13.2 多步转移概率的确定
马尔可夫分析法
马尔可夫分析法马尔可夫分析法是俄国数学家马尔可夫在1907年提出, 并由蒙特·卡罗加以发展而建立起的一种分析方法。
它主要用于分析随机事件未来发展变化的趋势, 即利用某一变量的现在状态和动向去预测该变量未来的状态及动向, 以便采取相应的对策。
1马尔可夫过程及马尔可夫链 [3]定义1设随机序列{X(n) ,n=0, 1, 2, …}的离散状态空间为E, 若对于任意m个非负整数n1,n2, …,nm(0≤n1<n2<…<nm) 和任意自然数k, 以及任意i1,i2, …,im,j∈E满足 [3]P{X(nm+k) =j|X(n1) =i1,X(n2) =i2, …,X(nm)=im}=P{X(nm+k) =j|X(nm) =im} (1) [3]则称X(n) ,n=0, 1, 2, …}为马尔可夫链。
[3]在式(1) 中, 如果nm表示现在时刻,n1,n2, …,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻, 那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im, 而与过去m-1个时刻n1,n2, …,nm-1所处的状态无关, 该特性称为马尔可夫性或无后效性。
式(1) 给出了无后效性的表达式。
[3]2齐次马尔可夫链和k步转移概率 [3]P{X(nm+k) =j|X(nm) =im},k≥1称之为马尔可夫链在n时刻的k 步转移概率, 记为Pij(n,n+k) 。
转移概率表示已知n时刻处于状态i, 经k个单位时间后处于状态j的概率。
若转移概率Pij(n,n+k) 是不依赖于n的马尔科夫链, 则称为齐次马尔可夫链。
这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关, 而与n无关。
此时,k 步转移概率可记为Pij(k) , 即 [3]Pij(k) =Pij(n,n+k) =P{X(n+k) =j|X(n) =i},k>0 (2) [3]式中,0≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=10≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=1。
第十一篇马尔可夫链
pi2 L
M M M
aj L
p1 j L
p2 j
L
记成
M P(1) P
pij
L
M
2020/6/1
9
例2 （0 1传输系统） 在如图111只传输数字 0和1的串联系统中，设每一级的传真率（输出 与输入数字相同的概率称为系统的传真率，相 反情形称为误码率）为p，误码率为q 1- p,并 设一个单位时间传输一级，X 0是第一级的输入， X n是第n级的输出（n 1).那么{X n , n 0,1, 2,L } 是一随机过程，状态空间I {0，1}，而且
7
当转移概率Pij (m, m n)只与i, j及时间间距n有关时， 把它记为Pij (n),即Pij (m, m n) Pij (n),并称此转移 概率具有平稳性。同时也称此链是齐次的或时齐的。
在马氏链为齐次的情形下，由（1.3)式定义的转移概率
Pij (n) P{X mn a j | X m ai}
0
0
q(1 p)
pq (1 p)
2020/6/1
20
例5 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研 究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集 了24小时的数据（共作97次观察）。用1表示正常状 态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：
1110010011111110011110111111001111111110001101101
称它为马氏链的初始分布。
再看马氏链在任一时刻n T1的一维分布：
P{X mn a j | Xt1 ai1 , Xt2 ai2 ,L , Xtr air , X m ai}
P{X mn a j | X m ai}
第十一章 马尔可夫链
π2
或者：
lim p (n)= p j n→∞ ij
（与i无关） i
特别地，将行向量 π =(π1,π 2 ,π 3,⋅⋅⋅,π N ) 提出来，由于 它构成了一个分布律，即 pi ≥0,且∑ pi =1 ，称它为极 限分布。
back
3．遍历性的充分性条件：
定理：对齐次马氏链 { X n , n ≥1}，状态空间 I= {a1,a2 ,⋅⋅⋅,a N } ,一步转移矩阵P(1)。 如果存在正整数m，使对任意的 ai ,a j ∈I ，都 有 pij (m)>0 ，即矩阵P(m)= (P(1))m 中无零元素， 则此链具有遍历性。且其极限分布就是方程组 π=πP(1)的满足 ∑ π i =1 的唯一解。
0.128 0.150 0.134 0.142
0.171 0.163
（3） π=(60/84，11/84，13/84)
Back
1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0 0 1/ 2
1/ 2 0
，试讨论它的遍历性。
补充例题：若顾客的购买是无记忆的。现在市场上供
应A,B,C三个不同厂家生产的50g袋装味精。 用 X n =1, X n =2, X n =3 分别表示事件“顾客第n次购买A,B,C 三厂的味精”， 则{X n} 是一个马氏链。已知顾客第一次购买三种味精的 概率依次为0.2，0.4，0.4。又知道一般顾客购买的倾 向表如下： 0.8 0.1 0.1
(1) 代表了遍历性的存在。 (2) 极限分布。 (3) 在充分条件下，也是链的平稳分布。
back
6．例题：
例1：试说明§1例3中的随机游动是遍历的，并 求其极限分布。 例2：试说明§1例4排队模型中的链是遍历的， 并求其极限分布。 例3：设一马氏链的一步转移矩阵为
马尔科夫模型简介
故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为
1 3,
PX n
j
X n1
i
2
1
3, 2,
1 2,
01
i 1, j 0 i 1, j 1 i 0, j 0 i 0, j 1
P
0 1 1 1
2 3
1 2 2 3
又由于
01
P2
0 5 1 7
ak
aj
ai
o
s
su
suv t
证明 先固定 ak I和s T1 , 由条件概率定义和乘法定理得
P{ X (s u v) aj , X (s u) ak | X (s) ai } P{X (s u) ak | X (s) ai }
p21
状
态
ai
pi1
P(1)
X m1的状态
a2 a j
p12 p1 j
p22 p1 j
P(1)
pi2 pij 记为P
三、应用举例
例1 设{ X (t), t 0}是独立增量过程,且X (0) 0, 证明 { X (t ), t 0}是一个马尔可夫过程.
证明 由独立增量过程的定义知, 当0 t j tn1 tn , j 1,2,,n 2时,
第二节 多步转移概率的确定
一、C-K 方程 二、多步转移概率的确定 三、应用举例 四、小结
一、C-K 方程
设 { X (n), n T1 }是一齐次马氏链, 则对任意的
u,v T1,有
Pij(u v) Pik (u) pkj (v), i, j 1,2,.
k 1
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C -K方程)
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：随机游走算法是一种基于概率的算法，用于模拟随机的行为和变化过程。
它可以描述在一个有限的状态空间中，通过按照一定的规则进行状态转移，从而模拟随机选择下的状态变化。
这一算法在许多领域中有着广泛的应用，包括计算机科学、物理学、生物学、金融等。
随机游走算法的核心思想是通过定义转移概率来描述状态之间的转移规则。
在一个随机游走过程中，每个状态都有一定的概率转移到其他状态，而这些概率可以根据实际情况进行确定。
通过迭代计算，随机游走算法可以模拟出状态的分布情况，进而提供对系统行为的理解和预测。
随机游走算法具有很多重要的特性和优点。
首先，它是一种非常灵活的模型，可以适用于各种不同的问题和场景。
其次，随机游走算法能够捕捉到系统中的随机变动和不确定性，从而可以更好地解释和预测实际情况。
此外，随机游走算法具有较快的收敛速度和较低的计算复杂度，使得它成为许多算法和模型的重要基础。
然而，随机游走算法也存在一些限制和缺点。
首先，它需要事先确定好状态空间和转移概率，这对于复杂系统可能是一个挑战。
其次，随机游走算法对初始状态的选择非常敏感，不同的初始状态可能会导致完全不同的结果。
此外，随机游走算法在处理长时间序列或具有周期性特征的问题时可能存在某些局限性。
综上所述，随机游走算法是一种重要且广泛应用的算法，能够在各个领域中提供对系统行为的建模和预测。
虽然它具有一些限制和缺点，但通过进一步研究和改进，随机游走算法有望在未来的发展中发挥更大的作用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍随机游走算法的基本概念、应用领域以及优缺点，并对其重要性和未来发展进行总结和展望。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和各个部分的主要内容，将读者引导到整个文章的框架。
2. 文章结构本文分为引言、正文和结论三个主要部分。
2.1 引言部分引言部分主要对随机游走算法进行了概述，介绍了其基本概念以及本文的目的。
通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
概率论与数理统计及其应用第18讲 多步转移概
P{X 0 0, X 2 1} P{X 0 0} P{X 0 0 | X 2 1} 1 5 5 p0 (0) P01 (2) ; 3 16 48
解
先求出二步转移概率矩阵
0 1 2 0 5 / 8 5 /16 1/16 . P(2) 1 5 /16 1/ 2 3 /16 2 3 /16 9 /16 1/ 4
P{ X 0 1}P{ X n 1| X 0 1} P{ X 0 1| X n 1} P{ X n 1}
P1 (0) P11 (n) P1 (0) P11 (n) P0 (0) P01 (n)
( p q) . n 1 (2 1)( p q)
（1）当p =0.9时，系统二级传输后的传真率．
2 1 1 P00 (2) P (2) (0.9 0.1) 0.5 0.32 0.82, 11 2 2
三级传输后的误码率
P01 (3) P 10 (3)
1 2
1 2
0.9 0.1
3
0.244.
解
Pij (u v) Pik (u ) Pkj (v), i, j 1, 2,
k 1
矩阵形式
P(u v) P(u )P(v).
P ( n) P .
n
结论 齐次马氏链的n步转移概率是一步转移概率的n次方, 链的有限维分布可由初始分布和一步移概率完全确定 .
例 11.10 设{Xn，n 0}是具有三个状态0，1，2的 齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
Pij ( u v ) P{ X ( s u v ) a j | X ( s) ai }
考研数学三详细范围
小结
习题
选做习题
参读材料随机变量样本值的产生
附表
附表1几种常用的概率分布表
附表2标准正态分布表
附表3泊松分布表
附表4 t分布表
附表5 X2分布表
附表6 F分布表
附表7均值的t检验的样本容量
附表8均值差的t检验的样本容量
附表9秩和临界值表
习题答案
第二节洛必达法则（★）
第三节泰勒公式（☆）
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★）
第五节函数的极值与最大值最小值（★）
第六节函数图形的描绘（★）
第七节曲率(●)
第八节方程的近似解(●)
总习题三（★注意渐近线）
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质（★）
第二节换元积分法（★）
第三节分部积分法（★）
第四节有理函数的积分（★）
●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。
▲─超出大纲要求。
第一章函数与极限
第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余）
第二节数列的极限（☆）
第三节函数的极限（☆）
第四节无穷小与无穷大（★）
第五节极限运算法则（★）
第六节极限存在准则（★）
第七节无穷小的比较（★）
第八节函数的连续性与间断点（★）
小结
习题
第九章方差分析及回归分析(▲)
1单因素试验的方差分析
2双因素试验的方差分析
3一元线性回归
4多元线性回归
小结
附录
习题
第十章bootstrap方法(▲)
1非参数bootstrap方法
2参在数理统计中应用Excel软件(▲)
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ak (k 1, 2), 在从 ak 经时段 v 转移到状态 a j ”等
事件的和事件.如下图所示:
ak ai
aj
o
s
su
suv t
证明 先固定 ak I 和 s T1 ,
由条件概率定义和乘法定理得
P{ X ( s u v ) a j , X ( s u) ak | X ( s) ai }
1 5 1 9 3 16 2 16
11 . 24
例2 在 0 1 传输系统中， －
(1) 设 p 0.9, 求系统二级传输后的传真率与三级
传输后的误码率;
(2) 设初始分布
p1 (0) P{ X 0 1} ,
p0 (0) P{ X 0 0} 1 . 系统经 n 级传输后输出为 1 ，问原发字符也是 1 的
初始分布 pi (0) P{ X 0 i } 1 / 3, i 0,1,2.
试求 : (i ) P{ X 0 0, X 2 1};
(ii ) P{ X 2 1}.
解
先求出二步转移概率矩阵
0 1 2 0 5 / 8 5 / 16 1 / 16 P (2) P 2 1 5 / 16 1 / 2 3 / 16 . 2 3 / 16 9 / 16 1 / 4
1 1 P11 ( 2) P00 ( 2) (0.9 0.1)2 0.820, 2 2 1 1 P10 ( 3) P01 ( 2) (0.9 0.1)3 0.244; 2 2
( 2) 根据贝叶斯公式 ， 当系统经 n 级传输后输出为
1 , 原发字符也是 1 的概率为： P{ X 0 1}P{ X n 1 | X 0 1} P{ X 0 1 | X n 1} P{ X n 1}
于是: ( i ) P{ X 0 0, X 2 1}
P{ X 0 0}P{ X 2 1 | X 0 0}
1 5 5 P0 (0) P01 ( 2) ; 3 16 48
( ii )
p1 ( 2) P{ X 2 1}
p0 (0) P01 ( 2) p1 (0) P11 ( 2) p2 (0) P21 ( 2)
0 0 1 1 ( p q )n , 2 2 1 1 ( p q )n , 1 2 2 . 1 1 ( p q )n 2 2
(1) 当p 0.9, 系统二级传输后的传真率与三级传输
后的误码率分别为:
p1 (0) P11 ( n) p0 (0) P01 ( n) p1 (0) P11 ( n)
( p q )n n. 1 ( 2 1)( p q )
补充例题
说明 对于只有两个状态的马氏链，
一步转移概率矩阵一般可表示为: 0 1
0 1 a a P , 0 a , b 1. 1 b 1 b 0 1 n步转移概率矩阵为 p ( n) P01 ( n) P (n) P n 0 00 1 p10 ( n) P11 ( n) 1 b a (1 a b)n a a b a a b b b , n 1,2,. a b
四、小结
切普曼-科尔莫戈罗夫方程 (简称 C –K 方程)
Pij ( u v ) Pik ( u) pkj (v ), i , j 1, 2, .
k 1
由 C –K 方程可得 马氏链的n 步转移概率是一步转移概率的n 次方， 链的有限维分布可由初始分布和一步移概率完全
确定.
第二节
多步转移概率的确定
一、C-K 方程 二、多步转移概率的确定 三、应用举例 四、小结
一、C-K 方程
u, v T1 ,有
科尔莫戈罗夫资料
设 { X ( n) , n T1 }是一齐次马氏链, 则对任意的
Pij ( u v ) Pik ( u) pkj (v ), i , j 1, 2,.
k 1
切普曼-科尔莫戈罗夫方程(简称C -K方程)
说明 C K 方程基于下列事实 ：
“从时刻 s 所处的状态 ai 出发 , 经时段 u v
. 转移到状态 a j , 即 X ( s u v ) a j ”
这一事件可分解成:
“从 X ( s ) ai 出发 , 先经时段 u 转移到中间状态
故有： Pij (u v ) P{ X ( s u v ) a j | X ( s) ai }
P{ X ( s u v ) a j , X ( s u) ak | X ( s ) ai }.
k 1
考虑到马氏性和齐次性, 即得 C-K 方程. C-K 方程也可写成矩阵形式:
概率是多少？
解
先求出n 步转移概率矩阵 . 0 1
0 p 因为 P 1 q q , p 1 1, 2 p q
有相异的特征值
所以可将 P 表示成对角阵 的相似矩阵.
其中 1 0 1 0 0 2
0 , p q
对应于1 , 1 的特征向量：
e1
1 2 , 1 2
1 2 e2 , 1 2 1 1 2 2 , 1 1 2 2
令
H [e1 , e2 ]
则 P n ( HH 1 )n Hn H 1
P ( u v ) P ( u) P (v ).
二、多步转移概率的确定
利用C K 方程我们容易确定 n 步转移概率 .
在 P ( u v ) P (u) P (v ) 中, 令u 1, v n 1,
得递推关系: P ( n) P (1) P ( n 1) PP ( n 1),
P { X ( s u ) ak | X ( s ) ai }
P{ X ( s u v ) a j | X ( s u) ak , X ( s) ai }
Pik (u) Pkj (v ). (马氏性和齐次性)
因事件组“ X ( s u) ak ”k 1,2, 构成一划分, ,
从而可得
结论
P (n) pn .
马氏链的 n 步转移概率是一步转移 概率的 n 次方, 链的有限维分布可由初始分布和一步转移概
率完全确定.
三、应用举例
例1 { X n , n 0}是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏
链 , 一步转移概率为
0
1
2
0 3 / 4 1 / 4 0 P 1 1 / 4 1 / 2 1 / 4 , 2 0 3 / 4 1 / 4