【4】17.1勾股定理导学案【基础】

勾股定理（基础）【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．【思路点拨】利用勾股定理222+=来求未知边长．a b c【答案与解析】解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，222a b c+=，a＝5，b＝12，所以22222c a b=+=+=+=．所以c＝13．51225144169（2）因为△ABC中，∠C＝90°，222+=，c＝26，b＝24，a b c所以222222624676576100=-=-=-=．所以a＝10．a c b【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c=，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【答案】解：（1）∵∠C＝90°，b＝2，c＝3，∴a==；（2）设3a k =，5c k =．∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、勾股定理的证明2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ， 试说明222AN BN AC -=．【答案与解析】解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，所以2222AN BN AM BM -=-． 因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=， 所以222AN BN AC -=．【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．3、作长为、、的线段.【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作.【答案与解析】作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt，斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可.类型四、利用勾股定理解决实际问题4、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径DC长为16cm．则在Rt△BCD中，222=+，BD DC BC所以20BD=(cm)．答：筷子最长不超过20cm，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴22222AB BC AC=+=+=．512169AB==(m)．∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)．∴旗杆折断前的高度为18m．5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D；解：设AB＝x，则AF＝x，∵△ABE折叠后的图形为△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，()222x=.+=+，解得6x x84【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（ ）A.108B.90C.180D.542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．12米 B ．10米 C ．8米 D ．6米 4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( ) A.8B.4C.6D.无法计算5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算二.填空题7.在直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是_______．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13. 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14. 已知在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE的长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542⨯⨯=. 2.【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边. 3.【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米.4.【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋. 5.【答案】B ；【解析】AD ＝8，BD 6=. 6.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB +==. 二.填空题7.=8.【答案】5； 9.【答案】2；5=米，少走了7－5＝2米. 10.【答案】10；10=.11．=12.【答案】4；【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .三.解答题13.【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形， 又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形， 于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18， 设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=， 解得x ＝13，即BC 的长为13. 14.【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3， 易证△ACD ≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90° 设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x + ∵222AB AC BC =+ ∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6. 15．【解析】解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，222AB AE BE ＋＝， ∴()22239x x +-=．解得5x =．。