17.1.1勾股定理导学案
人教版数学八年级下册17.1.1《勾股定理》教案
1.教学重点
（1）勾股定理的内容及其证明方法：这是本节课的核心知识点，教师需要引导学生掌握勾股定理的表达形式，并理解不同证明方法背后的数学思想。
-举例：通过面积法、割补法、代数法等不同证明方法，让学生从多角度理解勾股定理，加深记忆。
（2）勾股定理在实际问题中的应用：培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，学生在分享讨论成果时，展现出了对勾股定理不同应用场景的深入思考，这让我感到欣慰。但同时，我也意识到，对于一些理解能力较弱的学生，我们还需要提供更多的辅导和个别指导，确保他们能够跟上课程的进度。
在总结回顾环节，我强调了勾股定理在现实生活中的重要性，希望学生们能够将所学知识运用到实际中。但我也反思到，可能需要设计更多的实际案例，让学生在解决具体问题的过程中，进一步巩固对勾股定理的理解。
（4）勾股数的性质：理解勾股数的性质，并能灵活运用。
-突破方法：通过列举具体的勾股数，让学生观察、分析，总结出勾股数的性质，并加以应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的斜边与地面形成的直角三角形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理优秀教学案例
2.自主探究：让学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。
3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得，培养合作精神。
4.巩固练习：设计有针对性的练习题，让学生在实践中掌握勾股定理。
5.课堂讨论：组织学生分享自己的解题心得，丰富数学思维。
3.引导学生认识数学在生活中的应用，提高他们运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生团队协作、沟通交流的能力，增强他们的社会责任感。
三、教学重点与难点
1.教学重点：勾股定理的定义及其证明方法，勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点：勾股定理的推导过程，运用勾股定理解决复杂直角三角形问题。
四、教学过程
2.生活实例：展示一些生活中常见的直角三角形现象，如建筑物、家具等，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高他们运用数学解决实际问题的意识。
3.提问引导：教师提问：“你们知道什么是勾股定理吗？”“勾股定理在我国古代是如何被发现的？”引发学生的思考和讨论。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：引导学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。例如，可以让学生分组讨论，每组设计一个实验来验证勾股定理。
2.自主探究，培养能力：在讲授新知环节，我引导学生通过观察、实验、推理等方法，自主发现并证明勾股定理。这种自主探究的学习方式，培养了学生的数学思维能力，提高了他们的问题解决能力。
3.小组合作，增强合作精神：在学生小组讨论环节，我将学生分成若干小组，让他们选择一个证明方法进行讨论。这种小组合作的方式，既能够提高学生的团队合作能力，又能够促进学生之间的沟通交流。
1.激发学生兴趣：通过故事、图片等素材，引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们学习数学的兴趣。
第十七章勾股定理导学案
。 定理，在西方叫
它是“人类最伟大的十大科学发现之一” 。 二、勾股定理的证明 1.“赵爽弦图” c a b 左图中，分别用不同方法表示大正方形的面积是： ⑴ ⑵ 因此可以得到： = 写出化简过程：
探 究 学 习 生 生 合 作
2.类比“赵爽弦图”的证明方法，根据左图，请你写出 证明过程：
3.“总统证法” ： （提示：根据梯形面积的不同表示方法）
疑 难 解 惑 师 生 合 作
例 2.如图，在△ABC 中，∠A=45°，AC= 2 ,AB= 3 +1， 求：边 BC 的长。
练习： 如图， 在△ABC 中， ∠ACB = 900， CD 是高， 若 AB=13cm， AC = 5cm，求 CD 的长；
例 3. △ABC 中,周长是 24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的 面积是多少?
自 主 提 升 真 情 体 验
四、课堂小结： 1.这节课你学到了什么？ 2.你还有什么收获或疑惑？
图1
五、适度拓展： 如图（1） ，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延 长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法 延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图（2） ） ；„„以此下去， 则正方形 A4B4C4D4 的面积第 2 页
三、勾股定理的运用： 例 1. 如图，在 Rt△ABC 中,BC=24,AC=7,求 AB 的长.
练习 1：课本 P24.练习 1，2 练习 2： 1.在 Rt△ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b, (1)已知∠C=90°,a=3,b=4,则 c=______; (2)已知∠B=90°,a=3,b=4,则 c=_____; 2.已知 Rt△ABC 中，a=3,b=4,则 c=_____________;
勾股定理 Microsoft Word 文档 导学案
课 题 17.1.1 勾 股 定 理
主备人： 于泽建
教 法
审核人：
合 作 探 究
审批人：
年级：
组别：
一、学习目标: 1、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、提高学生发现问题、解决问题和总结规律的能力。 3、让学生在学习中体会看似平淡无奇的现象有事却蕴含着深刻的道理。 教学重点：勾股定理的具体内容及其的几个变形形式。 教学难点：勾股定理的推导方法及应用。 二、知识回顾 1、直角三角形的面积公式是什么？ 2、设三角形三边分别为 a、b、c，则三角形三边关系如何？ 三、导学内容 （一）自主学习（学生自学教材完成） 利用几何图形的性质探索勾股定理： 剪 4 个与图 1 完全相同的直角三角形，再将它们拼成如图 2 所示的图形。 大正方形的面积可以表示为： 又可以表示为 ∵两种方法都是表示同一个图形的面积 ∴ 即 ∴
2
2、勾股定理的表达形式 ∵△ABC 是直角三角形 （或者∵∠C＝90°或者∵BC⊥AC） 也就是说由上述三个条件之一，都可以得出下面的结论。 ∴AB ＝ AC + BC
2 2 2 2
3、勾股定理中 AB ＝ AC + BC 的变形 （1）AC = AB — BC （2）BC = AB — AC （3）AB= ； 。 （4）AC= （5）BC=
3、在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为
。
4、在一个直角三角形中，若斜边长为 17cm，一条直角边的长为 5cm，则另一条直角边的 长为 。
5、如果一个直角三角形的两条直角边长分别是 3 厘米和 4 厘米，那么这个三角形的斜边 长为 ，周长为 。 五、课后反思
6、已知△ABC 中，∠B＝90°， AC＝25cm，BC＝24cm，求 AB 的长.
《勾股定理》第一课时导学案
17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案学习目标：知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明学习难点：勾股定理的证明学习过程：活动一情境导入古韵今风1、图中两个小正方形分别为A、B2直角三角形三边长度之间的关系：活动二追溯历史解密真相观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)（1）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流一下。
（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么活动三推陈出新借古鼎新已知：如图，在边长为c的正方形中，有四个两直角边分别为a、b，斜边为c全等的直角三角形，求证：222a b c+=（提示：大正小正＝SSSRt+∆4）证明：A B举一反三：勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 活动五 取其精华 古为今用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°,（1）若a = 2，b = 3, 则c = （2）若a = 1，c = 2, 则b = （3）若c = 5，b = 4, 则a = （4）若a =16，c = 20, 则b = 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、在Rt △ABC 中，∠C = 90°∠A = 30°AB = 4，则BC = _______AC = _______ 6、已知：如图，等边△ A B C 的边长是6 cm ，（1）求等边△ A B C 的高C D （2）求△ A B Cx 86135yDBA。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
八年级数学下册17.1勾股定理教学设计
3.拓展作业：
（1）查阅资料，了解勾股定理在古今中外的应用，如建筑、天文学等领域。
（2）探讨勾股定理在解决其他数学问题中的应用，如解三角形、计算面积等。
4.实践作业：
（1）运用勾股定理，设计并制作一个直角三角形的模型，标注三边的长度。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，确保学习效果，特布置以下作业：
1.基础作业：
（1）完成课本第17.1节后的练习题1、2、3。
（2）运用勾股定理，解决以下实际问题：某直角三角形的两条直角边分别为3米和4米，求斜边的长度。
2.提高作业：
（1）证明勾股定理的另一种方法，如拼图法、归纳法等。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的表达式及其应用。
2.掌握勾股定理的证明过程，理解其背后的数学原理。
3.能够运用勾股定理解决实际问题，尤其是涉及直角三角形斜边长度计算的问题。
4.培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.引入阶段：通过实际问题引入勾股定理，激发学生兴趣。例如，可以提出一个关于直角三角形斜边长度的问题，引导学生运用已有知识尝试解决，进而引出勾股定理。
4.通过勾股定理的证明过程，引导学生掌握数学推理的基本方法，提高逻辑思维能力。
5.设计丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使其体会到数学在生活中的实际应用。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使其在数学学习过程中充满自信。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，使其在解决问题的过程中注重逻辑性和条理性。
人教版八年级数学下册17.1《勾股定理》教学设计
4.作业完成后，进行自我检查，确保答案正确。
2.勾股数的判断和应用，使学生能够灵活运用勾股数解决相关问题。
3.学生在解决实际问题时，能够将勾股定理与其他数学知识相结合，形成综合解决问题的能力。
教学设想：
1.创设情境，引入新课：通过讲述古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家发现勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，为新课的学习营造良好的氛围。
2.自主探究，合作交流：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现勾股定理。在此基础上，组织学生进行小组讨论，分享各自的发现和证明方法，培养学生的合作意识和交流能力。
2.提问引导：请学生们思考直角三角形的特点，回顾已学的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.勾股定理的概念及表述：
"勾股定理是关于直角三角形的一个基本定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。具体来说，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。"
2.勾股定理的证明：
a.利用具体的直角三角形进行演示，引导学生观察、思考、发现勾股定理。
8.融入数学文化，培养人文素养：在教学过程中，适时融入数学历史文化，让学生了解勾股定理在人类文明发展中的地位和作用，培养他们的人文素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.情境引入：通过古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家发现勾股定理的故事，引发学生对勾股定理的好奇心，激发学习兴趣。
"同学们，你们听说过古希腊数学家毕达哥拉斯吗？今天我们要学习的勾股定理，就是他在一次偶然的机会中发现的。让我们一起走进这个故事，探寻勾股定理的奥秘吧！"
"有兴趣的同学可以研究一下勾股数在三角形中的应用，以及它与三角形类型之间的关系，这将有助于你们更深入地理解勾股定理。"
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17.1 勾股定理（1）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。
）
1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？
2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
A B
C
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S 正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形
的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________ 左边和右边面积相等，
即
化简可得。
方法三：
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于
c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________
归纳：勾股定理的具体内容是 。
2
12
1
b
b b
三.随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：；
(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；
(3)三边之间的关系：
2.完成书上P69习题1、2
四.课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC=________。
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。
（已知a、b，求c）
⑵a= 。
（已知b、c，求a）
⑶b= 。
（已知a、c，求b）
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）
A、56
B、48
C、40
D、32
五.小结与反思。