2020-2021学年四川省双流中学高一下期中数学试卷 答案和解析

【最新】四川省双流中学高一下期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量)1,(x a =，)1,1(-=b ，若b a //，则=x （ ）A ． 1-B ． 1C ． 1±D ．0 2．有一种细胞每半小时分裂一次，由原来的一个分裂成两个，那么一个这种细胞经过3小时分裂成的细胞数为（ ）A ． 32B ． 64C ． 128D ．254 3．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期为（ ） A ．π2 B ． π C ． 2πD ．π4 4．已知21)4sin(=-απ，则=+)4cos(απ（ ） A ．23 B ． 21- C ． 23- D ．215．已知函数2ln )(-+=x x x f ，则)(x f 的零点所在区间为（ ）A ．）（1,0B ． ）（2,1C ．）（3,2D ．）（4,3 6．已知等差数列{}n a 中，且10124=+a a ，则前15项和=15S （ ）A ．15B ．20C ．21D ．75 7．已知ABC ∆中，5,4,3===c b a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A ．5B ．7C ．9D ．10 8．如右图，在圆O 中，已知弦长AB=2，则 =⋅AB AO （ ）A ．1B ． 2C ． 4D ．8 9．函数2cos 4sin 2+-=x x y 的最大值是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．510．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且89831001=+a a a a ，则=+++10022212log log log a a a （ ）A ．10B ．50C ．100D ．1000 11．如图，在正方形ABCD 中，2=AB ，点FE 、分别在边DC AB 、上，M 为AD 的中点，且0=⋅MF ME ，则MEF ∆的面积的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1 B ．[]2,1 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 12．已知函数12)(+=x x f ，点O 为坐标原点，点)())(,(*∈N n n f n A n ，向量)1,0(=j ，n θ是向量n OA 与j 的夹角，则=++++20162016112211sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ （ ） A ．10082015 B ．20162017 C ．20172016 D ．20174032二、填空题 13．在之间插入两个数，使之成为一个等差数列，则其公差为_______.14．已知，，且与不共线，若，则_______.15．已知中，若，则_______.16．已知函数，有下列四个命题：其中正确命题的序号为_____．（填上所有正确命题的序号）①若，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位；②若，则函数的一个对称中心为；③若的一条对称轴方程为，则；④若方程的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为.三、解答题17．已知ABC ∆中，1312cos =A ，53cos =B ，求C sin 的值.18．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，且92=a ，814=a . （I ）求数列{}n a 的通项公式na ；（II ）若n n a b 3log =，求证：数列{}n b 是等差数列.19．如右图，在ABC ∆中，设a AB =，b AC =，点D 在BC 边上.（I ）若D 为BC 边中点，求证：)(21b a AD +=； （II ）若b a AD μλ+=，求证：1=+μλ.20．已知向量)cos ,(sin ),3,1(x x n m ==，设函数n m x f ⋅=)(. （I ）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（II ）设锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,31cos ,6==B c 且3)(=C f ，求b .21．如图，某观测站在港口A 的南偏西方向的处，测得一船在距观测站海里的B 处，正沿着从港口出发的一条南偏东的航线上向港口A 开去，当船走了海里到达D 处，此时观测站又测得CD 等于海里，问此时船离港口A 处还有多远？、22．已知函数241)(+=x x f .（I ）求证：21)1()(=-+x f x f ； （II ）设数列{}n a 满足121(0)()()()(1),n n a f f f f f nnn-=+++++求n a ； （III ）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若()*n n S a n N λ≥∈恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：因为b a //，所以10,1x x +=∴=-，故选A. 考点：向量共线的坐标表示. 2．B 【解析】试题分析：细胞分裂后细胞的个数y 与分裂的次数x 满足函数2xy =，这种细胞经过3小时分裂6次，所以经过3小时分裂成的细胞数为64，故选B. 考点：指数函数的应用. 3．B 【解析】试题分析：函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，所以其最小正周期为π，故选B. 考点：二倍角公式及正弦函数的性质. 4．D 【解析】 试题分析：1cos()cos ()sin()42442ππππααα⎡⎤+=--=-=⎢⎥⎣⎦，故选D. 考点：三角函数的诱导公式. 5．B 【解析】试题分析：因为()()110,2ln 20,f f =-<=>即()()120,f f ⋅<所以)(x f 的零点所在区间为）（2,1，故选B. 考点：二分法判断函数零点所在的区间. 6．D 【解析】试题分析：因为11541210a a a a +=+=，所以前15项和()1151515752a a S +==，故选D.考点：等差数列的性质及前n 和公式. 7．A 【解析】试题分析：因为5,4,3===c b a ，所以ABC ∆是以C 为直角的直角三角形，根据合比定理可知，故选A.考点：勾股定理与合比定理. 8．B 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由于()222224AB OB OAOB OA OA OB =-=+-⋅=,所以2222OA OBOA OB +⋅=-,()2AO AB AO OB OA AO OB AO OA OA OB AO⋅=⋅-=⋅-⋅=-⋅+222222OA OBOA +=-+=,故选B.考点：向量的线性运算与数量积运算. 9．C 【解析】试题分析：()222sin 4cos 2cos 4cos 3cos 27y x x x x x =-+=--+=-++，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则()()227y f t t ==-++，其对称轴为2t =-，且开口向下，所以当()f t 再[]1,1-上单调递减，所以当1t =时，()()max 16f t f =-=，故选C. 考点：二次函数的最值. 10．C 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知1100398a a a a =，所以11004a a =，根据对数的运算法则可知()()50212221002123989910021100log log log log log a a a a a a a a a a a +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅()2110050log a a =⋅250log 4100=⨯=，故选C.考点：等比数列的性质与对数运算.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的性质与对数运算，属于基础题.本题解答的关键是根据等比数列中“当序号,,,m n p q 满足m n p q +=+时，相应的项满足m n p q a a a a ⋅=⋅”，由条件89831001=+a a a a 得到11004a a =，同时结合对数的运算把21222100log log log a a a +++转化为()5021100log a a ⋅进而得其值.11．A 【解析】试题分析：以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.因为2=AB ，M 为AD 的中点，点F E 、分别在边DC AB 、上，所以()()()()0,1,E ,0,F ,202,02M a b a b <≤<≤，则(),1,ME a =-(),1MF b =，因为0=⋅MF ME ，所以1ab =，1122MEF S ME MF∆====1==≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，由函数的单调性可知当2a =，DEF S ∆取得最大值54，所以MEF ∆的面积的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1，故选A.考点：利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在求函数最值中的应用，考查了平面向量数量积的应用，属于中档题.本题中因为给出了一个正方形，且涉及到的点都在正方形的边上，所以建立平面直角坐标系，利用坐标来运算，设出,,M E F 三点的坐标，根据条件建立函数关系，最后利用基本不等式及其单调性求出MEF ∆面积的取值范围，注意不要忽略函数的定义域，否则将求不出面积的最大值. 12．D 【解析】试题分析：因为点)())(,(*∈N n n f n A n 在函数12)(+=x x f 的图象上，所以2(,)1n A n n +，因为向量)1,0(=j ，所以2cos n n nj OA OAn θ⋅===，由平方关系可得1sin n n n θ+==，所以()cos 2112sin 11n n n n n n θθ⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，所以20161211212016cos cos cos cos 1111121sin sin sin sin 23420162017θθθθθθθθ⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎝⎭,故选D.考点：数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和，涉及到平面向量的夹角的余弦值，同角三角函数的基本关系式，考查了数列的裂项法求和，属于中档题.本题解答的关键是通过向量数量积的表示出cos n θ，利用同角三角函数的基本关系得到sin n θ，从而得到数列cos sin n n θθ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项法进行求和，最终得到所求值. 13．13【解析】试题分析：由题意可知141,2a a ==，所以41133a a d -==. 考点：等差数列的通项公式. 14．34±【解析】 试题分析：因为，所以222222)()0a kb a kb a k b a k b +⋅-=-=-=（，又因为，，所以239160,.4k k -=∴=±考点：向量的数量积运算. 15．3π 【解析】 试题分析：由可知222b c a bc +-=，根据余弦定理可知2221cos ,22b c a A bc +-==又因为()0,,3A A ππ∈∴=.考点：余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.利用正余弦定理解三角形是常见题型，解答的关键是根据题目条件灵活选择合适的定理，得其内角的三角函数值，根据三角形的性质求得所求角.一般选择定理时，要看给出的条件中边的次数，若各项都有边的一次式优先考虑正弦定理，若涉及三边的二次项、两边的乘积考虑余弦定理. 16．①③ 【解析】 试题分析：①若，则()sin 23cos 22sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，所以①正确；②若，则函数()222sin 24y f x sin x cos x x π⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，24fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数的图象不关于点对称，所以②错误；③()22()sin 2cos 2sin 2f x a x b x a b x ϕ=+=++，其中tan baϕ=，所以2222sin .,sin 1844f a b a b πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=±+∴+=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此4k πϕπ=+，所以tan 1baϕ==，因此a b =；所以③正确；④由于()22sin 2cos 2sin 2a x b x a b x ϕ+=++，所以若方程的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则0m =，公差为22T d π==,所以④错误，因此正确的命题的序号为①③. 考点：正弦函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题.命题①考查了三角函数的图象变换，关键是根据和角公式把()f x 化成“一角一名一次式”的形式；命题②考查了正弦函数的性质，关键是把握好对称中心的性质——函数的零点；命题③考查了正弦函数的对称轴特征——函数的最值点；命题④考查了正弦函数图象的特征，结合图象即可发现其正确性. 17．6365. 【解析】试题分析：根据同角三角函数的基本关系式求得sin ,sin A B ，利用和角公式求得()sin A B +,由三角形的内角和定理及诱导公式可得sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+. 试题解析：），（、π0∈B A ，且1312cos =A ，53cos =B54cos 1sin ,135cos 1sin 22=-==-=∴B B A A又B A B A B A B A C C B A sin cos cos sin )sin()](sin[sin ,+=+=+-=∴=++ππ656354131253135=⨯+⨯=考点：两角和的正弦公式及三角函数的诱导公式.18．（I ）3nn a =；（II ）证明见解析.【解析】试题分析：（I ）由于92=a ，814=a ，根据等比数列的通项公式可得公比q ，由n mn m a a q -=⋅即可得到数列{}n a 的通项公式3nn a =；（II ）根据对数的运算性质可得3log n n b a n ==，利用等差数列的定义证明1n n b b +-是常数即可.试题解析：（I ） 求数列{}n a 的公比为q ，92=a ，814=a .则9981242===a a q ， 又3,0,0=∴>∴>q q a n ，故通项公式*--∈=⨯==N n qa a n n n n ，339222（II ） 证明：由（I ） 知n n a 3=，n a b nn n ===∴3log log 33，1)1(1=-+=-∴+n n b b n n （常数），*∈N n ，故数列{}n b 是一个公差等于1的等差数列.考点：等比数列的通项公式及等差数列的定义. 19．（I ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）根据向量加法的三角形法则可得()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-,整理即得要证明的结论；（II ）因为点D 在BC 边上，所以//BD BC ，根据共线向量定理可得存在实数t ，使得)(a b t BC t BD -==，在利用三角形法则可得AD AB BD =+，整理可得1)AD t a tb =-+（，得证. 试题解析：（I ）a AB = ，b AC =，a b AB AC BC -=-=∴ 又D 为BC 边中点，)(2121a b BC BD -==∴， )(21)(21b a a b a BD AB AD +=-+=+=∴（II ） 点D 在BC 边上，，BC BD //∴则存在实数t ，使得)(a b t BC t BD -==， 则b t a t a b t a BD AB AD +-=-+=+=)1)(（若b a AD μλ+=，则1)1(,,1=+-=+∴=-=t t t t μλμλ 考点：平面向量的线性运算及共线向量定理. 20．（I ）2π，最大值为2；（II ）83. 【解析】试题分析：（I ）根据向量数量积的坐标表示可得）3sin(2cos 3sin )(π+=+=⋅=x x x n m x f ，由正弦函数的性质可得其最小正周期和最大值；（II ）由3)(=C f 可得3C π=，由同角三角函数的基本关系式可得sin ,B 利用正弦定理即可求得b 的值.试题解析：（I ）由已知得）3sin(2cos 3sin )(π+=+=⋅=x x x n m x f 所以()f x 最小正周期π2=T ，最大值为2. （II ）由23)3sin(3)3sin(2)(=+⇒=+=ππC C C f ，3,3233433,0πππππππ=∴=+∴<+<∴<<C C C C ，又322sin 31cos =⇒=B B ，由正弦定理得38233226sin sin =⨯==CB c b考点：正弦函数的性质及已知三角函数值求解和正弦定理. 21．15海里. 【解析】本题主要考查了解三角新的实际应用，考查余弦定理、正弦定理的运用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案先求出cos ∠BDC ，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD 中，由正弦定理即可求得AD ． 解：由题，设， 1分在中，由余弦定理得. 4分∴，7分在中，由正弦定理得，∴， 11分 即船离港口A 处还有海里. 12分22．（I ）见解析；（II ）14n n a +=；（III ）(]1,∞-. 【解析】试题分析：（I ）根据指数的运算性质把11(1)42x f x --=+化成4424x x +⋅整理即得要证的结论；（II ）把n a 的表达式倒过来写，两式相加，根据（I ）的结论，即得14n n a +=；（III ）利用等差数列的前n 项和公式求得n S ，对不等式()*n n S a n Nλ≥∈分离参数可得(3)2(1)n n n λ+≤+，研究右边函数的单调性求得求最小值，即得实数λ的取值范围.试题解析：（I ）证明：,241)(+=xx f 21)42(2424244241241241)1()(1=++=⋅+++=+++=-+∴-x x x x x x x x f x f（II ）由（I ）知21)1()(=-+x f x f故21)2()2()1()1()1()0(==-+=-+=+ n n f n f n n f n f f f 121(0)()()()(1),n n a f f f f f n n n -=+++++ 又)0()2()1()1(f nn f n n f f a n ++-+-+= ，两式相加得)1(21)]0()1([)]2()2([)]1()1([)]1()0([2+=+++-++-+++=n f f n n f n f n n f n f f f a n *∈+=∴N n n a n ,41（III ）由（II ）知*∈+=N n n a n ,41，)(,411*+∈=-∴N n a a n n ∴数列{}n a 是一个等差数列，8)3(2)4121(2)(1+=++=+=∴n n n n a a n S n n ]112)1[(21)1(2)3(418)3(++-+=++≤⇒+≥+⇒≥n n n n n n n n a S n n λλλ 又 112)1(++-+n n 在*∈N n 上为递增得函数，∴当1=n 时2]112)1[(min =++-+n n 则()*n n S a n Nλ≥∈恒成立，实数λ的取值范围为(]1,∞-.考点：指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式及数列的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式及数列的最值问题，属于中档题.本题第一问利用指数的运算性质证得21)1()(=-+x f x f 是本题解得前提，根据（1）的结论及其形式特点对n a 进行倒序相加即可求得其通项公式n a ；数列中的恒成立问题，本质上还是考查数列的函数特性，在分离参数的基础上，根据对应函数的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.。