图形的相似
图形的相似性
图形相似性的判定 方法
直接观察法：通 过肉眼观察图形 的形状、大小、 角度等特征来判 断是否相似。
量度法：通过测 量图形的对应边 长、角度等几何 量来判定是否相 似。
定理法：利用相 似图形的性质定 理来判断，如对 应角相等、对应 边成比例等。
变换法：通过平 移、旋转、对称 等变换，将图形 变换到同一位置， 然后比较变换后 的图形是否相似。
分类性：根据相似性可以将图形分为不同的类别，如相似三角形、相似多边形等。
传递性：如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形C也相似。
等价性：如果图形A与图形B相似，且图形B可以由图形A通过旋转、平移、对称等变换得到， 那么图形A和图形B是等价的。
比例性：如果图形A与图形B相似，那么它们的对应边长之比是一个常数，这个常数被称为相 似比。
判定方法：通过比较对应角 的大小来确定
定义：两个图形在角度上完 全相等的性质
性质：角度相似与形状相似相 关联，是图形相似的一种特殊
情况
应用：在几何学、工程学等 领域有广泛应用
定义：两条平行线被一条横截线所 截，截得的线段成比例，则称这两 条平行线相似。
应用：在几何学、工程学等领域中， 平行线相似被广泛应用。
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性质：平行线相似的性质包括对应 角相等、对应线段成比例等。
判定方法：可以通过比较对应线段 是否成比例来判断两条平行线是否 相似。
图形相似性的应用
相似三角形的性 质和判定定理
相似多边形的性 质和判定定理
相似线段的性质 和判定定理
相似圆锥曲线的 性质和判定定理
建筑设计中利用图形相似性进行空间布局和结构设计。 通过相似性原理，实现建筑与周围环境的和谐统一。 利用相似性原理，优化建筑设计，提高建筑的美观度和功能性。 图形相似性在建筑设计中的应用，能够提高建筑的创新性和艺术性。
图形的相似
AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有__4___个三角形
和△ABC相似. A
D
E
A D
BF
C
如图(1)
CE
如图(2)
B
4、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=___6____，
△ ACP与△ABC的相似比是_2__:__3__，周长之比是_______， 面2 积:之3比是_____A__。 4 : 9
1. 定义：
三组对应角相等，三组对应边的比相等的两个 三角形是相似三角形 .
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
已知△ABC∽△A’B’C’,如果 BC=3,B’C’=1.5,那么△A’B’C’1与 △ABC
的相似比为_________. 2
2. 三角形相似的判定方法.
（1）预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构成 的三角形与原三角形相似。
1.2m 2.7m
课后思考题:
1、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
求△ABC的面积.
A
D 25 E
36
BF
C
2.已知：平行四边形ABCD，E是 BA延长线上一点，CE与AD、BD交
于G、F，求证：CF 2 = GF×EF
E
A
GD
F
B
C
作业:
中考指南P114到116的三个例题.
同学们,当天的知识当天 解决,就是最大的收获!
（3）相似三角形的周长比等于相似比; （4）相似三角形的面积比等于相似比的平
方.
4. 相似三角形的应用：
测物高：
利用太阳光下的物影 测物高.
图形的相似练习题
图形的相似练习题1、什么是图形的相似？答：图形的相似是指两个图形形状相同，大小可以不同。
2、什么是相似三角形？答：相似三角形是形状相同，大小不等的两个三角形。
二、基础应用1、下面的两个三角形是相似三角形吗？如果是，请说明理由。
答：是，因为它们的对应角相等，对应边成比例。
2、已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，请找出与它相似的三角形的三边长。
答：与它相似的三角形的三边长可以为6、8、10或者9、12、15等等。
三、提升练习1、在一张纸上画一个正方形，然后在纸上画一个与它相似的正方形。
验证这两个正方形是相似的。
答：在纸上画出两个正方形，通过测量它们的边长和角度来验证它们是相似的。
2、如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长有什么特点？答：如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长必须满足勾股定理。
四、拓展探究1、如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数有什么关系？答：如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数必须满足n:m=m:n。
2、如果两个图形是相似的，那么它们的其他属性（如面积、周长等）有什么关系？答：如果两个图形是相似的，那么它们的面积的比等于边长的比的平方，周长的比等于边长的比。
一、引言图形的相似是几何学中的一个重要概念，对于理解几何形状的性质和解决几何问题有着至关重要的作用。
为了确保学生对这个概念有深入的理解，我们进行了一次图形的相似单元测试。
以下是对本次测试的详细介绍。
二、测试内容本次测试旨在评估学生对图形相似的定义、性质和判定方法的理解和应用能力。
测试问题涵盖了基本概念、性质理解、判定方法以及应用题等多个方面。
1、基本概念：测试首先要求学生识别和理解图形相似的定义，包括相似图形的定义和性质。
2、性质理解：测试问题涉及图形相似的性质，如相似三角形的对应角相等、对应边成比例等。
3、判定方法：测试包括一些判定图形相似的方法，如利用角度、利用比例等。
图形的相似知识点
图形的相似知识点相似图形是几何学中的重要概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
本文将介绍图形的相似性，并讨论相似图形的性质和应用。
一、相似图形的定义和判断方法相似图形定义：如果两个图形的形状相同，并且对应边的长度比相等，那么这两个图形就是相似图形。
判断相似图形的方法：1.对应角相等法则：如果两个图形的对应角相等，则这两个图形相似。
2.对应边成比例法则：如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形相似。
3.综合判断法则：根据对应角和对应边成比例的性质，综合判断两个图形是否相似。
二、相似图形的性质1.对应边成比例：相似图形的对应边的长度比相等。
2.对应角相等：相似图形的对应角相等。
3.面积成比例：相似图形的面积比等于对应边长度比的平方。
三、相似三角形相似三角形是相似图形中最常见的一种情况。
相似三角形有以下性质：1.对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2.对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3.高线成比例：如果两个三角形的高线成比例，则这两个三角形相似。
4.中线成比例：如果两个三角形的中线成比例，则这两个三角形相似。
四、相似图形的应用相似图形的概念在实际生活中有着广泛的应用，例如：1.地图比例尺：地图上的比例尺就是通过相似图形的概念来确定的。
2.影像放大：在影像处理中，可以通过相似图形的概念对影像进行放大或缩小。
3.三角测量：在测量中，可以利用相似三角形的性质来进行间接测量。
4.建筑设计：建筑设计中，相似图形的概念可以帮助设计师确定建筑物的比例和尺寸。
总结：相似图形是几何学中一个重要的概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
我们可以通过对应角相等和对应边成比例等方法来判断图形是否相似。
相似图形的性质包括对应边成比例、对应角相等和面积成比例等。
相似图形在地图制作、影像处理、测量和建筑设计等领域有着广泛的应用。
通过了解相似图形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的基本原理。
知识点1 图形相似的定义
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
图形的相似知识点总结
图形的相似知识点总结首先来看图形的定义。
图形的相似是指两个图形在形状上相同但大小不同的情况。
这里所说的大小不同是指两个图形的尺寸比不相等。
图形的相似包括平移、旋转、翻转等类似的变换。
当两个图形能够通过放缩、平移、旋转等等类似的变换来重合时，这两个图形就是相似的。
接下来是关于图形相似的性质。
相似图形有很多性质，其中最重要的性质之一就是它们的对应边成比例，而对应角相等。
具体来说，如果两个图形是相似的，那么它们的对应边的比值是相等的，而对应角也是相等的。
这一性质体现了相似图形的特点，也是判断两个图形是否相似的重要条件。
除了对应边成比例和对应角相等外，相似图形还有一个重要性质就是它们的面积成比例。
这一性质在实际生活中有很多应用，比如在测量地图的比例尺时就需要用到相似图形的面积成比例性质。
然后是图形相似的判定条件。
判断两个图形是否相似需要依据一些基本条件。
最常用的判定相似的条件有三组边成比例相等、三组角相等和两组边角对应成比例相等。
首先是三组边成比例相等。
这个条件是指如果两个三角形的边长成比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
其中，边长成比例相等的两个三角形的对应边长之比称为边长比。
如果两个三角形的边长比相等，那么这两个三角形就是相似的。
其次是三组角相等。
这个条件是指如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件是很直观的，如果两个三角形的对应角相等，那么它们的形状是相似的。
最后是两组边角对应成比例相等。
这个条件是指如果两个三角形的一组对应边成比例相等，另一组对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件是判断三角形相似的常用条件之一。
最后来看图形相似的应用。
相似图形在数学和实际生活中有很多应用，其中最常见的就是利用相似三角形的性质来解决实际问题。
比如在地图测量中，我们可以利用相似三角形的边长和角度成比例的性质来测算地图上的距离和角度。
此外，在建筑施工中也经常用到相似图形的应用，比如在设计房屋结构和建筑物大小比例时就需要用到相似三角形的知识。
【数学课件】图形的相似
D
E
解：∵ AE2＝AD· AB，得AE∶AD＝ AB∶AE ∵∠A＝∠A ∴△AED∽△ABE
B
C ∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE
∴ ∠AED＝∠BCE
∴DE∥BC ∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE ∴ △EBC∽△DEB
3. 如图6—5，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、 C在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1， 使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、 C1都在单位正方形的顶点上． C2
Q
P A C
2.如图，在⊿ABD和⊿ABC中， ∠C=∠D=90°，BD与AC交于 点E，EF⊥AB与F，求证： AC· AE+BD· BE=AB2 .
D E F C
A
B
Байду номын сангаас
本节课主要是复习相似三角形的性质
判定及其运用。在解题中要熟悉基本图 形。并能从条件和结论两方面同时考虑问 题。灵活应用。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
图形的相似知识点
图形的相似知识点一、相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。
知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。
若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。
二、相似图形的性质知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a（3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d =（或::a b c d =），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘：(,,,0)a c ad bc a b c d b d=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。
（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；2. ⎧⎨⎩1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同， 与位置，大小无关判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。
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相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形； 而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。
知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小） 注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。
若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。
二、相似图形的性质 知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比 注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一； （2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a （3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a cb d=（或_________），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘：(,,,0)a cad bc a b c d b d=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数）,.a c a b c d a cb d b d a bc d++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c ndb d b d±±==如果，那么。
（分母不变，分子加上或减去分母的倍数）知识点4 相似多边形的性质、判断相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形 直角三角形2. ⎧⎨⎩1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同，与位置，大小无关全等三角形的判定 ______ ______ _______ _______相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。
（两条件同时成立）全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。
注意：两个矩形不一定相似，只有当他们的长与宽的比相等时，这两个矩形才相似。
2、相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型。
Ⅰ.相交线型知识点5 黄金分割将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP ，PB ），=小段长(PB)大段长（AP ）大段长(AP)全长（AB ）（此时线段AP 叫做线段PB ，AB 的比例中项），则可得出这一比值等于5-12即0.618…。
这种分割称为黄金分割，点P 称为_________。
如图所示注意：由黄金分割的定义知2AP AB PB=⋅.设AP=x ，则BP=AB-x ，所以2()x AB AB x =⋅-即220x ABx AB +-= 解得152x AB -±=. 因为x>0，所以512x AB -=,则有510.6182AP AB -=≈（一条线段的黄金分割点有两个。
）C E DB ACA D B.CBDEA(一)成比例线段1．已知，C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＜BC ，若AB=2，则BC=（ ） A ．﹣1 B ．（+1） C ．3﹣D ．（﹣1）2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AC=4，则线段AB 的长为（ ） A ．2﹣2 B ．2+2 C ．6﹣2 D ．6+2 3．若x y zk y z z x y x===+++，则错误！未找到引用源。
k = ．4.已知线段a 、b 、c 满足a ︰b ︰c ＝3︰2︰6，且226a b c ++=． （1）、求a 、b 、c 的值； （2）、若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．5.已知：线段a 、b 、c ，且432cb a ==．（1）求bba +的值．（2）如线段a 、b 、c 满足27=++c b a ，求a 、b 、c 的值．10.已知2==dc ba ，求ab a +和dc dc +-的值。
（二）平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =， 求证：111cab=+.l 3l 2l 1FE D CB A AB CDEEDC B AEDCBAFE DCBA3、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.4、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.5、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
FEDCBAFE DCBAOFEDCBA（三）相似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 1. 下列说法正确的是（ ）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
2 .下列每组图中的两个多边形，不是位似图形的是（）3. 如图，某铁道口安全栏杆的短臂长1m ，长臂长15m ，当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（ ） A. 30m B. 7.5m C. 14.5mD. 15.5m（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2 ABC EFGH E F BC G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15cm ，BC 边上的高AD=10cm ，求正方形的面积。
AH M GB E D F C14.一人拿着一支刻有厘米分布的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个单位恰好遮住电线杆，已知手臂约60厘米，求电线杆高。
5. AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，求梯子的长。
6.如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED 。
9.6米2米 A B C D(四)相似三角形1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）A.60°B.70°C.80°D.120°2、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8, 四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 23、图为❒ABC 与❒DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。
若❒ABC 与❒DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。
4.已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．545.如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．6.如图， ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则1112D E a =；若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；…………A B C D O 图1 B A C D E （第5题图）O A 1 A 2 A 3 A 4 AB B 1 B 2 B 314若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E _________.7、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。
8.如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。
A B D E F C E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1C BAAB C D E F G H9.如图所示，ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC=2，点D 在BC 上，︒=∠45ADE ，DE 交AC 于E ，求证：ABD ∆∽DCE ∆。
10、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E11.如下图，△ABC 中，AD ∥BC ，连结CD 交AB 于E ，且AE ∶EB=1∶3，过E 作EF ∥BC ，交AC 于F ，S △ADE =2cm 2，求S △BCE ，S △AEF .ABCED︒4512、如图13，设P 是等边△ABC 的BC 边上任一点，连结AP ，作AP 的中垂线交AB 、AC 于M 、N 。
求证：BP ·PC=BM ·CN 。
13.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ；（2）求证：EFBC AD 211=+。