pdf4.2线性方程组的解法(线性代数)
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
数学线性方程组的解法
数学线性方程组的解法一、引言数学线性方程组是数学中的重要概念和工具之一，对于解决实际问题和理论研究都具有重要意义。
本教案将介绍线性方程组的解法，包括简单方程组和复杂方程组的求解方法，并结合实例进行讲解。
二、线性方程组的基本定义线性方程组是由若干个线性方程组成的一个方程组。
线性方程的一般形式为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。
三、线性方程组的解法1. 列主元素法列主元素法是一种常用的解线性方程组的方法。
其步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵按列展开，每列选取第一个非零元素作为主元，其他元素化为零；（2）对系数矩阵进行初等行变换，使得系数矩阵化为上三角阵；（3）根据上三角阵的形式，从最后一行开始依次求解未知数，得到线性方程组的解。
2. 列向量法列向量法是另一种解线性方程组的常用方法。
其步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵按列展开成若干个列向量；（2）将方程组转化为矩阵乘法的形式，即 AX = B，其中 X 为未知数向量，A为系数矩阵，B为常数向量；（3）根据矩阵乘法的性质解出未知数向量 X，即 X = (A^-1)B，其中 A^-1为A的逆矩阵。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决n元线性方程组的一种特殊方法。
其步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵 A 和常数矩阵 B 分别记为 [A] 和[B]；（2）计算系数矩阵 [A] 的行列式 D；（3）对于第 i 个未知数，将系数矩阵 [A] 的第 i 列换为常数矩阵[B]，得到矩阵 [A']；（4）计算矩阵 [A'] 的行列式 D_i；（5）第 i 个未知数的解为 x_i = D_i / D。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
线性方程组的解法
线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。
在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。
我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。
一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。
我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。
2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。
3.用一个非零常数来乘某个方程。
执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。
在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。
用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。
该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。
2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。
行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。
3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。
高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。
但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。
三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。
该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。
这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。
这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。
但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。
另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。
四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
线性方程组的解与解集
线性方程组的解与解集线性方程组是高中数学中的重要内容，也是线性代数的基础知识之一。
解线性方程组的过程涉及到求解单个方程的解以及确定整个方程组的解集。
在本文中，我们将介绍线性方程组的解的概念、求解方法以及解集的表示方式。
一、线性方程组的解线性方程组由多个线性方程构成，其一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ是系数，x₁、x₂、...、xₙ是未知数，b是常数。
对于一个线性方程组，解是指使得每个方程都成立的未知数的取值。
如果一个线性方程组存在解，则称其为可解的；反之，则称其为不可解的。
二、线性方程组的求解方法求解线性方程组的基本思路是通过变换和运算，将其转化为简化形式，从而得到解。
1. 列主元法列主元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
其基本步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵；（3）从最后一行开始，倒序回代求解出每个未知数的值；（4）得到线性方程组的解。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的方法，适用于系数矩阵可逆的情况。
其基本思想是通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式的乘积来求解线性方程组。
3. 矩阵法矩阵法是一种求解线性方程组的高效方法。
将线性方程组转化为矩阵方程，通过行列式、逆矩阵或者矩阵的秩等性质来求解方程组的解。
三、线性方程组的解集表示线性方程组的解集是使得方程组中的所有方程都成立的解的集合。
1. 单个方程的解对于单个线性方程a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b，如果存在唯一解，则解集可以用一个有序数对表示。
2. 齐次线性方程组的解齐次线性方程组是指常数项为零的线性方程组。
对于齐次线性方程组的解集，可以用零解和非零解来表示。
（1）零解指的是使得方程组中的每个方程都成立的解，它一定是方程组的解，任何线性方程组都有零解。
（2）非零解指的是大于零解的其他解，非零解的存在要求方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以表示为多个线性方程的组合，我们需要找到满足所有方程的解。
下面将介绍几种常用的线性方程组解法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一，它通过矩阵的初等行变换，将线性方程组转化为等价的简化行阶梯形矩阵。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式；2. 选取一个主元（通常是矩阵的第一行第一列元素）；3. 将选中的主元通过初等行变换变为1，并将该列其他元素通过初等行变换变为0；4. 重复上述步骤，直到将整个矩阵化简成行阶梯形矩阵。
通过高斯消元法得到的行阶梯形矩阵可以帮助我们找到线性方程组的解。
如果矩阵中存在形如0=1的方程，则说明该线性方程组无解。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种解线性方程组的方法，它利用了行列式的概念。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，如果A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过如下公式求解：xi = |Ai| / |A|, i=1,2,...,n其中|Ai|表示将A的第i列替换成向量b后的新矩阵的行列式，|A|为A的行列式。
克拉默法则的优点是直观易懂，适用于较小规模的线性方程组。
然而，它的计算过程较为繁琐，不适用于大规模线性方程组的求解。
三、矩阵求逆法对于一个n元线性方程组Ax=b，我们可以通过求解系数矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)表示A的逆矩阵，*为矩阵乘法运算。
然而，矩阵求逆法在实际应用中往往需要消耗大量的计算资源和时间，尤其是在维数较高的情况下。
因此，该方法适用于对较小规模的线性方程组求解。
四、迭代法迭代法是一种数值解法，适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
其基本思想是通过迭代计算逼近线性方程组的解。
常用的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
雅可比迭代法的计算公式为：xi(k+1) = (bi - Σ(aij * xj(k))) / aii, i = 1, 2, ..., n其中k表示迭代的次数，xi(k)表示第k次迭代后第i个未知数的值。
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性代数方程组的解
其通解式中含有 n − r(A) 个独立的任意常数； (2) 当 r(A) < r(A, b) 时，方程组不相容（即无解）．
m n 非齐次方程组 Ax = b 的求解步骤
4.2 线性代数方程组的解
回顾：线性方程组的四种等价形式
1. 一般的形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
1
<
2
系数矩阵 A 系数矩阵 A增广矩阵 (A, b) 的秩 r(A) 的秩=r(A) 的秩 r(A, b)
<
未知数 的个数
3
=
无解 无穷多解 唯一解
特别地，当 b = 0 时，
情形1：
情形2：
情形3：
A
0b
r
~
0
0
0
0
情况另作讨论．
齐次线性方程组的解的性质（补充）
性质：若 x = x1，x = x2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 x2 =Ax1+ Ax2= 0 + 0 = 0 ． 性质：若 x = x是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
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1 a 1 0 1 0 b a 1 1 1 0 c a 2 1 2
1 2a b 0 1 0 1 × r2 + r1 0 1 1 1 b a 2 × r2 + r3 0 a + c 2b 0 1 0
选为第三 行的主元
1 1 2 1 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 × r3 + r1 0 0 1 0 0 0 1 × r3 + r2 0 0 0 1 2 1
由此得同解方程组
x1 +x 2 x3 x4
1 × r3
1 2a b 0 1 0 0 b a 1 1 1 0 2b a c 0 r3 + r1
1 a + b c 0 0 0 0 1 0 1 c b 0 2b a c 0 1 0
命题2.1 若两个线性方程组的增广矩阵行等价, 则这两 个方程组同解. 我们有下面的定理: 定理2.1 线性方程组 AX=B 有解的充分必要条件是系 数矩阵和增广矩阵的秩数相等.
下面讨论哪些变量可取作主变量. 我们用一个五阶行列式来说明这个问题.
设线性方程组AX = b即 a11 a21 a 31 a 41 a51 a12 a13 a14 a15 x1 a22 a23 a24 a25 x 2 a 32 a 33 a 34 a 35 x 3 = a 42 a 43 a 44 a 45 x 4 a52 a53 a54 a55 x 5 b1 b2 b3 有解 b4 b5
例2.1 求解线性方程组 x 3 + x 4 + 2x 5 = 1 x + x + 2x + x + x = 3. 1 2 3 4 5 x1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 = 3 解：将增广矩阵用初等行变换化成约化阶梯矩阵,
0 0 1 1 2 1 1×r + r 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3
第四章 线性方程组
§4.2 线性方程组的解法 一个线性方程组 AX=B 的解的数量有三种情况: 0, 1,∞. 对于第三种情况,逐个写出这些解是不可能的 . 解线性方程组的本质就是用一组可自由取值的变量 ---(称为自由变量)来表示其余的变量(称为主变量),使得对于自由 变量的任一组值, 都能唯一确定主变量的值, 它们一起构成方程 组的一个解. 注意：主变量和自由变量的分法并不是唯一的. 自然地,我们应解决以下问题: １．方程组何时有解? ２．若方程组有解,哪些变量可取作主变量? 下一页
记为C
原方程化为:
x1 x2 a23 a24 a25 b2 x3 = b3 a 33 a 34 a 35 x4 x5 记为D
x1 x2 b2 则 [C D ] x 3 = b3 x4 x5
其中a, b是任意数.
解线性方程组的主元消元法 有时, 化阶梯形不方便, 此时我们采用主元消元法: 1. 广 阵 个 数---称为 , (注意：不能是常数项) 2. 用初等行变换将主元所在列中其余元素都化为0, 并重复 此过程, 直至每个非零行都有一个主元. (注意：一行不能有两个主元) 3. 最后将主元都化为1 , 则主元所在的列就是单位矩阵的列. 取主元对应的变量为主变量即可得出参数形式的解. 我们用一个具体的例子来详细说明这中方法.
a12 0 13 0 14 a a 0 a22 a23 a24
a 0 15 b1 0 a25 b2 b3 b4 0 b5 0
a 32 a 33 a 34 a 35 a 42 a 43 0 44 0 45 a a 0 0 a 52 a 53 0 54 0 55 a a 0 0
a21 a22 a 31 a 32
x 5 +2x 5
=2 = 0, =1
即 x1 = x 2 + x 5 x = 3 2x 5 x4 = + + 2 0. 1
取x 2 = a, x 5 = b，可得参数形式解
x1 x 2 x 3 x4 x 5 = a + = = = = b a 0, 2b + 1 b + 2
0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 0 0 1 0 0 0
r1 r2
1 1 2 1 1 3 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0
1 × r3 + r2
1 1 2 1 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0
为了解决上面提出的问题，首先引入同解方程组的概念. 设有两个n元线性方程组(I)和(II), 若(I)的每个解都是 (II)的解, 反之(II)的每个解都是(I) 的解, 则称这 两个方程 组同解. 若矩阵A可经过行 对方程组AX=b, 矩阵(A b)称为增广矩阵.
初等变换变为矩阵 B,则称A与B等价
x1 即 C x 2
x3 b2 + D x 4 = b3 x 5
x3 b2 x1 从而 x = C 1D x 4 + 2 x b3 5
由此可知,可取 x 1, x 2 变量为主变量,其余的为自由变量.
推广上面的例子，我们有下面的定理： 命题2.2 设线性方程组 AX=B 有解, 且秩A=r . 若 M 是 A 的一个 r 阶非奇异子式, 则 M 所占的方程构成的方 程组与原方程组同解, 且以 M 的元素为系数的 r 个变量可 取作主变量. 解线性方程组的Gauss-Jordan消元法 在实际计算中, 一般不需要先确定哪些变量是主变量． 通常的做法是： 1. 先对增广矩阵作行变换, 将其中的 r 个列化成 1 , … , r 其中，r=秩A ． 2. 然后取这 r 个列对应的变量为主变量, 将主变量用其余 变量表出,即可得参数形式的解.
从而，得同解方程组：
x1 + (a + b c)x 2 (c b)x 2 (2b a c)x 2
=0 + x3 = 1. + x4 = 0
取x 2为自由变量即得参数形式的解 x1 x 2 x3 x 4 = (a + b c)t = t = = (b c)t + 1 (a 2b + c)t ,
其中 t 为任意常数.
例2.2 解线性方程组
x1 + ax 2 + x 3 = 1 x + bx + 2x + x = 2 . 1 2 3 4 x1 + cx 2 + 3x 3 + x 4 = 3
解：对增广矩阵作行初等变换，
选为第一行的主元 选为第二行的主元
1 a 1 0 1 1×r + r 1 2 1 b 2 1 2 1 × r1 + r3 1 c 3 1 3
并且秩A=秩(A b)=2,
a 21 a22 设 a a 32 就是一个2阶的非奇异子块. 31
因为增广矩阵的秩数为2, 所以第二行和第三行是增广 矩阵的行向量组的一个极大无关组. 从而其它的行都可以用 这两行来表示, 因此可以用这两行将其他行化为0.
a11 0 a21 a 31 a 41 0 a 51 0