第2章 稳态热传导
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工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学
等温线
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
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2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章-1
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
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传热学 Heat Transfer 第5版
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传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
稳态热传导
其中 q——热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q
gradt
t
n
n
gradt 是空间某点的温度梯度； n 是通过该点等温线上的法向单位矢量，
指向温度升高的方向； q 是该处的热流密度矢量。
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料. 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的.
压器铁芯等； 3.不均匀但每个区域均各向同性。如空心砖； 4.不均匀，且每个区域均各向异性，超高温时。
§2.2 导热问题的数学描写
由前可知： （1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （2）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
第三类边界条件中
更高温度时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
损失） （2）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热.
同一种物质的导热系数也 会因其状态参数的不同而改 变，因而导热系数是物质温
B、正的非均布内热源 C、负的均布内热源 D、正的均布内热源
二 导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化 的关系，没有涉及具体、特定的导热过程，为 通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
具体的导热过程的完整数学描述：导热微分 方程 + 定解条件
积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q
gradt
t
n
n
gradt 是空间某点的温度梯度； n 是通过该点等温线上的法向单位矢量，
指向温度升高的方向； q 是该处的热流密度矢量。
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料. 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的.
压器铁芯等； 3.不均匀但每个区域均各向同性。如空心砖； 4.不均匀，且每个区域均各向异性，超高温时。
§2.2 导热问题的数学描写
由前可知： （1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （2）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
第三类边界条件中
更高温度时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
损失） （2）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热.
同一种物质的导热系数也 会因其状态参数的不同而改 变，因而导热系数是物质温
B、正的非均布内热源 C、负的均布内热源 D、正的均布内热源
二 导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化 的关系，没有涉及具体、特定的导热过程，为 通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
具体的导热过程的完整数学描述：导热微分 方程 + 定解条件
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
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1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
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第2章 稳态热传导
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法
3 、了解内容：一维有内热源的导热问题
2.1 导热基本定律－傅里叶定律
2.1.1 导热机理
气体：导热是气体 分子不规则热运动 时相互碰撞的结果， 温度升高，动能增 大，不同能量水平 的分子相互碰撞， 使热能从高温传到 低温处
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立 导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称 为导热微分方程。
假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 [W/m3]; (3)体内具有均匀分布内热源；强度 ：单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
根据能量守恒定律，在dτ时间内 导入与导出微元体的净热量＋微元体内热源的发热 量＝微元体热力学的增加
上式化简：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
①导热系数为常数
t t t t a( 2 2 2 ) c x y z
2 2 2 ·
a 式中， /( c) ，称为热扩散率。
x dx x
x qx dydz d
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx d x d x dx (q x dydz d )dx x qx dxdydzd x
同理
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项 扩散项 源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
纯铜 398 w / m C
大理石 2.7 w / m C
0˚C时： 冰 2.22 w / m C
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183 w / m C
t1
傅立叶定律的一般形 式的数学表达式
n dt dn t t+dt
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
t+Δ t
t t-Δ t
E
d d d v
Ⅰ 、导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、 经 x 表面导入的热量：d x
d 时间内、沿 x 轴方向、 d 经 x+dx 表面导出的热量： x dx
x dx dx x
泰勒展开
d x dx
d x d x dx
液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰 撞的影响比气体大；
第二种观点类似于非导电固体，主要依靠
弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡 位臵附近的振动产生的）的作用。
说明：只研究导热现象的宏观规律。
2.1.2、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分 布的总称。 一般地讲，物体的温度分布是坐标和时间 的函数：
d y d y dy q y y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
d z d z dz qz dxdydzd z
[导入与导出净热量]:
qx q y qz d d ( )dxdydzd x y z
三、其他坐标下的导热微分方程
t 2t 1 t 1 2t 2t 对于圆柱坐标系 a( r 2 r r r 2 2 z 2 ) c
对于球坐标系
t 1 2 t 1 t 1 2t a[ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 r r r r sin r sin c
t f x, y, z,
其中
x, y, z为空间坐标， 为时间坐标。
2、温度场分类
1）按照时间坐标分类
稳态温度场（定常温度场）
（Steady-state conduction）
是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f ( x, y, z)
各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构不
同，各方向上的导热系数也有较大差别，
这些材料称各向异性材料。此类材料 必须
注明方向。相反，称各向同性材料。
2.2 导热问题的数学描写
2.2.1 导热微分方程的推导
傅里叶定律：
q gradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律
• 导电固体：其中有许多自由电子，它们在 晶格之间像气体分子那样运动。自由电子 的运动在导电固体的导热中起主导作用。
• 非导电固体：导热是通过晶格结构的振 动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位臵附近的振动来实现的。
液体的导热机理：存在两种不同的观点
第一种观点类似于气体，只是复杂些，因
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：t≤350℃时， ≤0.12w/mk
保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代 90年代 GB427-92
0.23W/mk 0.12w/mk
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
gradt 是空间某点的温度梯度；
n 是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温 度升高的方向；
n dt dn t t+dt
t1
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
t q gradt n n
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上 傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
2.1.4、导热系数
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 : q / gradt w/m· ℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。 导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。 它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
t f ( x, y, z, )
2）按照空间坐标分类
一维温度场
t f ( x, )
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。 二维温度场 三维温度场
傅里叶定律：
t q x x
t q y y
t q z z
t t t d [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd x x y y z z
2、 d时间微元体内热源的发热量
v dxdydz d
在任何一个二维截面上等温面表现为等温线
• 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
等温线
等温面与等温线的特点：
t+Δt t t-Δt
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
沿等温面（线）无热量传递
t f ( x, y, ) t f ( x, y, z, )
• 根据温度场表达式，可分析出导热过程 是几维、稳态或非稳态的现象，温度场 是几维的、稳态的或非稳态的。
t f ( x, y ) t f ( x, )
二维，稳态
一维，非稳态
t 稳态温度场 0
非稳态温度场 t 0
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。 一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
0 (1 bT )
273K时物质的导热系数
导热系数的确定
工程计算采用的各种物质的导热系数的 数值都是用专门实验测定出来的。 测量方法包括稳态测量方法和非稳态测 量方法。 物质的导热系数值可以查阅相关文献。
②导热系数为常数 、无内热源
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
③导热系数为常数 、稳态
t t t 2 2 0 2 x y z
等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线 的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大 小。
t+Δt t t-Δt
Heat Transfer
2.1.3 导热基本定律
在导热现象中，单位时间内通过给定截面所
传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上
的温度变化率，而热量传递的方 t 向与温度升高的方向相反，即 ~ A x 数学表达式：
3、微元体在d时间 内焓的增加量
c t dxdydzd
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法
3 、了解内容：一维有内热源的导热问题
2.1 导热基本定律－傅里叶定律
2.1.1 导热机理
气体：导热是气体 分子不规则热运动 时相互碰撞的结果， 温度升高，动能增 大，不同能量水平 的分子相互碰撞， 使热能从高温传到 低温处
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立 导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称 为导热微分方程。
假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 [W/m3]; (3)体内具有均匀分布内热源；强度 ：单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
根据能量守恒定律，在dτ时间内 导入与导出微元体的净热量＋微元体内热源的发热 量＝微元体热力学的增加
上式化简：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
①导热系数为常数
t t t t a( 2 2 2 ) c x y z
2 2 2 ·
a 式中， /( c) ，称为热扩散率。
x dx x
x qx dydz d
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx d x d x dx (q x dydz d )dx x qx dxdydzd x
同理
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项 扩散项 源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
纯铜 398 w / m C
大理石 2.7 w / m C
0˚C时： 冰 2.22 w / m C
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183 w / m C
t1
傅立叶定律的一般形 式的数学表达式
n dt dn t t+dt
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
t+Δ t
t t-Δ t
E
d d d v
Ⅰ 、导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、 经 x 表面导入的热量：d x
d 时间内、沿 x 轴方向、 d 经 x+dx 表面导出的热量： x dx
x dx dx x
泰勒展开
d x dx
d x d x dx
液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰 撞的影响比气体大；
第二种观点类似于非导电固体，主要依靠
弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡 位臵附近的振动产生的）的作用。
说明：只研究导热现象的宏观规律。
2.1.2、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分 布的总称。 一般地讲，物体的温度分布是坐标和时间 的函数：
d y d y dy q y y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
d z d z dz qz dxdydzd z
[导入与导出净热量]:
qx q y qz d d ( )dxdydzd x y z
三、其他坐标下的导热微分方程
t 2t 1 t 1 2t 2t 对于圆柱坐标系 a( r 2 r r r 2 2 z 2 ) c
对于球坐标系
t 1 2 t 1 t 1 2t a[ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 r r r r sin r sin c
t f x, y, z,
其中
x, y, z为空间坐标， 为时间坐标。
2、温度场分类
1）按照时间坐标分类
稳态温度场（定常温度场）
（Steady-state conduction）
是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f ( x, y, z)
各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构不
同，各方向上的导热系数也有较大差别，
这些材料称各向异性材料。此类材料 必须
注明方向。相反，称各向同性材料。
2.2 导热问题的数学描写
2.2.1 导热微分方程的推导
傅里叶定律：
q gradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律
• 导电固体：其中有许多自由电子，它们在 晶格之间像气体分子那样运动。自由电子 的运动在导电固体的导热中起主导作用。
• 非导电固体：导热是通过晶格结构的振 动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位臵附近的振动来实现的。
液体的导热机理：存在两种不同的观点
第一种观点类似于气体，只是复杂些，因
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：t≤350℃时， ≤0.12w/mk
保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代 90年代 GB427-92
0.23W/mk 0.12w/mk
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
gradt 是空间某点的温度梯度；
n 是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温 度升高的方向；
n dt dn t t+dt
t1
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
t q gradt n n
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上 傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
2.1.4、导热系数
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 : q / gradt w/m· ℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。 导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。 它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
t f ( x, y, z, )
2）按照空间坐标分类
一维温度场
t f ( x, )
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。 二维温度场 三维温度场
傅里叶定律：
t q x x
t q y y
t q z z
t t t d [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd x x y y z z
2、 d时间微元体内热源的发热量
v dxdydz d
在任何一个二维截面上等温面表现为等温线
• 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
等温线
等温面与等温线的特点：
t+Δt t t-Δt
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
沿等温面（线）无热量传递
t f ( x, y, ) t f ( x, y, z, )
• 根据温度场表达式，可分析出导热过程 是几维、稳态或非稳态的现象，温度场 是几维的、稳态的或非稳态的。
t f ( x, y ) t f ( x, )
二维，稳态
一维，非稳态
t 稳态温度场 0
非稳态温度场 t 0
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。 一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
0 (1 bT )
273K时物质的导热系数
导热系数的确定
工程计算采用的各种物质的导热系数的 数值都是用专门实验测定出来的。 测量方法包括稳态测量方法和非稳态测 量方法。 物质的导热系数值可以查阅相关文献。
②导热系数为常数 、无内热源
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
③导热系数为常数 、稳态
t t t 2 2 0 2 x y z
等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线 的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大 小。
t+Δt t t-Δt
Heat Transfer
2.1.3 导热基本定律
在导热现象中，单位时间内通过给定截面所
传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上
的温度变化率，而热量传递的方 t 向与温度升高的方向相反，即 ~ A x 数学表达式：
3、微元体在d时间 内焓的增加量
c t dxdydzd