练习_平面向量基本定理-优质公开课-人教A版必修4精品
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
人教版高中数学必修4(A版) 《平面向量基本定理》课件
b
a
O
B A
b
O
a
与 b 反向
夹角的范围：0 0 ,180 0
a
90 与 垂直， 记作 a b b
A
例2:如图，等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C
'
C
注意:同起点
120
A
0
60
B
1、若e1，是表示平面内所有向量的一组基底， e2 则下面的四组向量中不能作为基底的是
a
B
向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
AOB OB b ,则
B
b
叫做向量 特别的： a
O
a和
b
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
B
a
0
与b
b
B
A
同向
a
180
一、复习旧知，以旧悟新:
（1）求两向量之和的方法是：
（2）向量 b与 a(a 0)共线，则________________
______
当且仅当有唯一一个实数，使b a
二、揭示定理形成, 激发追求新知
设置疑问 导入课题
问题1：给定一个非零向量
能写出什么样的向量？
, e 做线性运算，你
2.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋ (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
3.如图，在ABC中， AC, AB的夹角与CA, AB的夹角的关系为
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的练习题
9 设 a，是两个不同的向量，已 b
知 AB ＝ 2 a＋ k b， ＝ a＋ 3 b CB k。 8
CD ＝ 2 a－ b，若 A ， B ， D 三点共线，求实数
10 平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别为 DC 、 BC 的中点， 已知 AM ＝ c， ＝ d，用 c， 表示 AB ， 。 AN d AD AB ＝ 2 3
3 如图，已知 AM ＝ AB ， AN ＝ AC ，求证：MN ＝ BC 3 3 1 3 4 △ ABC 中， ＝ AB ， DE ∥ BC , 与边 AC 相交于 E ,△ ABC AD 4
的中线 AM 与 DE 相交于 N ，设 AB ＝ a， ＝ b，用 a， 表示 DN 。 AC b
A
M N
y B
A
o x
28 .如图 AOE 和 BOE 都是边长为 1的等边 三角形，延长 OB 到 C ，使 | BC | t ( t 0 ).
y A
连 AC 交 BE 于 D . （1）用 t 表示 OC 的坐标 ; . （ 2）求 OD 和 EC 所成的角的大小 . .
O
E
x
D
B
C
29 .已知四边形 ABCD ， AB | | AD | ， | | BC | | CD | .试用向量方法证明它的 对角线互相垂直 30 .如图，已知； 两条
3 , 5 , 求 A 1 , B 1 , C 1
2 ,3 , 3 , 7 , 4 , 5
ABCD ， AB ， AD 边长分别为 1， 2 0
24 .已知平行四边形
A 60 ，求 AB CD AC DB AD BC
25 .已知 O 0， ， A 1， ， B 3， ， C 在线段 OB 上，向量 0 2 5 63 105 OA BA AC 与 OB 垂直，求 C 。 ， 34 34
人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
2015届高考数学一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示练习 新人教A版必修4
必修Ⅳ－07 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个 ，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使 ，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .2．向量的夹角与垂直：已知两个 a b 和，作,O A aO B b A O B θ==∠=,则叫做向量a b与的 .向量a b 与的夹角的范围是 .当0θ=时，向量a b 与 ，当θπ=时，向量a b 与 ，当2πθ=时，向量a b 与 .3．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 .4．向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴同方向的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使得 ，我们把有序实数对(,)x y 叫做a 的坐标，记作 ， 叫做向量的坐标表示.5．向量的坐标运算：已知1122(,),(,)a x y b x y ==则a b += ，a b -= ；若实数λ，则a λ= .一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标，即：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB = .6．向量相等的坐标关系：若1122(,),(,)a x y b x y ==且a b =，则有 .7．向量共线的坐标表示：若1122(,),(,)a x y b x y ==，且0b ≠，那么当且仅当 时，向量a b 与共线，即12210a b x y x y ⇔-=.8．设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ===只要证明向量 （答案不唯一），即可判断,,A B C 三点共线.例1．设12,e e 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）A 1212e e e e +-和B 1221326e e e e --和4C 122122e e e e ++和D 212e e e +和例2．（2008，安徽）若(2,4),(1,3),AB AC ==则BC = （ ）A (1,1)B (1,1)--C (3,7)D (3,7)--例7．设O 为ABC ∆内一点，且满足0AO BO CO ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心例3．（2004，浙江）已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且a b ，则tan α= . 例4．若向量(1,2),(,1),2,2,a b x u a b v a b u v ===+=-且，则x = .例5．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，求实数k 的值.例6．设向量(2,3),(1,2),(9,4)a b c =-==，若c ma nb =+，则求实数,m n 的值.。
2021秋高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量根本定理A 级 根底稳固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，那么AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，那么( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.答案：D5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A 二、填空题6．假设OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，那么OP →＝________．解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→.所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：11＋λa ＋λ1＋λb 7．|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，那么BA →＝a －b .由，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°.答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为向量，那么e 1＝________，e 2＝________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9．如下图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如下图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，那么OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如下图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.解：DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b .BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →＝b ＋12a －a ＝b －12a .如下图，连接DB ，延长CG ，交BD 于点O ，点G 是△CBD 的重心，故CG →＝CE →＋EG →＝12CB →＋EG →＝12CB →＋13ED →＝－12b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－13a －13b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④假设存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②解析：由平面向量根本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP →＝14BA →，假设OP →＝xOA →＋yOB →，那么x －y ＝________．解析：因为OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋14BA →＝OB →＋14(BO →＋OA →)＝14OA →＋34OB →，所以x ＝14，y ＝34.所以x －y ＝－12.答案：－123．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：假设a ，b 共线，那么存在λ∈R ，使a ＝λb ， 那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件2.3.1平面向量基本定理
解： 1→ 1 1→ 1 1 5 → → → OM＝OB＋BM＝b＋3BC＝b＋3· 2BA＝b＋6(a－b)＝6a＋6b， → → → → 1→ 1→ 1 1→ 2→ 2 ON＝OC＋CN＝OC＋3CD＝2OD＋3· 2OD＝3OD＝3(a＋b)＝ 2 2 3a＋3b， 1 5 1 1→ 1 → → → → → MN ＝ MC ＋ CN ＝ ( OC － OM ) ＋ 3 CD ＝ 2 (a ＋ b) － 6a＋6b ＋ 3
【答案】－1
→ → 4．在等边△ABC 中，向量AB与BC的夹角为________．
【答案】120°
要点阐释 1．平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一 组基底，则所给的向量只能唯一地被这组基底表示出来． 2．因为零向量与任意向量共线，所以零向量不会在基底中出 现． 3．在确定两个向量的夹角时，应把两个向量放在同一起点， → → 否则容易出错．如△ABC 中，向量AB与BC的夹角不是角 B，而是 角 B 的补角．
)
【答案】C
(
3 1 2．设 e1，e2 为已知向量， (2x－e1)＋4e2－8x＝0，则 x 等于 4 ) 1 A．－4e2＋ e1 4 1 B．－4e2－ e1 4 1 C．4e2＋ e1 4 1 D．4e2－ e1 4
【答案】D
→ → → 3．在△ABC 中，若BC＝λ1AB＋λ2AC，则 λ1λ2＝________.
人教A版数学必修四2.3.1《平面向量基本定理》授课课件
a
e1
e2
A
O
NB
a OM ON 1e1 2e2
自主探究
确定一对不共线向量 e1，e2 后，是否平面内
任意一个向量都可以用1e1 2 e2来表示呢 ？
（请作图验证你的猜想）
e1 e2
互动辨析
确定一对不共线向量e，e 后，是否平面内
1
2
任意一个向量都可以用 e e 来表示呢？
11
22
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
A Bb O
180
A
b
O
a
A
90
辨析练习:如图，等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
注意:同起点
B
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底 .
抢答：下列说法是否正确？
1.在平面内只有一对基底. ×
2.在平面内有无数对基底. √
3.平面内不共线的任意一对向量,都可作为
基底.
√
4.基底给定时，分解形式唯一.√
自主探究
给定平面内任意两个不共线向量e1，e2， 请你作出向量3e1＋2e2和e1－2e2.
e1 e2
设 e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量， a 是这一平面内的任一向量。请你将 a 沿着e1、e2 的方向进行分解。并思考：
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P
B M
OA， OB .的 分 解 式 为
在l上
OP 1 t OA tOB
并且，满足上式的点 P一 定
O
A
l
证明：设点P在直线 l 上，则由平行向量基本定
理知，存在实数t，使
AP t AB t OB OA
所以O P O A AP O A tO B tO A
A
1 OM OA OB 2
线段这是AB的中点的向量表达式
练习.如图：在
ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上
1 且BN BD，设AB e1， AD e 2 3 1用基底 e1， e 2 表示BN 、 MC
BD e 1解： BN
A M 2求证：M、N、C三点共线。
2
D
C
N
B
e1
2证明：
1 1 BD e 2 e1 3 3 1 1 MC MB BC AB AD e1 e 2 2 2
1 1 1 1 MN BN BM e 2 e1 e1 e1 e 2 3 2M、N、C三点共线。
练习：
已 知A、B是 直 线 l上 任 意 两 点 ， O是l外 一 点 （ 如 图 ） 求证：对直线 l上 任 一 点 P， 存在实数 t， 使OP关 于 基 底
1 t O A tO B
即P在l上
设点P满足等式O P 1 t O A tO B， 则AP t AB ，
OP 1 t OA tOB
*
P
B M
*叫做直线 向量等式 l的
向量参数方程式，其中实数t O l 叫做参变数，简称参数 1 在*中，令t ，点M是AB 的中点，则 2