(完整版)培优专题(一)矩形的性质与判定的综合
1.2.3 矩形的性质与判定的综合运用九年级上册数学北师大版
O
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
BF
C
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝245cm．
∴OE ＝245cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. （教材P19习题1.6第5题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
矩形的判定 定理
直角三角形 斜边上中线
的性质
状元成才路
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
N 分别为 BC，AD 中点， ∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD , ∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
D N
C M
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
A
B
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
2. （教材P18习题1.6第1题）如图，在矩形 ABCD 中，对角
线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
新知探究
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线
AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED =
3BE. 求 AE 的长.
A
D
O
E
B
C
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
2022八年级数学下册 第五讲 矩形的性质与判定(培优版)
第五讲矩形的性质与判定（培优）【版块一矩形的性质】【题型一】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（）A．1或3B．2C．2或4D．1或2【题型二】如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE ＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．【题型三】矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．【题型四】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝度．【题型五】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则EF的最小值为．【题型六】如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：其中正确的有（填序号）①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，【题型七】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝2，求AB 的长．【题型八】．已知，如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．（1）判断三角形形BEF的形状，并说明理由．（2）求△ABE的面积．（3）求折痕EF的长．【题型九】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q 分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．【版块二直角三角形斜边上的中线】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定2．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠BAC＝72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF＝2AC，则∠BAG＝．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F 为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6B．3C．8D．65．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH 的长是（）A．2.5B．C．D．26．只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4【版块三矩形的判定】【题型一】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．【题型二】如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．【巩固训练】1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．132．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝．3．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②AC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确的结论的序号是．4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为16，宽AB为8，求：（1）AE和DE的长；（2）阴影部分的面积．。
矩形的性质与判定(一)
O B C
练 习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积.
第七环节：反思交流，反馈提高
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质 （4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等 的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全 等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直 角三角形或等腰三角形的问题来解决。
矩形的定义：有一个内角是直角的平行 四边形是矩形
第二环节：分组讨论，探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有 平行四边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线
对称 性
中心 对边平行 对角线互 矩形 对角相等 对称 且相等 相平分 图形
结论 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
第一章
特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定（一）
第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
问题2：利用一个活动的平行四边形教具 演示,使平行四边形的一个内角变化， 请同学们注意观察：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的 平行四边形是什么图形?
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条 对角线的一个交角为120°，则矩形的长和 宽分别为 _____。
矩形的性质与判定（一）
矩形的性质与判定（⼀）矩形的性质与判定（⼀）双流县西航港⼆中杜安兴⼀、学情分析●学⽣已有知识和⽣活经验学⽣已经学习了平⾏四边形的性质和判定，也学习了⼀种特殊的平⾏四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有⼀定的学习经验和感受，同时学⽣在⽣活中接触过⼤量的与矩形有关的图案和物品，对矩形有较多的感性认识和实践经验，这将更有利于学⽣对本节课的学习.●学⽣起点能⼒分析通过初⼀阶段空间与图形的学习学⽣已经掌握了平⾯图形及其位置关系、平⾏线与相交线、三⾓形的相关知识，具有了⼀定的图形观察、分析、说理、探究的能⼒，并积累了初步的数学活动的经验，有⼀定的⾃主探究与合作交流的能⼒.⼆、教材分析《矩形的性质与判定（⼀）》是义务教育课程标准北师⼤版义务教科书九年级（上）第⼀章《特殊平⾏四边形》第2节.●教材内容结构本节课的内容⾸先是在平⾏四边形的基础上引⼊矩形的概念，然后利⽤平⾏四边形的不稳定性进⾏形状变化，探索变化过程中两条对⾓线间的关系，从⽽得出矩形性质，最后再加以对矩形的判定.●教材的地位和作⽤本节教材是继初⼀掌握简单平⾯图形、平⾏线、三⾓形及本章对平⾏四边形、菱形学习的基础上，通过类⽐的学习⽅法，探究，发现矩形的性质，判定，引导学⽣学会解决这类问题的⼀般⽅法，为后⾯学习正⽅形奠定基础.三、⽬标分析●知识与技能⽬标1.理解矩形的概念；2.掌握矩形的有关性质；3.掌握直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半.●过程与⽅法⽬标1.经历探索矩形性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学⽣初步合情推理能⼒，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本⽅法，培养学⽣⽤联系和发展的眼光去认识和研究事物.2.通过认真观察，⾃主探索与合作交流的数学活动，促进学⽣观察、分析、归纳、概括以及创新思维能⼒的发展.●情感与态度⽬标在矩形的学习活动中，通过联系矩形在⽣活实际中的应⽤和利⽤矩形的性质解决⼀些实际问题，从⽽感受数学知识的应⽤价值，激发学⽣学习的情感.四、教学重点、难点●教学重点矩形性质的理解运⽤．●教学难点矩形性质的综合应⽤．●解决重难点的⽅法与策略从古代名⼈经典名句引⼊课题，结合教具和多媒体直观演⽰，和通过学⽣动⼿操作，互动研讨,加深对矩形性质的理解,并配合由浅⼊深的练习，使学⽣掌握矩形的性质和判定.五、教法、学法●教法：本课采⽤“探究——发现”的教学模式进⾏教学为了实现本节课的教学⽬标,我在教法上⼒求从以下三个⽅⾯对学⽣进⾏引导:1. 从创设问题情景引⼊,通过动画展⽰,展开教学过程；2. 通过问题串引导学⽣探讨交流 ,由浅⼊深、递进探究、从⽽激活学⽣思维；3. 利⽤师⽣、⽣⽣互动交流、探究归纳,发现规律、培养学⽣良好的解题能⼒.●学法：本节课注重突出学⽣的主体作⽤，在学法上重点突出让学⽣动⼿操作、动脑思考和互动交流，在探究性学习中，通过师⽣、⽣⽣互动，达成对矩形性质和常⽤判别⽅法的理解和掌握，并在问题的研讨中提⾼对实际问题的解决能⼒.●课前准备教具: 教案、电脑、多媒体课件、平⾏四边形教具.学具: 笔记本、课堂练习本、作图⼯具．六、教学环节设计⼩组合作探讨交流七、教学过程●第⼀环节: 创设情景、引⼊课题教师：《战国策》记载了孟⼦的⼀句名⾔：不以规矩，不能成⽅圆。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积5=长*宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF,求证：AF二DE。
△“【例2】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是B C，AD上的点，且BE=DF。
求证：AABE/A CDF。
【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,/AOB=600,AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A.2B.4c.2<3D.4<3【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行【变式2】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果A AB C的周长比A AOB的周长大10cm，则边AD的长是。
【变式3】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果Z BAF=60。
，则/DAE=考点2矩形的判定【例4】如图，在4ABC中，AB=AC,D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，4ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
【例6】如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是/DAB、^ABC,Z BCD、Z CDA的平分线，AQ与BN交于P,CN与DQ交于M，证明：四边形PQM N是矩形。
最新版初中数学教案《矩形的性质与判定的综合应用》精品教案(2022年创作)
1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用教学目标【知识与能力】熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明．【过程与方法】经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别．【情感态度价值观】通过严谨的推理，强化学生的标准意识．教学重难点【教学重点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【教学难点】利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化．课前准备生活中常见的建筑图片(多媒体)、常见几何体模型.教学过程【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 3BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
矩形专题培优训练
矩形专题培优训练引言矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中有着广泛的应用。
熟练掌握矩形的性质和应用是学生数学素养提高的关键之一。
为了帮助学生夯实矩形的基础知识，本文将介绍矩形的定义、性质、判定方法以及应用，并提供相关题目进行培优训练。
1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，其特点是四条边两两相等且相邻两边互相垂直。
换句话说，矩形是一种具有四个直角的四边形。
2. 矩形的性质矩形具有以下性质：•四条边两两相等且相邻两边互相垂直；•对角线相等，且互相平分；•对角线互相垂直；•任意一条高将矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的面积等于长乘以宽。
3. 矩形的判定方法判定一个四边形是否为矩形可以根据以下方法进行：•判断四条边是否两两相等；•判断相邻两边是否互相垂直。
只有当上述两个条件都满足时，四边形才能被判定为矩形。
4. 矩形的应用4.1. 建筑设计矩形在建筑设计中有着广泛的应用。
矩形的稳定性使其成为常用的建筑基本单位，如墙壁、门窗等。
4.2. 计算面积由于矩形的面积可以简单地通过长乘以宽来计算，因此在日常生活中，矩形常被用来计算物体的面积，如家具、地板等。
4.3. 绘制图表矩形可以用来绘制各种图表，如柱状图、折线图等。
矩形的四条边都是直线，使得图表的绘制更加规整美观。
5. 矩形专题培优训练题目1.已知一个四边形的四个顶点依次为A(3,5)、B(9,5)、C(9,9)、D(3,9)，判断该四边形是否为矩形。
2.若一个四边形的对角线互相垂直，且其中一条对角线的长度为6，求另一条对角线的长度。
3.一个矩形的面积是36平方单位，若它的长与宽的比为3：2，求其长和宽。
4.在一个矩形的两个相邻顶点上，分别有两只蚂蚁开始移动，它们同时以相同的速度沿着矩形边界行走，两只蚂蚁行走的路径互相垂直，当两只蚂蚁行走一圈后，它们相遇在矩形的中点上，请问矩形的长和宽的比是多少？矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中具有重要的地位。
矩形培优
矩形一、复习回顾基础知识矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
具有平行四边形的一切性质矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形。
二、矩形的性质应用例题1、矩形ABCD 中，CE ⊥BD,∠DCE=3∠BCE ，F 是OC 的中点， 求证：EF ⊥OC例题2．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
例3．矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥于G ，求证：AD FG FH =+A C BEDF OABCEDF DAE GCBF H例题4．（2007重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。
．例题5．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若 ∠CAE =15°，求∠BOE 的度数．例题6．如图，直角坐标平面中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）. 动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动. 其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动. 过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP. 已知动点运动了x 秒.（1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含x 的代数式表示） （2）试求△MPA 面积的最大值，并求此时x 的值.（3）请你探索：当x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？请写出你的研究成果.y x P D CB A O YC NBAPOMxFE C B A例题7 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ， 求证：CF BD =．三、矩形的判定例题1．已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．例题2．已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 互相平分于点O ，∠AEC ＝∠BED ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．例题3如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．例题4.如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。
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∠MBA.
证明： ∵在矩形ABCD中，M是CD的中点，
∴DM＝CM，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADM≌△BCM，
∴MA＝MB，
图2
∴∠MAB＝∠MBA.
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3．如图3，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连 接AF，CE. (1)求证：△BEC≌△DFA； (2)求证：四边形AECF是平行四边形．
形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
图7
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
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∵EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形．ຫໍສະໝຸດ 数学人教版八年级下册
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8．如图8，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A 点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系？为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理 由．
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图4
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证明： (1)在矩形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC. ∵ BE＝ CF， BF＝ BC－ FC， CE＝ BC－ BE， ∴ BF＝ CE.
在△ABF 和△DCE 中，A∠BB＝＝D∠C， C， BF＝CE，
∴ △ABF≌ △ DCE(SAS)； (2)∵△ABF≌ △ DCE， ∴ ∠ BAF＝∠ CDE. ∵ ∠DAF＝ 90° －∠ BAF，∠ EDA＝ 90° －∠ CDE， ∴ ∠DAF＝ ∠EDA， ∴ OA＝ OD， ∴△AOD 是等腰三角形．
图8
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解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E是AD 的中点，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝CD.又∵AF ＝BD，∴BD＝CD. (2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.又 ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边 形AFBD是矩形．
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5．[2014·沈阳]如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF. 求证：OE＝OF.
图5
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证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， AC＝BD，OD＝12BD，OC＝12AC， ∴OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ADC－∠ODC ＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO. 又∵DE＝CF，OD＝OC， ∴△ODE≌△OCF，∴OE＝OF.
边
AB， CD
的
中
点
，
∴
AE＝
1 2
AB ，
CF
＝
1 2
CD
，
∴
AE
＝
CF.
又
∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形．
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4．如图4，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连 接AF，DE交于点O. 求证：(1)△ABF≌△DCE； (2)△AOD是等腰三角形．
图3
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证明： (1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝DA，
AB＝CD.又∵E，F 分别是边 AB，CD 的中点，∴BE＝12AB，DF＝
12CD，∴BE＝DF，
∴△BEC≌△DFA(SAS)；
(2)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AE∥CF，AB＝CD.又∵E，F 分别是
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6．如图6，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，AE＝ CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF， ∠BEF＝2∠BAC. (1)求证：OE＝OF； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
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图6
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∵BC＝2 3， ∴AC＝2BC＝4 3， ∴AB＝ AC2－BC2＝ （4 3）2－（2 3）2＝6.
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二、矩形的判定
7．已知，如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，求证：四边
培优专题(一) 矩形的性质与判定的综合
一、矩形的性质 1．[2014·哈尔滨]如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点
P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角 形，则PB的长为___5_或__6___．
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图1
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2．如图2，在矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：∠MAB＝
(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AOE 和△COF 中，
∠EAO＝∠FCO， ∠AOE＝∠COF， AE＝CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF；
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(2)解：连接 OB， ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF. 由(1)中△AOE≌△COF 得 OA＝OC，即点 O 是矩形对角线的交点． 根据矩形的性质，得 OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO， 又∵∠BEF＝2∠BAC， 且在 Rt△BEO 中，∠BEF＋∠ABO＝90°， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°， 解得∠BAC＝30°.
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9．如图9，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE 交DC的延长线于点F. (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为 矩形．
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图9
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证明：(1)∵点 E 是 BC 边的中点， ∴BE＝CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE＝∠CFE. 在△ABE 与△FCE 中，