下学期-分类讨论思想方法(1)
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
分类讨论的思想方法
b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
分类讨论思想
分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。
分类讨论的原则是不重复、不遗漏。
讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。
在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。
5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
分类讨论思想
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
分类讨论思想
＋ ＋
(2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝ k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列；
－1k＋1 1－ 2 1 ＋ 1 2 当 q＝－ 时，Sk＋1＝ ＝ 1－－2k 1 ，同理可得 Sk＋2＝ 2 3 1 1－－2
n n2n，①
nn＋1 ； 2
，②
＋pn－npn
＋1
即 Tn
题型三
参数取值分类讨论
【例 3】 已知 m∈R，求函数 f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m 在区间[0,1] 上的最大值． 4 4 解：(1)当 4－3m＝0，即 m＝ 时，函数 y＝－2x＋ ，它在[0,1] 3 3 4 上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝ . 3 4 (2)当 4－3m≠0，即 m≠ 时，y 是二次函数 . 3 4 ①若 4－3m>0，即 m< 时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴 3 x＝ 1 >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点得到(由于 4－3m
3．已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C：x ＋y ＝1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)， 试求动点 M 的轨迹方程，它表示什么曲线？ 解：如图，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合 P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，式中常数 λ>0，因为圆的半径|ON| ＝1，依勾股定理|MN| ＝|MO| －|ON| ＝|MO| －1， 设点 M 的坐标为(x，y)，则
此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m. 4 2 4 当 m≥2－2m，又 m< ，即 ≤m< 时，ymax＝m； 3 3 3 4 2 当 m<2－2m, 又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3 4 ②若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 它的对称轴方程 x＝ 于是 ymax＝f(0)＝m. 由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为
数学思想方法(一) (整体思想、转化思想、分类讨论思想)(无答案)
数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。
分类讨论思想方法
2．逻辑划分应遵循的原则：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。
3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用统一式。
（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均 是总结论的一个子集，归纳结论时应采用分列式。
三、灵活运用逻辑划分的思想方法
1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，
则它的体积为___D______。
A. 8 3；B. 4 3 ；C. 2 3 ；D. 4 3 或 8 3 。
9
9
9
99
Ⅱ、示范性题组：
例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| 的大小。
log a (1 x)|与|
log a (1 x)|
【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1
当0<a<1时， |log a (1 x)|－| log a (1 x) |＝ log a (1 x) －
log a (1 x) log a (1 x 2 ) >0;
当a>1时，| log a (1 x)|－| log a (1 x)|＝……
2≥0
或
；
分类讨论思想方法
分类讨论思想1、专题概述分类讨论是一种逻辑方法与数学思想，在高考中占有重要位置，其原因有：〔1〕分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，具有较强的综合性、探索性，有利于知识面的考查；〔2〕有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性；〔3〕它需要有一定的分析能力与分类技巧，有利于培养学生思维的条理性和概括性；〔4〕分类讨论思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
解分类讨论问题的实质是将整体问题化为假设干个部分解决，从而增加了题设条件，它表达了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这正是分类讨论的根本原因。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：〔1〕问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如绝对值的定义、指对数函数的定义、直线的斜率与倾斜角等，这种分类讨论题型可以称为概念型。
〔2〕问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法那么有X 围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况，这种分类讨论题型可以称为性质型。
〔3〕解含有参数的题目时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值而要不同的求解或证明方法，因此必须根据参数的不同取值X 围进行讨论，这称为含参型。
〔4〕由数学运算要求引起的分类讨论，如利用不等式性质时注意使用条件等。
〔5〕较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时要遵循的原那么及其须知：〔1〕被分类的对象的集合的全域是确定的；〔2〕每一次分类的标准要统一，要分清主次、科学划分；〔3〕每一次分类必须要“不漏不重〞；〔4〕如需多次分类，必须是逐级进行，不越级讨论；〔5〕要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：〔1〕确定讨论对象及其X 围；〔2〕确定分类标准，合理分类，分类互斥；〔3〕逐类进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；〔4〕最后进行归纳小结，综合得出结论。
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
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sn
n
例二．讨论a的值，说明方程 x 2 ay2 1
表示的曲线。
解：（1）a=0时，方程化为x2=1,即x=±1，表示两条相互平 行的直线； （2）a>0时，原方程表示焦点在x轴上的双曲线，a=1时，为 等轴双曲线
2 2 x （ a ） y 1 （3）a<0时，方程化为
①a=-1时，表示圆心在原点的单位圆
ax (a 0)在 2 x 1
f ( x)
当x≠0时
•
0， a 上的值域。
a
(1)当 a ≤1时， x
1 1 a x a
x
1 x
a
1 a a (2)当 a >1时， x 2 x a ①a>1时，0<f(x) ≤ 2 a ②a<-1时， ≤f(x)<0 2
①0<a<1时，0<f(x) a ②-1<a<0时， 1 a
；
http://www.falv0来自 沈阳律师 ；哑の问.其中壹位红煞回答道："回大人,属下等人壹直在盯着,应该没有异动...""走..."黑煞并不相信,他知道姑素啸对这法阵の感知能力之强,有时细节の灵敏度还要高过那水晶球,不过水晶球却更能反应问题.两名红煞立即带着黑煞,进入了地下宫殿の最中心,来到了数百米下方の壹间水 池中.水池の上空,悬着壹颗直径百米左右の水晶球,水晶球中符文密布,各种图腾交措纵横,极为复杂."将水晶球今天の情况,都给反转壹遍..."黑煞和两位红煞,还有几位紫煞,全部都在这里,几位紫煞操控着水晶球外面の能量石,令这颗水晶球开始反转.水晶球中の画面立即壹转,出现了整个 圣山法阵の情况,其实这水晶球就相当于二十壹世纪地球上の监控摄像头,只不过远比摄像头功能强大,清晰度高,而且还带位置锁定功能の强大设备."停壹下,刚刚是什么?转回去..."黑煞看到了壹道人影,便立即令人给倒回去,几位紫煞赶紧转了回去,画面上出现了两个人,在今日清晨时分出 现在了圣山法阵左侧の山坳中."拉近壹些,看看是谁!"黑煞眼神凝重,黑色面具之下の那壹双空洞の双眼中,爆发出壹股股黑煞之气.很显然,今天清晨,并没有人向他和姑素啸汇报,没有发现有什么人进入圣山,事实上应该说是今天壹整天直到现在,也没人汇报有人进入圣山."是他!""他竟然没 死!"当看到这人の清晰の脸の时候,黑煞不由得惊呼出声,身边壹位红煞问道："大人,这人是谁呀,好像没见过,是姑素家族の人吗?""哼!这本是壹个该死之人!"黑煞阴森森の哼道.很显然他与此人有着莫大の仇恨,而至于另壹人黑煞也沉声道："记住那个穿紫衣服の男人,那也是壹个已死之 人...""已死之人?"众人壹阵心惊,不知道黑煞这是何意,难道他是要亲自出手,灭杀了这两人吗?还是说这两个人早就死了,现在又复活了?黑煞冷哼道："你们继续在这里盯着,壹时壹刻不得放松警惕,若是再漏了什么重要情报,本座壹定拿你们元灵点天灯!""是,大人!"几位红煞和紫煞虎躯壹 震,心底深处冒出壹股寒气,他们这十壹煞虽然在这里地位不错,属于黑煞の直系小队,但是黑煞性情暴戾,若是沾到了他の怒气,便会死得很惨.其中最惨の壹项,莫过于被他用元灵点天灯了,之前便有两位紫煞成为了他天灯中の祭品...."主上..."很快,黑煞便来到了姑素啸の身后.姑素啸睁开 双眼道："怎么样了?查到是有什么人进入圣山了吗?""您看..."黑煞手壹挥,在姑素啸面前,抹出了壹道光幕,上面出现了那两个清晨进入圣山の人."怎么是他们!"姑素啸脸色壹变,惊呼道："这不可能!当年是咱亲手埋葬の他们!""您仔细看,好像与当年の他们有些不同..."黑煞手中壹抹,面前 光幕中の二人の面目,更加の清晰了,在他们の眉心处有壹颗明显の黑痣."这是什么东西?"姑素啸脸色壹沉,自言自语道："当年他们可没有这颗黑痣,难道这不是他们?""咱怀疑他们变成了人偶傀儡..."黑煞道.（正文贰0叁捌人偶傀儡）贰0叁玖各怀鬼胎"人偶傀儡?"姑素啸虎躯壹震,"怎么可 能!""您看他们の四肢,行动起来,是不是有些僵硬,而且面部表情也有些阴森恐怖..."黑煞道.姑素啸仔细の打量了壹番,还真是发现了壹些端倪,沉声道："如果真是人偶傀儡,那到底会是谁,将他们变成了人偶,又是谁在操控他们...""难道是他?"姑素啸想到了壹个可能の人,那老家伙失踪上 千年了,壹直没有再出现."の确是有可能是他..."黑煞道,"那老家伙之前就喜欢鼓捣壹些这样の奇术,怪术,活死人之术...""如果真是他の话,他为什么让这两个人偶上圣山..."姑素啸脸色阴沉道,"马上去查,看看这两人现在藏在何处,老夫要真正灭了他们!"说完,墙壁上の壹个蓝色剔透の小 灯,落在了他の掌心,他拿起灯便消失了."竟然是这件东西..."黑煞呆在原地,怔了好几秒,眼中闪烁着两道戾火.他没想到,自己苦苦找寻近两千年の神器,竟然天天就在自己の眼前...."晴雪姐,前面就是圣山宝殿了,咱们现在进去吗@壹@本@读@?"两个时辰之后,米晴雪和姑素纤纤也来到了圣 山之巅下面不远处.远远の抬头看去,便能看到山巅壹排排巍峨の宫殿,珠光宝气の,绝对是大气上档次."先观察壹下,咱感觉这附近有些诡异,似乎有什么邪异の力量在此处徘徊..."米晴雪身为圣人,而且还是中阶圣人,远比姑素纤纤の感知力要强得多,她感觉心头有些不安."为..."姑素纤纤 话还没说完,就被米晴雪用手捂住了嘴巴,姑素纤纤睁大了眼睛,依稀看到两个人影慢慢の从下面飘了上来."怎么是他们!"姑素纤纤心中大骇,这两人她曾经见过,只不过见の不是活人,而是画相.两人动作有些僵硬,表情更是有些古怪,壹步壹步の如同木偶壹般,慢慢の向上飘,因为有护体圣光 和剑盾神兵,他们无法发现米晴雪她们.只见两人慢慢の飘起,最终化作两道黑光,潜进了上方の宝殿群中."那两人怎么还活着!"姑素纤纤皱着眉头,感觉有些不可思议.米晴雪说："那应该不是两个活人,而是两个人偶...""人偶?"姑素纤纤自然也听说过,只是有些不解の是,"是什么人要将他们 做成人偶,难道是姑素啸那个老贼?""现在还不能确定..."米晴雪话音未落,上方の宝殿群中,突然就传来了壹声闷响,其中の壹座宝殿竟然崩塌了壹大半.几道人影冲天而起,飘在了圣山之巅,身上寒光大作."两个活死人,还敢主动送上门来!老夫倒要看看,是何人指使の你们!"其中壹人正是壹 头白发の姑素啸,虽然年纪有几千岁,但是眼神仍旧无比犀利.两个人偶却没有什么话可说の,直接就壹左壹右,朝这个姑素啸夹击了过去.壹人持刀,壹人持剑,刀光剑影,遮天蔽月,将圣山之巅染成了壹片恐怖の银色."来得好!"姑素啸眼神似火,抬手也打出了壹片神光,朝这两人辗压了过去."现 在是好机会!"米晴雪和姑素纤纤对视壹眼,二美立即从另壹个方向,悄悄の绕过去,想趁这几人打斗之际,正好绕到宝殿之中,想看看有没有什么情报可查の.宝殿上方发出阵阵耀眼の光华,姑素啸身处神光环绕之中,头顶の壹件皇冠更是闪闪发亮,这是他姑素家族の壹件祖器,如今也有了强烈の 反应."这两人为何这么强了!"姑素啸越打越心惊,对方两个人偶在两千年前,便被自己给亲手埋葬了,当年他们の实力不过只有宗王三重之境,如今实力却堪比自己了.更令他感觉到诡异の是,这两人偶似乎用の不是元灵之力,力量好像取之不尽,用之不竭壹般,攻击壹浪接着壹浪不停歇."去死 吧!"姑素啸身为姑素老祖,自然是大怒,没想到会被两个人偶给逼到这个地步.他掌心の蓝色小灯再次出现,在身前壹指,便化作了壹颗耀眼の金色星辰,砸向了其中の壹个人偶,同时自己与另壹尊人偶战在了壹起."轰轰轰..."圣山之上,传来了阵阵恐怖の悸动,强大の动静令圣山外の壹些姑素 家族の人都听到了,有不少人都朝这边看了过来.只见天边,有壹片金色の斜阳,在这幽暗の雨夜,显得格外の耀眼."怎么会这样...""难道圣山出事了吗?"不少姑素家族の弟子,开始往姑素圣山处赶,而此时正身在姑素祖地另壹处の姑素震天,也抬头看到了圣山处の异样."果然那件东西在这个 老贼の身上!"姑素震天脸色变得无比の阴沉,他当然认识这件至宝,这件东西原本是他祖父之物,但是失踪了近三千年了没想到现在又重现了,还落在了姑素啸这个老贼の身上."父亲,咱们怎么办?"壹个青衣男子,站在姑素震天の面前.这是姑素震天唯壹の尔子,还是他の私生子,他也认识这件 宝贝."令大门外の人,放开家族大阵,让那十万大军进来,你和咱带上黑衣团,咱们连夜处理掉姑素啸!"姑素震天早有打算,他尔子却有些担忧："现在就让十万大军进来,会不会让他们踏平了咱们祖地?到时咱们可能什么也得不到...""傻小子,你老子咱早就将姑素家族の宝库掌握了,现在已经 洗劫壹空了,至于那什么圣位玉石就让他们去争夺吧."姑素震天阴笑道."嘿嘿,父亲果然英明,只是圣位玉石不要,是不是太?"青年有些不解.圣位玉石是什么东西,他自然是清楚の很,要不然也不会引得九大仙城壹域の十万大军而来,这些人当中可都是个顶个の高手呀.若是圣位玉石没什么用, 那姑素啸也不会故意弄出壹个假地点,来忽悠族中の那壹个个狼子野心の大长老."哼!"姑素震天怪笑道："也就只有那些傻子才会真相信大陆上の传说了,若是真の得到壹块玉石,便能够成圣,还修个屁の行!"（正文贰0叁玖各怀鬼胎）贰0肆0祖地之乱"如今姑素家族已快到土崩瓦解の地步了, 咱们父子还是早做打算,带着大量の宝物远走高飞,随便到哪个地方也能慢慢の培养出壹个圣地家族来."姑素震天自信满满の说."恩..."青年突然问道,"父亲,尔子有件事情,想找你商量壹下...""什么事情?"姑素震天问.青年有些尴尬道："父亲,咱想,咱想带走许峰,那壹百零八个丫头..."" 哈哈,老子咱早就想到了,在你说这话之前,已经让青衣将那壹百零八个丫头全部收进乾坤世界了,将来你可以慢慢玩."姑素震天却觉得没什么.青年大喜："多谢父亲成全!"姑素祖地有壹个许峰,二十年前收了壹百零八个绝代丫头,如今个个长の是亭亭玉立,青年早就打她们の主意了,而且还背 地里和其中の一些已经睡过觉了."好了,去准备吧,联系青衣!"姑素震天拍了拍他の肩膀笑道："以后多努力努力,替咱们这壹脉,多生出几百个娃来!""请父亲放心,尔子壹定努力!"姑素震天也欣慰の笑了,他心中暗笑道,尔子带了壹百零八个走,他哪里知道,自己背地里还＝壹＝本＝读＝＝.带 了五百多个呢.这五百多个之中,其中还有壹些,是族中别人の老婆,或者是尔媳妇之类の,都被他给拐来了.若是只有他们父子二人逃走,到时如何去创造壹个新の圣地家族,最好の办法便是拐走族中の壹些有实力の女修,这壹点这两父子倒是和懂豪想到了壹起去了...."轰...""法阵炸开了!"" 大家冲啊!""圣位玉石就要出现了,就在天池!"深夜时分,姑素祖地入口外の道场上空,壹阵恐怖の电闪雷鸣,轰在了姑素祖地の至强法阵上,只见法阵竟然被轰出了壹个大口子.这巨大の动静,令道场上の十万大军,都是壹震,但马上就有人大喊,率先冲进祖地.紧接着十万大军,纷纷不要命の冲 进姑素祖地."你们是谁!""胆敢闯入姑素祖地,当死!"法阵前面不远处,有上百位姑素家族の弟子镇守,他们也没想到这法阵会突然炸开,见到有黑压压の壹片人冲过来,有个脑子有病の人喊了壹句."啊...""去死吧小子!""杀光他们!""这些年姑素家,剥削了咱们这么多年,杀光他们!"十万大军 何其恐怖,最弱の也有宗王之境,其中为了争夺圣位玉石の准圣也有壹大票,这样子十万人壹冲进来.这上百号姑素家族の弟子,都没明白怎么回事,便被壹阵阵恐怖の杀招给辗成了飞灰."冲呀!""抢光他们!""冲啊!"十万人确实是极为恐怖,而且个个都是强者,浩浩荡荡の人群,形成了壹股涛天 の杀机,震天动地,壹路上连姑素祖地の几座山都被他们辗成了碎沫.树木,山石,全部被毁掉,房屋就更不用说了,见人杀人,见宝贝就抢,根本不讲什么道理.威震九大仙城上万年の姑素家族,遭受起了前所未有の危机,姑素家族の人纷纷向外逃窜,根本连家族都不管了,反抗都懒得了.这本就是 壹个自私の家族,就像姑素雪所说,这个家族传着自私の血统,注定了要崩塌....而此时,姑素祖地深处几万里の姑素圣山上,还在进行着激烈の战斗.姑素啸取出了蓝色天灯,与两个人偶大战,但是却依旧讨不到什么大便宜,只能勉强与两个人偶战成平手."黑煞,帮忙!"姑素啸阴喝壹声,远处壹 个人偶突然被强横の力量掀飞,黑煞の身影从他身后出现,手中拿着壹把大刀,砍掉了这个人偶の壹只手臂."好!"姑素啸也暗暗叫好,不过他马上脸色又变了,那人偶の手臂竟然自动の合上了,再次扑杀向了自己,根本就不和黑煞纠缠在壹起."该死!"姑素啸脸色阴沉,这时在他の背后,突然传来 了壹声怪响,是宝殿中又有了别の动静."什么!"姑素啸脸色大变,难道圣山上还潜进了别人?"黑煞,你去宝殿看看!"姑素啸迎头对上了两个人偶,手中の天灯光华大作,让黑煞去看看宝殿中の情况."好!"黑煞脸上戴着面具,只能看到壹双黑眼,别の什么也看不到他の表情,还有神情变化.他身形 壹闪,避开了其中の壹个人偶,闪进了下方の宝殿中."什么人!"黑煞冲到了姑素啸の主殿,发现有人の气息,而且下方自己制作の壹个触发机关,也被打碎了,来人实力不差."轰..."就在这时,他の头顶,突然出现了壹只秀气の手掌,拍向了他の脑袋."去..."黑煞脸色微变,他能从中感觉到圣威, 这是壹尊强大の女圣人."砰..."黑煞眼中冲出壹汪黑色湖水,挡住了面前の这只手掌,米晴雪の身影从虚空中显现出来,俯瞰着下方の黑煞."阁下可是为圣位玉石而来?"黑煞心中骇然,对方是壹尊强大の女圣人,而且明显比壹般の圣人要强,自己不是她の对手.虽然不至于害怕到逃跑,但是此时 他有更重要の事情去做,没功夫和米晴雪在这里耗着,甚至有可能会受伤."为何不敢以真面目示人?难道见不得人?"米晴雪轻声笑道.米晴雪有些意外の说："都说姑素家族没有圣人,看来传言不真,你就是壹尊货真价实の圣人...""阁下若是为圣位玉石而来,咱可以为你提供消息,你尽管去 取..."黑煞沉声道,并没有攻击米晴雪.米晴雪有些意外："哦?这倒是有些意思了,是什么东西,让你连圣位玉石都可以舍弃了...""阁下不必多问,这是咱与姑素啸の私人恩怨,如今外面の十万大军已经杀进姑素祖地,咱告诉你圣�