二次根式复习课[1]
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
二次根式复习课
a = −a 则a是（ ）数。
2
9、下列等式中一定成立的是（ A. 9 × 16 = 9 + 16 B. C. 9 × 16 = 9×16 D.
）
a 2 − b2 = a − b
( x + y)2 = x + y
计算：
( 7 + 5)
2
1 12 − ( 27 − 2
3 − 3( 12 − 2 18) 2 1 1 3 2 12 ÷ 50 × 48) 2 2 4
2 2
(a − 3) 2 | a − 2 | 若2<x<3，则化简 + a −3 a−2
设 为
5=m
。
，则用含m,n的式子表示 3 = n 则用含 的式子表示
3.75
问题导学： 问题1：阅读课本内容 P4——19，回顾本单元主要知识， 对二次根式的有关知识进行整理 1、形如 叫二次根式，其 中a是 ，叫做 。 2、二次根式的性质 3、最简二次根式。 4、同类二次根式。 5、二次根式的加减运算法则 6、二次根式的乘法法则 二次根式的除法法则 7、二次根式的混合运算的法则 8、分母有理化。
(5 48 − 6 27 + 12) ÷ 3
3− 3 − (3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) 3
( 3 + 2 − 1)( 3 − 2 + 1)
先化简,再求值： 先化简 再求值： 再求值
a − 2ab + b 1 1 ÷ ( − ) a = 2 +1 b = 2 −1 2 2 a −b a b
。 。
合作探究： 合作探究：
1、在下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是（ 、 是同类二次根式的是（ B. 24 C. 27 D. 30 2、代数式 x − 2 有定义的条件 有定义的条件( 、 3− x A. 18 3、x<0，y>0，则下列与 、 ， ， A. − x ⋅ x − y C. 4、若 、 5.
第1章 二次根式复习 浙教版数学八年级下册课件(
第一组： 3
1 3
12
第二组： 0.8 8 18
第三组： x 3 y xy
y
x
a • b ab (a 0, b 0)
a a (a 0, b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
( )a 2 = a(a ≥0),
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例2
计算：
－2× x2. x
2 解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴
2 －x×
x2＝
2 －x×
（－x）2＝ ＝ －2x.
2 －x×(－x)＝
2× －x
－x2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母 的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进 行计算．
不含分母
1. a • b 2. a
b
最简 二次根式
运算
加减，合并
二
混合运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次
根
式
不含开得尽 的因数因式
a (a ≥0)
性质 ( ) 1. a 2(a ≥0)
2. a2 (任意实数)
ab = a • b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥0, b > 0)
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方 根。其中正的平方根 a （读作根号a）也叫做a的算术 平方根。
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
江苏省太仓市第二中学九年级数学上册 二次根式复习课件(1) 苏科版
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足:被开方数大于或等于零
例1、当a为实数时，下列各式中 哪些是二次根式？
例2、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1)
(2) (3) (4) (5)
a 1
x
x 2x 2
2
4x 4x 1
2
二次根式根号 内字母的取值 范围必须满足: 被开方数大 于或等于零
2
1.
例4、计算：
a a (a 0)
2
作用:可以将二次根式化简 反过来就是
a a (a 0)
2
例5、把下列非负数写成一个 数的平方的形式：
(1)5； (2)11； (3)1.6； (4)0.35．
例6、把下列各式在实数范围 内分解因式：
(1)4x2-1； (2)a4-9； (3)3a2-10； (4)a4-6a2+9．
(6)
2 2 3x
x 1 2 x
1.要使 围是( C )
有意义，则x的取值范
A. x≥-7 C. x≥-7且x≠3
B. x>-7且x≠3 D. x≤-7且x≠3
2、当 x - 3 + 3 的取值范围.
1 有意义时，求x x4
(二)、二次根式的简单性 质
a 0 2. a a a 0
2 2 3 3 2 2 , 3 3 3 3 8 8 4 5 4 （） 5 15 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜 想这类式子具有什么规律？
例9、已知a,b,c在数轴上的位置如下：
化简代数式 +｜b+c｜
a -｜a+b｜+
2
九年级下二次根式复习课教案(20200602074834)
二次根式复习课教学目标1•理解和掌握二次根式的有关概念以及二次根式的意义。
2.巩固二次根式的性质。
3•熟练掌握含有二次根式的运算。
过程与方法1•师生一起回顾归纳二次根式的有关知识点。
（学生口述，教师板书）2.根据考点给出典例精析。
（先请学生上台演示，后请其他学生讲评。
）3.通过练习进一步巩固二次根式的有关知识点。
4.课后5分钟小测。
教学重点和难点重点：1 .二次根式的意义2 .含二次根式的式子的混合运算.难点：1•对a （a>0）是一个非负数的理解；对等式（一a ）2= a （a>0）及、.a2 = a的理解及应用.2 •综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1.请同学回忆二次根式的有关概念，以及二次根式的意义。
2.二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.3.二次根式的加减、乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式二、典例精析例1 : x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:考点：二次根式的意义分析：（1）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义;⑵题中，式子的分母不能为零，即器不能职使1^=0的值,(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式， 分母是含x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.fS ⑴要使J3-掘有意义*必须?即要便4% - 2有意义，必须盘-2》山即呂〉2・所以使式子73-x 有意义的澹为2=辰3・(和因为i- 4^ =・［签|,当耳=±1^? 叮原式没有意义$所叹当话±1时F⑶因为使压有意义的趁值为使厲有意义的諏值为曲山所以便辰⑷因为使JW2有意义的蛊取值为髯+ 2>0『即冗而分母3s#0F 即只弄①所以使式子 ―_2有意义的x 的取值为x > -2且x丰0.3x考点：最简二次根式，分母有理化。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
《二次根式复习课》课件
简化表达式
利用二次根式的性质和运 算法则，简化复杂的代数 表达式。
解方程
利用二次根式解一元二次 方程或二元一次方程组。
不等式求解
利用二次根式求解一元二 次不等式。
二次根式在实际问题中的应用
计算实际问题中的数值
解决概率和统计问题
利用二次根式解决一些实际问题，如 物体运动、速度、加速度等。
利用二次根式解决一些概率和统计问 题，如方差、标准差等。
二次根式的加减法
01
总结词
掌握二次根式的加减法规则
02 03
详细描述
二次根式的加减法需要先将根号内的数进行加减运算，再将根号外的系 数进行加减运算。如果根号内的数是相同的，可以直接相加或相减其系 数。
举例
$sqrt{5} + sqrt{5} = 2sqrt{5}$，$sqrt{5} - sqrt{5} = 0$，$sqrt{10} + 2sqrt{10} = 3sqrt{10}$。
二次根式的简化
总结词
描述二次根式的简化方法
1. 化简二次根式
通过因式分解、平方差公式等 方法，将复杂的二次根式化简 为简单的形式。
2. 合并同类项
将二次根式中的同类项进行合 并，简化表达式。
3. 分母有理化
对于分母含有二次根式的式子 ，通过有理化分母的方法，将
式子转化为更简单的形式。
02 二次根式的运算
二次根式的混合运算
总结词
掌握二次根式的混合运算规则
详细描述
二次根式的混合运算需要按照先乘除后加减的顺序进行，同时需要注意运算优先级，如括号、指数等。在运算过程中 ，需要注意化简和合并同类项。
举例
$(sqrt{5} + 2)^2 = (sqrt{5})^2 + 2 times 2sqrt{5} + 4 = 5 + 4sqrt{5} + 4 = 9 + 4sqrt{5}$， $3sqrt{10} times frac{sqrt{5}}{2} = frac{3sqrt{10} times sqrt{5}}{2} = frac{15}{2}$。
二次根式复习课教学设计
第十六章二次根式复习课教学设计(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十六章 二次根式章节复习导学案（第一课时）执教 陈宏伟一、教学目标【知识与技能】（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则。
（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则。
【过程与方法】（1）夯实二次根式的性质、运算法则（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。
【情感、态度与价值观】培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。
【教学重点】二次根式的性质与运算法则【教学难点】利用数形结合的思想解决问题。
【教学方法】典例解析法二、教学设计（一）知识回顾1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。
）2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）()20a a =≥； （2()()()>000<0a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩ (3) ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； （4）()0,0>≥=b a b a b a5.二次根式的运算：(1)二次根式的乘除运算：0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥> (2)二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。
（二）典例解析（ppt ）例3、计算 1 2、 【强调】商的算术平方根的性质是二次根式除法法则的逆运用，商的算术平方根的性质是二次根式化简的一个重要公式，利用这个公式可以化去根号内的分母（即分母有理化）例5、计算 1、- 【点拨】二次根式加减实质上是合并同类二次根式。
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
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二次根式复习课
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解因为1-a＞0，3-a≥0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2 B．a≥2 C．a≠2 D．a＜2
A．x+2 B．-x-2 C．-x+2 D．x-2
A．2x B．2a C．-2x D．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：。