三角形相似及尺规作图
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
第15讲 全等三角形与尺规作图
第15讲 全等三角形与尺规作图
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基础知识过关
知识点一 全等三角形的性质与判定 知识点二 角平分线的性质 知识点三 线段垂直平分线的性质 知识点四 三角形中位线定理 知识点五 尺规作图
图 知角
于点P、Q;2.作射线O'A;3.以O'为圆心,OP长为半径作
弧,交O'A于点M;4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,两
弧交于点N;5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的
角
作已知角的平分 线
作线段的垂直平 分线
1.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于
1
点N、M;2.分别以点M、N为圆心,大于2 MN长为半径
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例3 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心, 以大于 1BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB
2
于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为 105° .
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解析 ∵MN为BC的垂直平分线, ∴△BCD为等腰三角形,∵∠B=25°, ∴∠BCD=25°,∴∠CDA=∠B+∠BCD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠ CDA=50°, ∴在△ACD中,∠ACD=80°, ∴∠ACB=105°.
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拓 已知一直角边长m 1.画两条互相垂直的直线,垂足为C,在其中一边上截
展 和斜边
取CA=m;
类 长n作直角三角形 2.以点A为圆心,n为半径画弧,与另一边交于点B;
三角形的尺规作图[1]
![三角形的尺规作图[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/13be36112b160b4e777fcf3b.png)
B
CE
(3)连接AC
△ABC就是所求作的三角形。
2. 已知∠α和∠β ，线段a，用尺规作一个三角形， 使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且 ∠α的对边等于a。
α
β
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β ，通过反向 延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三 个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ 及其 这两角的夹边a，求作这个三角形。
b
c
步骤：
1.作线段AB=c
2.以点A为圆心，以b为半径画弧
3.以点B为圆心，以a为半径画弧，倆弧交于点C
4.连接BC连接AC, △ ABC即为 所求
已知 , 和线段a，用直尺和圆规
作△ABC，使∠A ＝ ，∠B =
AB求作这个三角形。
做一做：
已知∠α和∠β，求作∠ABC， 使∠ABC=∠α＋∠β
α
β
做一做: 已知 线段a，c和 ，用直尺和圆规 作△ABC，使∠ABC ＝ ，AB = c
BC = a.
a c
一般情况下， 已知两角夹边，先画边。
已知两边夹角，先画角。
例： 已知线段AB，用直尺和圆规作 线段AB的垂直平分线。
有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口 井，使它到三农户家的距离相等. 这口 井应挖在何处？请在图中标出井的位 置，并说明理由.
A
C
B
复习尺规作图： 平分已知角
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线OE E 作法：1、以 为圆心，
A C
长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于C、 D两点；
B
D
O
2、分别以___为圆心，_____的长为半径作弧，
三角形的尺规作图
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种 基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形 的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基 本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图.
感悟新知
1.尺规作图的画图工具是( D ) A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器 C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
感悟新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
知2－练
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
感悟新知
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点知C2－. 练
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
感悟新知
总结
知2－讲
由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三 角形全等的条件(SSS，SAS，ASA，AAS)都只能作出 唯一的三角形．
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例 1 【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上 的高的是( B )
分析：过点Ａ作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求.
感悟新知
总结
知1－讲
如图所示(见下页)，在直角坐标系中描出以表中的
三角形相似及尺规作图
三角形相似及尺规作图-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1AB C图形的相似【知识点归纳】1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比.2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3.若a:b=b:c 或c bb a =，则b 叫做a ，c 的比例中项.4.比例的基本性质:b a =d c⇔ad=bc(bd ≠0). 5.合比性质：b a =d c ⇔d dc b b a ±=±. 6.等比性质：.n...d b m...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=⇒≠+++===7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP2=BP ·AB ，则这种分割叫做黄金分割.8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质：（1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比.习题巩固1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【 】图1 A ． B ． C ． D ．2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 【 】A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个3.如图，已知AD 为ABC 的角平分线，DE3132 C.52 D.534.如图是跷跷板示意图，横板AB 绕中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直，设B 点的最大高度为h1.若将横板AB 换成横板A ′B ′，且A ′B ′=2AB ，O 仍为A ′B ′的中点，设B ′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】=2h1 = =h1 =21h15.如图,平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F,CD=2DE ．若△DEF 的面积为a,则平行四边形ABCD 的面积为________________（用a 的代数式表示）．6.如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y1和过P 、A 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于 【 】A. B.7.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ，下列结论： （1）△AED ≌△DFB ； （2）S 四边形BCDG=43CG2；（3）若AF=2DF ，则BG=6GF.（第11题其中正确的结论：A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③7.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED∽∠AOO；④2CD2=CE·AB，其中正确结论的序号是____________8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_______________．9.如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.10.在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA 的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证ACAF=DFFE尺规作图基本作图：作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作角的平分线作线段的垂直平分线过一点做一已知线段的垂线作黄金分割点B AFDCM1. 作一个角等于已知角， 已知AOB ∠求作：∠B O A '''，使∠B O A '''=AOB ∠ 作法：（1）作射线A O ''；（2）以O 点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ； （3）以O 点为圆心，以OC 长为半径画弧，交OA 于点C ； （4）以C 点为圆心，以CD 为半径画弧，交前面的弧于点D ； （5）过点D 作射线OB 。
《用尺规作三角形》三角形
感谢您的观看
THANKS
连接两个顶点，完成作图
总结词
连接两个顶点是完成作图的关键步骤。
VS
详细描述
最后一步是将两个顶点连接起来，形成一 个完整的直角三角形。可以使用直尺或者 曲线尺来完成这一步。在连接的过程中需 要注意线条的平直和光滑，以保证所画的 三角形是准确的。
05
用尺规作钝角三角形的步 骤
确定钝角三角形的两个钝角
连接两个顶点，完成作图
总结词
连接顶点是完成作图的最后一步。
详细描述
最后，使用直尺和圆规，连接两个顶点，完成三角形的 作图。在连接过程中，需要保证线条的平直和长度相等 ，以确保得到的三角形是准确的。
06
用尺规作三角形时常见错 误与注意事项
作图时未使用尺规导致误差过大
总结词
不使用尺规进行作图，会导致线条的长度、角度等出 现较大的误差，影响三角形的准确性。
详细描述
在使用尺规进行作图时，应保持工具的平整和准确， 避免使用有弯曲或不直的尺子，以免影响作图的准确 性。同时，要确保使用的圆规或直尺等工具的刻度准 确，以避免误差过大。
作图时未经过顶点连接导致图形不完整
总结词
未经过顶点连接导致图形不完整。
详细描述
在用尺规作三角形时，需要将顶点连接起来，形成完整 的三角形。如果没有经过顶点连接，则无法形成一个完 整的三角形，也无法满足题目的要求。因此，需要注意 在作图时按照规定的步骤进行，确保图形完整。
连接三个顶点，完成作图
使用直尺或卷尺，连接三个顶点A、B、C。
01
02
确保三条边的长度相等，即AB=BC=CA。
完成作图，得到等边三角形ABC。
03
04
注意事项
全等三角形尺规作图ppt
特殊形状的作图方法
等边三角形
根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到 三个等边三角形。
等腰三角形
通过平分底角和顶角，作中垂线等技巧完成等腰三角形的作 图。
不同角度的作图方法
垂直线
使用直尺和圆规，在已知直线上任取两点，分别以这两个点为圆心，以这条 直线为半径画弧，交点即为垂足。
平分角
使用圆规，在已知角上任取一点，以这一点为圆心，以适当长为半径画弧， 再以这条弧与角的两边的交点为圆心，以相同的半径画弧，两弧的交点即为 角的平分线。
中等难度尺规作图实例
• 题目描述：已知三角形ABC，AB=AC，求作一条线段，使得该线段与AB、AC垂直且平分AB、AC。 • 解题思路：利用等腰三角形底边中线垂直平分底边的性质，通过作图得到中垂线。 • 作图步骤 • 作出三角形ABC的两条边AB和AC • 在AB和AC上分别取点D和E，使得AD=AE • 在线段DE上取一点F，使得DF=EF • 以点F为圆心，以AB为半径画弧，交AC于点G • 以点G为圆心，以AB为半径画弧，交AB于点H • 连接DH和EG，则DH和EG即为所求线段
圆规
可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。
全等三角形的尺规作图方法
直接法
通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。
间接法
通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。
作图步骤
确定两个已知点
确定两个已知点A和B，并连接 两点得到线段AB。
画出三角形
使用圆规，以点A为圆心，以 AB为半径画圆弧，得到点C； 再以点B为圆心，以AB为半径画 圆弧，得到点D；连接CD得到
三角形ABC。
判断全等
通过比较AC和BC的长度，可以 判断三角形ABC和三角形DEF是
八年级数学上册4 尺规作图《尺规作图法作三角形》典型例析素材 华东师大
《尺规作图法作三角形》典型例析限定用直尺和圆规来画图称为尺规作图。
学习了三角形全等的判定后，我们可以借助于全等三角形的判定方法，根据所给的条件,用尺规作图法作三角形。
请看举例.一、已知两边及一边的对角作三角形例1 如图,已线段a、b及∠α。
求作：△ABC，使其有一个角是∠α,且∠α的对边等于a，另一边等于b.思路点拨：根据已知条件，可先作一个∠MBN等于∠α,在∠MBN的一边上截取BA=b，然后以A为圆心,以线段a长为半径画弧即可。
作法: 1.作∠MBN=α；2．在边BM上截取AB=b；3．以点A为圆心，a的长为半径作弧交BN于点C(或C′）；4．连结AC(或AC′）.则△ABC或△ABC′就是所求作的三角形(如图2).图1 图2二、已知斜边和一条直角边作三角形例2 如图3,已知线段c、b（c>b）.求作：△ABC,使∠C=Rt∠，AB=c，AC=b。
思路点拨：根据已知条件，可先作∠C=Rt∠，然后在∠C的一边上截取CA=b,再以点A为圆心,线段c为半径画弧即可。
作法：1．作直线MN，并在直线MN上取点C;2．作MCN的平分线CE；3．在射线CE上截取CA=b；4．以A为圆心，c为半径画弧交直线CM于B点；5．连结AB.则△ABC就是所求作的三角形（如图4）。
图3 图4三、已知两直角边求作直角三角形例3 如图5,已知两条线段a，b.求作：△ABC，使∠ACB=90°,AC=b,BC=a.思路点拨：可先借助作平角平分线的方法作出∠ECM=90°，然后再CE上截取CA=b,在CF上截取CB=a，连接AB 即可。
作法:1。
作直线MN，在直线MN上取点C；2．作∠MCN的平分线CE；3．在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；4．连接AB。
则△ABC为所作三角形（如图6）。
图5 图6四、求作两边相等的三角形例4 如图7，已知线段a,b，求作：△ABC,使BC=a，AC=AB=b。
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7.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，下列结论：
（1）△AED≌△DFB； （2）S四边形BCDG= CG2；（3）若AF=2DF，则BG=6GF.
其中正确的结论：
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
⑴求证△ABD为等腰三角形．
⑵求证AC•线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作角的平分线
作线段的垂直平分线
过一点做一已知线段的垂线
作黄金分割点
1.作一个角等于已知角，
已知
求作： ，使 =
作法：
（1）作射线 ；
（2）以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
9.如图，AB =3AC，BD =3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC=BD，AD= BD，设BD =a，求BC的长.
10.在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
习题巩固
1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是【 】
图1A．B．C．D．
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 【 】
A．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.如图，已知AD为ABC的角平分线，DE//AB交AC于E，如果AE/EC=2/3，求AB/AC的值是【 】
A． B. C. D.
4.如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】
A.h2=2h1B.h2=1.5h1C.h2=h1D.h2= h1
3.在AB上截取AP=AD.
则P点就是线段AB的黄金分割点.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
作法：（1）以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点；
（2）分别以A、B两点为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；
（3）过C、D两点作直线CD.
则直线CD就是所求作的.
5.作AB的黄金分割点
作法：
1.过已知直线AB的端点B作BC⊥AB，使BC=0.5AB；
2.连接AC，在AC上截取CD=CB；
（3）以O点为圆心，以OC长为半径画弧，交OA于点C；
（4）以C点为圆心，以CD为半径画弧，交前面的弧于点D；
（5）过点D作射线OB。 就是所求的角.
2.作角的平分线
求作：作∠ABC的角平分线：
1.以B点为圆心，任意长为半径，在BA和BC上取BD=BE；
2.分别以D、E为圆心，任意长为半径做弧线，两弧线相交于F点（两个弧半径相同）；
6.等比性质：
7．若线段AB上一点P把线段AB分成AP、BP两部分，并且使AP²=BP·AB，则这种分割叫做黄金分割.
8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.
9.相似三角形的判定：
（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
7.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED∽∠AOO；④2CD2=CE·AB，其中正确结论的序号是____________
8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论： ① ；②点F是GE的中点；③AF= AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_______________．
图形的相似
【知识点归纳】
1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
3.若a:b=b:c或 ，则b叫做a，c的比例中项.
4.比例的基本性质: = ad=bc(bd 0).
5.合比性质： = .
5.如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE．若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为________________（用a的代数式表示）．
6.如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于 【 】
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
10.相似三角形的性质：
（1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比；
（4）面积比等于相似比的平方
11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比.
3.过F点作射线OF.
则OF为∠ABC的角平分线.
3.作线段的垂直平分线
如图，如图24.4.6，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
作法：1、分别以A、B两点为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；
2、过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的.
4.过一点做一已知线段的垂线。
如图，点C在直线 上，试过点C画出直线 的垂线。