数形结合的三重境界
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究小学数学是一门探究数字规律和数学关系的学科，而“数形结合”则是在数学教学中的一种重要教学法则。
它旨在通过结合数字和几何图形，帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
在小学计算教学中，我们应当注重培养学生的“数形结合”能力，让他们在实际操作中深入理解数学概念，提高计算能力。
下面是“数形结合”中三个讲究的方面。
要注重形象化思维。
在小学计算教学中，我们要经常使用图形来表示数学概念，使抽象的数学问题具有形象化特征，激发学生的感知能力和想象力。
在教学加减法时，我们可以通过画图、模型等形式，将数字转化为图形，让学生通过观察图形来计算。
这样既能激发学生的兴趣，又能帮助他们更好地理解数学概念，提高计算能力。
在教学过程中，我们还应当鼓励学生使用图形化表示方法来解决问题，培养他们的几何思维能力。
要注重情景化思维。
在小学计算教学中，我们可以通过设置具体的情境，让学生将抽象的数学概念和生活实际相结合。
在教学乘法时，我们可以以购物结算为背景，要求学生根据商品的单价和数量进行计算，帮助他们将乘法概念运用到实际中去。
通过这样的情境设计，不仅能够培养学生的数学思维能力，还能够增强他们解决实际问题的能力。
要注重动手操作。
在小学计算教学中，我们要充分发挥学生的主体性，让他们通过实际操作来感知数学概念。
在教学分数的加减法时，我们可以让学生使用具体的物体进行分数的表示和操作，让他们亲自操作，感受数学运算的过程。
通过动手操作，学生可以更加直观地理解数学概念，提高计算能力。
在动手操作的基础上，我们还要引导学生进行思考和总结，帮助他们形成系统的数学知识体系。
恩格斯数形结合
恩格斯数形结合恩格斯数形结合，是恩格斯提出的一个观点。
恩格斯认为，自然界、人类社会和人类思维的发展，都具有数学和几何上的规律性，数学和几何是相互联系、相互依存、相互促进的。
在恩格斯的观点中，数和形是密不可分的，数和形结合起来的结果，是科学和技术的进步。
因此，我们要深入理解恩格斯数形结合的意义和价值，不断加强对数学和几何学的学习和应用，为我们的工作和生活带来更大的便利和发展。
下面，我将分步骤阐述恩格斯数形结合的具体内容：第一步：认识数和形数和形是迄今为止被证明的最为重要的数学概念。
数是表征数量的概念，通过数，我们能精确地表示物体的数量、时间的长短、距离的远近等等。
形是表征物体形状和结构的概念，通过形，我们能准确地描述物体的大小、形状、结构和组成。
恩格斯认为，数和形是相互依存的，数是形的抽象，形是数的具体，两者相互转化、相互补充。
第二步：认识数形结合的意义恩格斯认为，数形结合是一种科学和技术的理论基础，是把数学和几何学融合到一起，将所学到的数学和几何知识应用到实际问题中去，使人们能够更好地解决实际问题。
数形结合不仅能够提高人们的临场反应能力，还能够加快思维的速度，提高解决问题的效率。
同时，数形结合在各种工程设计和生产制造中有着广泛的应用。
第三步：推进数形结合的发展在实际应用过程中，数形结合的深入发展离不开科技进步和人才提高。
科技进步使得我们的设备更加精密，能够更好地配合我们的需求进行工作，在此基础上，我们也需要更多高素质的人才投入其中，不断提升技能，熟悉这一理论的应用方法，认真练习，更好地提高运用能力。
第四步：应用数形结合解决实际问题最后，恩格斯数形结合理论的最终目的就是要解决实际问题，在现实生活中获得应用。
应用数形结合方法，可以帮助我们更完善地解决实际问题，提高生产效率，提升社会财富总量和人民生活水平。
综上所述，恩格斯数形结合是一个非常重要的理论观点，是我们理解和应用数学和几何时不可或缺的一环。
只有我们在实践中深入理解和应用它，才能更好地推进科技和生产的发展，推进全社会的发展进步。
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究
数形结合是指在小学数学教学中，通过将数与形结合起来进行教学的一种方法。
它能够帮助学生更好地理解数学的概念和运算，并提高他们的计算能力和思维能力。
下面将从三个方面来讲究数形结合的教学方法。
第一，注重直观感受。
在教学过程中，需要让学生通过观察形状、模型和图像等，直观地感受到数学概念的内涵。
比如在教学加法的时候，可以用图形表示物品的数量，让学生通过观察图形，直观地感受到加法的意义。
在教学几何中，可以通过展示具体的形状和实物，让学生能够形象地理解几何概念。
通过直观感受，学生能够更加深入地理解数学概念，也能够更好地应用数学知识。
第二，强调实际应用。
数学是一门抽象的科学，学生往往难以将其与实际生活联系起来。
而数形结合教学则可以将抽象的数学概念与实际生活中的问题相结合，使学生能够理解数学知识的实际应用。
比如在教学长度时，可以让学生通过比较不同物体的长度，理解长度单位的概念。
在教学时间时，可以让学生通过观察日常生活中的时间、日历等，理解时间的概念和运算。
通过将数学与实际应用相结合，学生能够更好地理解数学的概念和方法，并将其运用到实际问题中。
强调操作与探索。
在数形结合教学中，需要让学生通过参与实际操作和探索来理解数学的概念和方法。
比如在教学面积时，可以让学生通过制作纸片模型来探索面积的概念和计算方法。
在教学分数时，可以让学生通过将物体分成若干份，进行实际操作，来理解分数的概念和运算。
通过操作与探索，学生能够更加深入地理解数学的概念和方法，并提高他们的计算能力和思维能力。
小学数学课堂中的数形结合
1.化抽象为具体形象
小学生心理发展规律决定了其思维特点是以具体形象思维为主，所以，抽象的数学概念、定义是他们难以攻克的难关。因此，在进行概念解读时用数形结合的方式进行讲授更容易让学生听懂、理解。
教师在讲解这道题时，需要引导学生认真读题、理清题目并尝试答题，学生的主动思考对于训练其逻辑思维能力十分有效果，当学生通过读题、解题有了各自答案，彼此间有争议或百思不得其解时，教师及时引导学生画图解读题目：
3小时后，乙开始出发
学生通过画线段图，对题目所述过程了解清楚了，对于破解题目的关键点却不甚清楚，此时教师需要及时指出甲乙车行驶相同的时间，乙车比甲车多行的路程即为甲车先行的3小时路程，并在线段图上展现出来，帮助学生理解。
在三年级学生学习《位置与方向》后，遇到这样的问题：
走进汽车展览大门，在收费厅的正北面有“夏利”屋，南面有“红旗”屋。在收费厅的东南面有“金杯”屋，西南面有“奥迪”屋。在收费厅的东北面有“奥拓”屋，西北面有“捷达”屋。请你根据上面的描述，叙述从“金杯”屋到“捷达”屋的路线。
学生一看见这道题，心里叫苦，勉强保持心态去读题，读完，彻底崩溃，此时再读，越读越气，最后心态不好的干脆气哭了。这就需要教师指导学生耐心地进行题目分析，引导其发现关键点，即题中的屋子都是围绕收费厅建立的，在学生豁然开朗时建议其画出题中所述方位图。与此同时，教师要在黑板上画出大概效果图（如图），避免学生再次陷入自我厌弃的境地以至于打击其学习自信心。最后结合正确的方位图与学生一同找出问题要求的路线。
将模糊懵懂的题目通过效果图的展示转化为清晰明了的题目，达到优化解题的目的。学生在此过程中不仅提高了解题能力，也锻炼了耐心及困难应对能力。
高三数学 数形结合思想教学课件
解得：k 0或k 4 3
f() 0 , f () 4
min
3 max
h
6
（二）形 化 数
D1 A1
例2（2008年高考题理科第19题，文科第20题）
如图，正四棱柱 AB C ABC D D 中 ，AA 2AB 4，
111 1
1
C1
点 E 在 C上 C ,且 C E 3 E.C
1
1
（1）证明：AC平B 面E ;D 1
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3
数形结合思想
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图 形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使抽 象问题具体化，复杂问题简单化，从而起到优 化解题途径的目的．
数形结合的重点是研究“以形助数”．
h
4
数形结合思想的应用 （一）数 化 形
（二）形 化 数
（三）数 形 互 化
h
5
（一）数 化 形
我想，只要同学们能做到“眼”中有形，“心”中有数，就能 “ 成功人生”．
h
14
数形本是两依倚 焉能分作两边飞 数缺形时少直观 形缺数时难入微
再见
h
15
1 a b 0
所以
1
a
b
0
，
4 2 a b 0
做出区域如图所示，
h
8
令 a2bm，此式可看成坐标系 aOb 中 的一组平行线，其中 m的几何意义为平行直线系在
a轴上的截距，结合图象可知，
当 a2bm过点 C(1,2)时，
横截距 m最大，所以
.
(a2b) 5 max
h
9
课堂练习
1．酒泉市肃州中学高三（7）班的学生中，爱好文学或体育的同学共30 人，其中爱好文学的有17人，爱好体育的有22人，则既爱好文学又爱好 体育的有＿9 人．
“数形结合”方法归纳总结
“数形结合”方法归纳总结一、以数助形“数(代数）”与“形(几何）”是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数"与“形"好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形"各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形"常见的结合点，，从“以数助形"角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜"的效果,使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面:（1）利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如:绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；利用函数图像的特点把握函数的性质:一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等;一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点;函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x=0时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．。
解析几何中数形结合思想运用的三个途径
解析几何中数形结合思想运用的三个途径作者：文／张红红来源：《高中生·高考》2019年第02期解析几何的实质是通过建立坐标系，用代数方法研究几何问题.数形结合正是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，主要分为两条思维可逆的主線：第一，将代数问题几何化，即以形助数，运用图形的几何性质来解决问题：第二，将几何问题代数化，运用代数特征进行运算来解决问题，即以数助形.当然，数与形并不是孤立的，常常在一道题中既有数向形转化，也有形向数转化，两者相得益彰.一、形向数转化——重在代数运算以数助形，突出问题的代数特征，通过合理简捷的运算来解决问题，思维量不大，但是对代数运算能力要求较高.这类题型体现了用代数方法研究解析几何问题，是最基本的题型.小结线段的长度和三角形的高是“形”，由两点间的距离公式和点到直线的距离公式得到的代数式是“数”，设出动点Q的坐标后，就可以将形转化为数，利用基本不等式得到定值，二、形与形互化——重组几何量突出问题的几何特征，通过几何量的重新组合，思维量较大，常常需要融入等量代换等化归思想.这类题型的理解层次较高.例2已知A（1，1）为椭圆内的一点，F，为椭网的左焦点，P为椭圆上的一动点，求PF1+PA的最大值和最小值.分析解这道题常有三种思路.思路1：设点P的坐标为（x0，y0），由F1（-2，0），A （1，1），将几何量PF1+PA表示成接下来求该式的最值时考生往往会陷入困境.思路2：由PF1+PA≥AF1，即三角形的两边之和大于第三边，当点P落在线段AF1上时等号成立，此时PF1+PA取得最小值.可是P为椭圆上的一动点，无法落在线段AF1上，所以常规思路受挫.思路3：PF1为焦半径，不妨通过椭圆的定义将其转化成2a-PF7，即6-PF2，则原式转化为PFi+PA =6+PA-PF2，再通过三角形的两边之差小于第三边来求解.解由题设可得a=3，6=5，c=2，左焦点F1的坐标为（-2，0），右焦点F2的坐标为（2，0）.。
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中，“数形结合”是指在教学过程中，将数字和形状相结合，通过形状
感知和操作数字，培养学生的空间思维能力和计算能力。
这种教学方法在小学数学教学中
具有重要的作用，能够提高学生的学习兴趣和学习效果。
下面我们重点来讲解一下“数形
结合”教学方法的三个讲究。
“数形结合”的教学目标要明确。
在小学数学教学中，我们要根据学生的发展水平和
教学内容的特点，明确“数形结合”的教学目标。
我们要让学生通过观察和操作形状，理
解和掌握数字的概念和运算规律，培养学生的计算能力和空间思维能力。
在教学“加法运算”时，可以让学生通过拼图的方式进行计算，通过对拼图的观察和拼装，来理解数字的
加法和减法运算规律。
“数形结合”的教学过程要有针对性。
在教学过程中，我们要根据学生的实际情况和
学习需求，有针对性地设计和安排教学活动，使学生在操作形状的过程中，能够逐步掌握
和运用相应的数学知识和技能。
在教学“面积和周长的关系”时，可以让学生通过使用积
木模型来计算并比较不同形状的面积和周长，从而理解并应用面积和周长的概念。
“数形结合”的教学方法要灵活多样。
在教学过程中，我们要根据学生的学习特点和
教学内容的特点，采用不同的教学方法和教学手段，使学生能够进行多样化的形状操作和
数学计算。
在教学“乘法表”的过程中，可以让学生通过画图的方式来探索和记忆乘法表，也可以通过手工制作的方式来巩固乘法表的运用。
高考中再现“数形结合”的三重境界
解： （ １ ） 定义 域 ｘ ＞ ０ ， ＝ 因 为 Ｋ。 所 以
一
重 要的是我 们更 深刻 形象地 体会 到数 学
画图解 题是 学生对 题 中给 出 的信息
（ ０ ２） 上单调递减 （ ２ ， ） 单调递增 。 （ ２） 由（ １ ） 知， 当Ｋ Ｏ时 ， ｆ （ ｘ ） 在 区 间 （ ０ ， ２） 上单调 递减 ， 所以ｆ （ ｘ ） 在（ ０， ２） 上 无
存在两个极值点 ， 则在（ ０ ， ２） 内有两个解 ， 即 ｋ ＝在 （ ０ ， ２） 内有 两个 解 ， 设 ｙ ＝ ｋ ， ｇ （ ｘ ）
三 角 形 的 中 位 线 ，故 Ｉ Ａ ＮＩ ＝ ２ １ ＤＦ １ ｌ ， Ｉ Ｂ Ｎ Ｉ ＝ ２ １ ＤＦ ２ １ ， 由椭 圆方程 知 ａ ＝ ３ ， 椭 圆 的 定义 Ｉ Ｄ Ｆ １ Ｉ ＋ Ｉ Ｄ Ｆ ２ １ ＝ ２ ａ则 ｌ ＡＮ Ｉ ＋ Ｉ Ｂ ＮＩ － ２ ｌ Ｄ Ｆ
１ １ ＋ ２ １ ＤＦ ２ １ ＝４ ａ ＝１ ２
转化 为中点 问题 ，进 而转化 中位线 问题 。
与Ｌ ２垂直 。所 以根据 均值 不等式 以及勾 股定理得 Ｉ Ｐ Ａ Ｉ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ ＝ ５ 。 三、 构 图解题 就要 求学生对 问题 进行充分思考 ， 根据题 中所提取 的有 关信 息 ，通过理解 加工 。 根 据 问题 的需求建立数学模型 ， 达到解决 问
点， 则。
、
识 图解题
识图解题就是 在阅读理解 的基 础上 ，
特 点。再利用均值不等式 以及勾股定理便
可解。 解 ：因为动直线 Ｌ Ｉ ： ｘ ＋ ｍｙ ＝ ０过定点 Ａ（ ０ ， ０ ） ， 动直线 Ｌ ２ ： ｍｘ — Ｙ — ｍ＋ ３ ＝ ０ 。 过 定 点Ｂ （ １ ， ３ ） ， 又 因为 １ ． ｍ＋ ｍ． （ 一 １ ） ： ０ ， 所以 Ｌ １
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究小学计算教学中，“数形结合”是一种重要的教学理念，它是指在教学中注重数学内容与形象表达相结合，通过形象化的方式帮助学生理解和掌握数学知识。
在小学教育阶段，通过“数形结合”教学，可以激发学生学习数学的兴趣，提高学生的学习效果，促进学生的认知发展。
下面我们来谈谈小学计算教学中“数形结合”三讲究。
一、注重视觉形象在小学计算教学中，注重视觉形象是“数形结合”的重要一环。
教师在教学中可以通过图片、图表、实物等形象化的方式来呈现数学概念，帮助学生树立数学形象，加深对数学知识的理解。
比如在教学加法与减法时，可以利用具体的物品来辅助理解，比如水果、小球、卡片等物品，通过这些具体的物品，学生能够更直观地理解加法和减法的运算规则，加深对加减法的理解。
在教学中，教师还可以通过图片、图表来呈现问题，让学生通过观察图表来得出答案，培养学生的思维能力，提高学生的数学解决问题的能力。
二、注重实际应用另外一方面，在小学计算教学中，“数形结合”需要注重实际应用。
这里的实际应用指的是将数学知识与实际生活联系起来，让学生从生活中找到数学的存在，并运用数学知识解决生活中的问题。
通过实际应用，可以增强学生对数学知识的认识，提高学生的学习兴趣。
在教学中可以设置一些情景问题，让学生用数学知识解决实际生活中的问题，比如小明有5个苹果，他吃了3个苹果，还剩下几个苹果？通过这样的问题，可以让学生在解决问题的体会数学知识的实际应用，加深对数学知识的理解。
三、注重思维训练“数形结合”在小学计算教学中需要注重思维训练。
在教学中，教师可以通过引导学生观察、比较、归纳、演绎等方式，培养学生的思维能力，提高学生解决问题的能力。
在教学中，可以引导学生通过观察生活中的物体来认识数学知识，让学生从具体的事物中找到数学的规律，培养学生的观察能力和思维能力。
在教学中可以引导学生进行逻辑思维训练，通过一些有趣的数学游戏和活动，激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑推理能力。