-5)

xy (
( u) ( v) ( xy ) uy vx u x y v y x x y

(6-1-2)
6-1 质量守恒与连续性方程
图6-1 二维直角坐标系的质量守恒
6-1 质量守恒与连续性方程
( ue) dxdydz x
( ue) ( ve) ( we) dQconv dxdydz y z x
6 -3 能量方程
6 -3 -2 通过导热在界面导的净能． x方向净导能量为
qx dydz 与
( qx
qx dx)dydz 之差，即 x
2 2 2
(6-2-10)
6-2 动量方程
为简洁，可以表示为向量形式： DV F P 2V (6-2-12) D 如果介质是常物性的不可压缩流体，速度场与温度场无关，可以
单独求解，因N-S方程和连续性方程构成了关于压力P和速度u、v、 w的封闭方程组。对于可压缩流体，密度ρ不是常量，即使其它物 性参数保持常量，动量方程也不能单独求解，因为密度ρ与温度相 关，动量方程与能量方程是耦合的，通过补充密度与温度的关系 式，同时求解动量方程和能量方程，或已知温度分布，才能获得 速度分布。 由热力学知 f ( P, T )

q mc (t t )

q h(tw t f )
第六章 对流换热基本方程
除稀薄气体外，连续介质的假设同样适用于对流换热，因而连续
介质力学与热力学的一些基本定律仍然适用，微元体和控制体的 方法始终贯穿于对流换热的分析之中。 对流换热的发展与流体力学密切相关。正确地理解与掌握传热学 与流体力学的基本规律是研究对流换热的基础。在过去130多年的 传热学与流体力学的发展中，两者存在共轭关系，彼此促进，典 型的例子是1904年普朗持提出的边界层理论。 通常，流体的物性量是温度的函数，速度分布与温度分布相互影 响，求解对流换热问题时需要联立求解连续性方程、动量方程和 能量方程，以获得速度、温度和压力。对流换热问题的求解过程 十分复杂。许多问题难以得到分析解，而更多地依靠实验方法和 量纲分析、相似分析等。普朗持提出边界层理论后，对流换热开 始从实验研究向分析计算发展，一些对流换热问题得到了精确解 和近似解。随着计算机技术的发展，目前偏微分方程数值解广泛 应用于对流换热问题，成为该领域的主要研究方法之一。
)T dP ( ) P dT (6-2-13) P T 一般( )T ， ) P不为零，但dP、dT较小时可以认为dρ0, ρ=常数。 ( P T d (
6 -3 能量方程
对流换热的温度场，可以通过求解能量方程获得。对于选取的控
制体，采用热力学第一定律分析，如果不考虑内热源，控制体的 能量方程可以表述为： 单位时间内由于热对流流体通过界面净携控制体的能量dQconv、单 位时间内由于导热(分子扩散)在界面处净导入控制体的能量dQcond 以及单位时何内作用在界面上的力对控制体内流体所作的功dW 之和，等于控制体内流体的总能量对时间的变化率dE。用公式表 示为
(6-2-9)

v v v v P 2v 2v 2v ( u v w ) ( 2 2 2 ) Fy x y z y x y z
(
w w w w P w w w u v w ) ( 2 2 2 ) Fz x y z z x y z
u u u P 2u 2u ( u v ) ( 2 2 ) Fx x y x x y
(6-2-8)
下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维
-斯托克斯(N-S)方程：

u u u u P 2u 2u 2u ( u v w ) ( 2 2 2 ) Fx x y z x x y z
( vi ) 0 x
(6-1-9)
也可以用张量形式写出连续性方程，即

(6-1-10)
其中i＝1，2，3。
D 对于不可压流体，密度ρ为常量， ＝0，则连续性方程为 D

divV
u v w 0 x y z
(6-1-11)
6-2 动量方程
6-1 质量守恒与连续性方程
对于闭口系统，质量是守恒的；对于开口系统，流过系统的质量
是“连续”的。如果研究对象取控制体，则有

mcv qm qm t in out
(6-1-1)
其中：mcv为某一时刻控制体内的质量；qm为流、流出控制体的质
量流量。 在对流换热问题中，一般通过速度和温度的分布来获得问题的最 终解决。 为了使问题分析方便，假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体 为ΔxΔy，点(x，y)处的速度为u和v，控制体内的质量为ρΔxΔy。方 程(6-1-1)应用于该控制体中，得到
conv cond (6 -3 -1) 注意，对于工程热力学，规定流体对外作功为正，而传热学中外
dQ
dQ
dW dE
界对流体作功为正。有时，为了区别Q 与E，用Ec和Em代替Qconv 和Qcond。图6-3 是控制体能量平衡示意图。
6 -3 能量方程
图6-3 控制体能量平衡
6 -3 能量方程
6-3-3 控制体内总能t 随时间的变化率 控制体内总能量随时间的变化率为 能量守恒方程
dE
( e) dxdydz
( ue) ( ve) ( we) T T T dxdydz ( ) ( ) ( ) dxdydz dW y z y y z z x x x ( e) dxdydz
u v ) y x
(6-2-6)
6-2 动量方程
将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克
斯方程：

如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为
Du P u 2 u v u v 2 ( ) ( ) Fx (6-2-7) D x x x 3 x y y y x
div( V ) 0 式中div表示散度，即

(6-1-5)
div( V )
( u ) ( v） ( w) x y z
(6-1-6)
6-1 质量守恒与连续性方程
局部的质量守恒表达式也可以写为 即
u v w u v w ( ) 0 x y z x y z