浙教版七年级数学下册培优专题—第1讲 平行线性质和判定

4321CDBA第1讲 平行线性质和判定模块一 平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行． 判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行．如上图：若已知∠1＝∠2，则AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1＝∠3，则AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1＋∠4＝180°，则AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．例题1、（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．两直线平行，同位角相等；B ．内错角相等，两直线平行；4321ABC D EF HGNMC ．同旁内角互补，两直线平行；D ．同位角相等，两直线平行．答案：B（2）如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A ＝∠DCE ；④∠D ＝∠DCE ；⑤∠A ＋∠ABD ＝180°；⑥∠A ＋∠ACD ＝180°⑦AB ＝CD ．能说明AC ∥BD 的条件有__________________．答案：②④⑤例题2、如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，说明：AB ∥EF ．解：∵∠1＝∠2，（ ）∴AB ∥______．（_______________，__________________） ∵∠3＋∠4＝180°，（）∴CD ∥_______，（_______________，__________________） ∵AB ∥_______，CD ∥_______，（）∴AB ______EF ．（_______________ __________________）答案：已知，CD ，内错角相等，两直线平行。

已知，EF ，同旁内角互补，两直线平行，CD ，EF ，已证，∥，等量代换例题3、（1）如图，∠1＝∠2，∠CNF ＝∠BME ，说明：AB ∥CD ，MP ∥NQ ．21FCGDEABACDFEB解：∵∠CNF=∠BME ，且∠BME=∠AMN ， ∴∠AMN=∠CNF ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BMN=∠DNF ， 又∠1=∠2， ∴∠PMN=∠QNF ， ∴MP ∥NQ ．（2）如图，∠1＝∠A ，∠2与∠B 互余，AC ⊥BC ．说明：AC ∥DE ，AB ∥CD ． 解：∵∠1＝∠A E ∴AC ∥ED ， ∵AC ⊥BC ，∴∠2与∠BCD 互余， ∵∠2与∠B 互余， ∴∠B ＝∠BCD ∴A B ∥GQ ．（3）如图，∠B ＝102°，∠DEF ＝70°，说明：AB ∥CD ． 解：∵CD 与BF 相交于点E ∴∠DEF=∠BEC ∵ ∠DEF ＝70°∴∠BEC ＝70°∵∠B ＝102° ∴∠B+∠BEC=180° ∴AB ∥CD321ABCFE M GDN（4）如图，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFC ＝∠DCG ，说明：AD ∥EF ．解：∵∠A+∠B=180°， ∴AD ∥BC ， ∵∠EFC=∠DCG ， ∴EF ∥BC ， ∴AD ∥EF模块二 平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如图已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系．这就是平行线的性质． 性质1： 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2： 两条直线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3： 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 简称：两直线平行，同旁内角互补例题4、（1）如图，已知AB ∥CD ，∠1＝70°，∠2＝40°，求∠3的度数． 解：∵AB ∥CD∴∠2=∠BEN321DCBA∵∠2＝40° ∴∠BEN ＝40°∵∠1+∠3+∠BEN=180°，∠1＝70° ∴∠3=70°（2）如图，已知AB ∥CD ，∠1＝50°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ，求∠3的度数． ∵∠1=50°，∴∠BGF=180°-∠1=130°， ∵GM 平分∠BGF ， ∴∠BGM=12∠BGF=65°， ∵∠1=∠2=50°， ∴AB ∥CD ， ∴∠3=∠BGM=65°（3）如图，已知BC ∥AD ，CA 平分∠BCD ，∠1＝35°，求∠D 的度数．解：∵BC ∥AD ， ∴∠1=∠2=35°， 又∵∠2=∠3， ∴∠2=∠3=35°， 则∠BCD=70°，∴∠D=180°-∠BCD=110°．模块三平行线的判定与性质综合一般，题目会综合考查平行线的判定和性质，例如，可以先由题目中某些角相等或互补的条件，得到两条线相互平行（判定）；再由此平行线推出其它的同位角、内错角相等或同旁内角互补（性质），从而得到新的角度关系．熟练掌握、灵活运用平行线的判定和性质，是解平行线导角以及证明类题型的关键．例题5、（1）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1＋∠FEA＝180°．说明：∠CDG＝∠B．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，∴∠2=∠3，∵∠1+∠FEA=180°，∠2+∠FEA=180°，∴∠1=∠2．（同角的补角相等），∴∠1=∠3，∴DG∥AB，∴∠CDG=∠B（两直线平行，同位角相等）（2）如图，点E在直线BC上，直线AE交CD于F，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．说明：AD∥BE．BCAEF D解：∵AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠ACD ，∴∠2+∠CAE=∠ACD+∠CAE ， ∴∠DAC=∠4， ∵∠3=∠4， ∴∠DAC=∠3， ∴AD ∥BE（3）如图，AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ． ①若∠ABC ＝40°，∠CDE ＝30°，求∠BFD ； ②求∠C 和∠F 的关系．解：①根据模型可知，∠ABC +∠CDE ＝∠BFD∴∠BFD=70°②∠C =2∠F课后作业模块一 平行线的判定1、（1）如图，下列说法正确的有__________________． ① 由∠1＝∠2，得AB ∥CD ； ② 由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB ∥CD ；③ 由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE ∥CH ；④ 由∠SAF ＝∠SCG ，得AF ∥CG ．图1-1 图1-2（2）如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）． A ．∠2＝∠3 B ．∠1＝∠3C ．∠4＝∠5D ．∠2＋∠4＝180°答案：1（1）① ③④ （2）A2、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∠CAE ＝∠DBF ，说明：AE ∥BF ． 解：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，（ ）∴∠CAB ＝90°，∠______＝90°，（ ） ∴∠CAB ＝∠______，（ ） ∵∠CAE ＝∠DBF ，（ ） ∴∠BAE ＝∠______，（）∴_____∥_____．（_______________，__________________）742136FEBGHDACSFAGBEH C D21FCGDEAB答案：解：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB （已知）， ∴∠CAB=90°，∠DBA=90°（垂直定义）， ∴∠CAB=∠ABD ， ∵∠CAE=∠DBF （已知） ∴∠BAE=∠ABF ， ∴AE ∥BF ．3、（1）如图，FE ⊥CD 于点E ，∠FEH ＝64°，∠HGB ＝26°，说明：AB ∥CD ． 解：∵FE ⊥CD ∴∠FED=90° ∵∠FEH ＝64° ∴∠DEH=26°∵∠HGB ＝26° ∴AB ∥CD（2）如图，∠1＝∠A ，∠2与∠B 互余，DE ⊥BC 于点F ，说明AB ∥CD ．解：∵∠1＝∠A ∴AC ∥ED ∵DE ⊥BC ∴AC ⊥BC ∴∠ABC=90°∴∠2+∠BCD=90° ∵∠2与∠B 互余 ∴∠B=∠BCD ∴AB ∥CD模块二平行线的性质4、（1）如右图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°，求∠CDO的度数．解：∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠DCO=∠B=60°，∵AD∥BC，∠EDA=50°，∴∠DOC=∠EDA=50°，∴∠CDO=180°-∠DCO-∠DOC=180°-60°-50°=70°（2）如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，∠B＝74°，CM⊥CN，求∠NCE的度数．解：∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-∠B=180°-74°=106°，∠BCE=∠B=74°；∵CM平分∠BCD，∴∠BCM=106°÷2=53°，∵MC⊥CN，∴∠BCN=90°-∠BCM=37°，∴∠NCE=∠BCE-∠BCN=74°-37°=37°．（3）如图，已知AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC＝32°，求∠CAB的度数．解：∵AD⊥AC，21E C B A G D F H ∴∠CAD=90°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠ADC=32°，∴∠BAC=90°+32°=122°．模块三 平行线的综合运用5、（1）如图，已知∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，试说明AB ∥CD ．解：∵∠1=∠CGD ，∠1=∠2，∴∠2=∠CGD ，∴CE ∥BF ，∴∠C=∠DFH ，∵∠B=∠C ，∴∠DFH=∠B ，∴AB ∥CD ．（2）如图，已知∠1与∠2互补，∠3＝∠B ，说明∠AFE ＝∠ACB ．∵∠1+∠FDE=180°，∠1+∠2=180°，∴∠FDE=∠2，∴DF ∥AB ，∴∠3=∠AEF ，∵∠3=∠B ，∴∠AEF=∠B ，∴EF ∥CB ，∴∠AFE=∠ACB （两直线平行，同位角相等），（3）如图，AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，若∠ABC＝140°，∠CD3＝130°，分别求出∠C和∠F的度数．解：有模型可知∠ABC+∠CDE+∠C=360°，∴∠C=360°-（∠ABC+∠CDE）=90°∵BF、DF分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠AFB+∠EDF=12（∠ABC+∠CDE）=135°由模型可知∠BFD=∠ABF+∠EDF=135°（4）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH＋∠BHC＝180°，说明∠1＝∠2．解：∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°，∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2挑战试着说明三角形ABC三个内角的和等于180 ．解延长BA，过A作AE∥BC，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和等于180°．。