数学归纳法2

，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N 2 1 3 5 .......... ( 2 n 1) n 证明：①当n=1时，左边＝ 1 右边＝ 1 等式成立。
a 1 ( k 1) 1 d
利用假设
a1 k d
∴当n=k+1时，结论也成立. 凑结论 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
4．
用数学归纳法证明：
求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) 从“k 到 k + 1”左端需增乘的代数式为 A．3k + 1 B．2 (2k + 1) （
1 3
1 1 当 n ＝ 4 时， a 4 3 1
1 2
1 3

1 4
如何通过 有限个步骤 的推理，证 明n取所有正 整数都成立？
对 于 数 列 a n , 已 知 a 1 = 1 , a n+1 = 猜 想 其 通 项 公 式 为 an= 1 n
an 1+a n
(n N ),
*
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
1 3
1 3
n ( n 1)( n 2 )
课堂练习
1、用数学归纳法证明：“1 + a + a +…+a =
2 n+1
1a
n2
1a
(a≠1)”，在验证 n = 1 时，左端计 算所得的项为 A．1 C．1 + a + a2 B．1 + a D．1 + a + a2 + a3 （
C
）
2、求证：1+2+3+„+n=
1 2
n(n+1 )
课堂小结 1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用
× 1× 2× 3 =2. 命题成立
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k ( k 1 )( k 2 ) 3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 ... k ( k 1 ) ( k 1 )( k 2 )
an 1+a n 1
(n N ),
*
多米诺骨牌游戏的原理 a n
这个猜想的证明方法
n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a k 1 ，则当n=k+1时猜想 k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 a k 1 。
( k 1)
2

k ( k 1)( 2 k 1) 6 ( k 1) 6 ( k 1)(( k 2 )( 2 k 3) 6
2

( k 1)( 2 k 7 k 6 )
2
6 ( k 1)[( k 1) 1][ 2 ( k 1) 1] 6
n
是一个合数： 641 6700417
1 4294967297
例4．求证：凸n边形的对角线的条数为
f (n) n ( n 3) 2 , (n ≥ 4)
证明：（1）当n=4时，四边形的对角线 有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立. （2）设凸k边形的对角线的条数为
f (k ) k ( k 3) 2 , (k ≥ 4)
,怎 样 证 明 ?
证明：1 ) 当 n = 1 时 a 1 = 1 成 立 (
ak 1 ak
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则 n = k + 1 时 , a k+1
k 1 1 k
1 k 1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
②设n=k时，有 1 3 5 ......... ( 2 k 1) k 2 则，当n=k+1时

1 3 5 ........... ( 2 k 1) [ 2 ( k 1) 1] 第二步证明
[1 2 ( k 1) 1] ( k 1) 2 ( k 1)
（2 k + 1 )(2 k + 2 ) k +1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
已知数列
a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则 a k 1 a k d
a 1 ( k 1) d d
2
中没有用到假 设，这不是数 学归纳法证明。
即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
上如证明对吗？为什么？
正确解法：用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝
注意：递推基础不可少，
n2
归纳假设要用到，
证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 结论写明莫忘掉。 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设） 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 证 那么当n=k+1时 明 传 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 递 ＝ k2 + [2(k+1)－1］ 性 （利用假设） ＝ k2 ＋2k＋1 ＝ （k+1）2 （凑结论） 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
数学归纳法
如何通过 1、已知数列{ an }的通项公式为 有限个步骤 2 2 a n ( n 5 n 5 ) n 推 理 ， 证 的 1 明n取所有正 分别计算a1、a2、a3、a4、的值,猜想an 整数都成立？ an a 2、对于数列｛a n｝，已知 a 1 = 1， n + 1 = 1 + an
求出数列前4项, 你能得到什么想？
问题引入
3、三角形的内角和为180°，四边形的内角和为
2•180°,五 边形的内角和为3•180°，于是有：凸n边 形的内角和为 Sn= (n- 2) • 180°。
数学归纳法
对于某些与 正整数n 有关的命题常常采用下面的 方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0时命题成立；
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①
②
明确首取值n0并验证真假。（必不可少）
“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③
时
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
B）
2k 1
C．
2k 3
D．
k 1
k 1
例 2: 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 2 3 n
2 2 2 2
n ( n 1)( 2 n 1) 6
(n N )

注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分 两个步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝ k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、 公式、定理等加以证明
作业：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•
1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•
2
1
2 2 2 2
2
2
1 5 1 17 1 257 1 65537
2