2008级运筹学基础及应用试卷A参考答案及评分标准

Vt
(1，2) V5
V1 （4，4）
V3
（s，3）
见上图，标号至点v1：标号过程无法进行，已得 f '最大流。
V V 1 ={vs，v1}， 1 ={v2，v3，v4，vt}
专业
学院
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越小越好，此时目标规划的目标为 min(d+ -d- )，实际上，由 f(x)=f0 +(d+ -d- ) ， 要求 minf(x)等价于 min(d+ -d- ) 。
7．在求解整数线性规划问题（ILP）时，原问题对应的松弛问题（去掉决策变量为整数 的要求）的最优解不为整数值。而在原问题中，某一变量x1必须取整数，所以x1必须取 小于等于a或大于等于b的整数值。利用这一明显的结果，我们把问题整数线性规划划分 成两个子问题，这种划分过程称之为 分枝 ；要求ILP的最优解，只要分别求出子问 题IL1 和子问题IL2 的最优解即可。同时，子问题IL1 的最优解也是原问题ILP的 可行 解。因此，子问题IL1 的最优解是原问题的目标函数值的上界，称之为 定界 。
得分
四、计算题（ 7 小题，每小题6分，共 42 分）
阅卷人
注：由于课程的特点和考试时间的限制，只要求将计算、绘图等过
程补充完整。
1． 用图解法求解下列线性规划问题：
min z =3x1+2x2 （1）
⎧2x1 + 4x2 ≤ 22
s.t.
⎪⎪⎪⎨−2xx11
+ −
4x2 ≤ 10 x2 ≤ 7
（2-7）
得到增广链µ（vs，v2，v4，vt），θ =3，在µ上进行流量θ =3 的调整，得可行流f '如下图
所示：
（5，6） Vs （2，5）
V2 （5，6）
V4 （7，7）
（0，1） （0，1）
(2，3) （1，3）
Vt
(0，2) V5
V1 （4，4）
V3
去掉各点标号，从 vs 开始，重新标号。
（s，1）
营养物 营养成分
至少需要的营养成分数
甲
乙
丙
量
A
4
6
20
80
B
1
1
2
65
C
1
0
3
70
D
21
7
35
450
价格
25
20
45
问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，
不用计算。
解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为 x1、x2和x3 ，则根据题意可得如下线
性规划模型：
min z = 25x1 + 20x2 + 45x3
如下图所示：
（6，6） Vs （2，5）
V2 （6，6）
V4 （7，7）
（0，1） （0，1）
(1，3) （2，3）
Vt
(1，2) V5
V1 （4，4） 去掉各点标号，从 vs 开始，重新标号。
V2 （6，6） （6，6）
V3
V4 （7，7）
（0，∞） Vs
（2，5）
（0，1） （0，1）
(1，3) （2，3）
甲
乙
丙
丁
产量
Ui
A
10（0） 40（0） （9）
（7）
50
0
B
25(0)
（-1）
20(0)
15(0)
60
4
C
25(0)
（4）
（7）
（7）
25
-1
销量
60
40
20
15
135
Vj
3
2
-2
-1
因为（B，乙）的检验数为-1，所以该初始可行解非最优解。
从空格（B，乙）出发的闭回路为（B，乙）——（B，甲）——（A，甲）——（A，乙）
⎪ ⎪
x1
−
3x2
≤1
⎪⎩ x1, x2 ≥ 0
解：可行解域为凸多边形abcda(如右图
所示,画出图形)，最优解为 b 点。
图示
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由方程组
⎧2 ⎨
x1
⎩
+
4 x2 x2
= =
22 0
解出x1=11，x2=0
∴X*=
⎜⎜⎝⎛
x1 x2ຫໍສະໝຸດ ⎟⎟⎠⎞=（11，0）T
∴min z =－3×11+2×0=－33 2．消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养 成分（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这 3 种营养物，其分别含有各种 营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养 成分的数量（单位都略去）见下表。
解：本问题是产销平衡问题。根据最小元素法， 初始可行解为：
销地 甲 乙 丙 丁 产量
A B C 销量
3 2 7 6 50 7 5 2 3 60 2 5 4 5 25 60 40 20 15
甲
乙
丙
丁
产量
A
10
40
50
B
25
20
15
60
C
25
25
销量
60
40
20
15
135
采用位势法，可得检验数如下表所示（为了区别，检验数用“括号里的数字”表示）
得分 阅卷人
三、判断题（共 5 小题，每小题2分，共 10分）
1、运筹学的主要研究对象是各种组织系统的管理问题及生产经营活动（√） 2、运筹学的目的在于针对所研究的系统求得一个合理应用物力、人力和财力的最佳方 案（√） 3、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解（×） 4、如果单纯形表中，某一检验数大于 0，而且对应变量所在列中没有正数，则线性规划 问题无最优解（√） 5、在二元线性规划问题中，如果问题有可行解，则一定有最优解（×）
6．目标规划的五种目标函数形式有如下五种形式：（1）要求性能指标 f(x)尽量达到目
的值 f0（即不足 f0 不好，超过 f0 也不好），此时目标规划的目标为 min(d- +d+ ) ；（2）
要求性能指标 f(x)的值不少于目的值 f0（即允许超过 f0 ，但尽可能不要少于 f0 ），此时
目标规划的目标为 mind- ；（3）要求性能指标 f(x)的值不超过目的值 f0 （即允许
⎧ s .t .⎪⎨ −
x1 + 2 x1
2 +
x2 x2
+ −
3x3 + x4 x3 + 3x4
≥ ≤
2 −3
⎪⎩ x j ≥ 0( j = 1,2,3,4 )
写出其对偶问题。
解：（1）原线性规划问题可化为：
min z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4
⎧ s.t.⎪⎨
x1 + 2 2x1 −
⎡0 4 2 7 0⎤
⎢⎢8 7 2 9
7
⎥ ⎥
⎢⎢5 3 0 6 4⎥⎥ √
⎢⎢3 1 0 4 2⎥⎥
解： ⎢6 4 2 7 5 ⎥ → ⎢3 0 0 4 2⎥ → ⎢3 0 2 4 2⎥
⎢⎢8 4 2 3
5
⎥ ⎥
⎢⎢5 0 0 0 2⎥⎥
⎢⎢5 0 2 0 2⎥⎥
⎢⎣9 10 6 9 10⎥⎦ ⎢⎣2 2 0 2 3⎥⎦ √ ⎢⎣0 0 0 0 1⎥⎦
——（B，乙）。
该闭回路的偶数顶点位于格（B，甲）和（A，乙），由于 min(25,40) = 25 ，所以可得如
下可行解
甲
乙
丙
丁
产量
Ui
A
35（0） 15（0） （8）
（6）
50
0
B
(1)
25（0） 20(0)
15(0)
60
3
C
25(0)
（4）
（6）
（6）
25
-1
销量
60
40
20
15
135
Vj
3
2
6 C2
3
3
3 C3
E 4
D2
解：⑴此为动态规划之“最短路问题”，可用逆向追踪“图上标号法”解决，如图所示。 （考试中，可直接在上图中标出，不必另画，以节省时间！） ⑵最优路线如上图加粗线标出，即A→B3→C2→D2→E ⑶此时从 A 到 E 的最短路程=3＋1＋3＋4=11
7．用标号法求下图所示网 络流的最大流。 要求：⑴画出每次迭代图； ⑵在迭代图中画出增广 链；⑶求网络中的最大流。
少于 f0 ，但尽可能不要超过 f0 ），此时目标规划的目标为 mind+
；（4）要求性能
指 标 f(x)的 值 越 大 越 好 ， 此 时 目 标 规 划 的 目 标 为 min(d- -d+ ) （ 实 际 上 ， 由
f(x)=f0 -(d- -d+ ) ，要 maxf(x)等价于 min(d- -d+ )；（5）要求性能指标 f(x)的值
⎧ 4x1 + 6x2 + 20x3 ≥ 80
⎪ s.t.⎪⎪⎨
x1 + x2 + 2x3 ≥ 65 x1 + 3x3 ≥ 70
⎪⎪21x1 + 7x2 + 35x3 ≥ 450
⎪⎩
x1, x2, x3 ≥ 0
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3．已知运输问题的产销平衡表与单位运价表如右 表所示：试用表上作业法求出最优解。
得分 阅卷人
二、选择题：（5 个小题，每小题 2 分，共 10 分）