高中数学第2章数列2.2.3等差数列的前n项和课件苏教版必修5
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五
第二章 数列 重难点解析
第二章 课文目录 2． 1 数列的概念与简单表示法 2． 2 等差数列
2． 3 等差数列的前 n 项和 2． 4 等比数列
2． 5 等比数列前 n 项和
【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式
【难点】
1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法
⒈ 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做 数列 .
注意 ：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么
它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 .
⒉ 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第
2 项， ，第 n 项， .
⒊数列的一般形式 ：
a1 , a2 , a3 , , an , ，或简记为 an ，其中 an 是数列的第 n 项
高中数学必修五第二章数列学案 等差数列的前n项和(2)
高中数学-打印版
精心校对 §2.3 等差数列的前n项和(2)
主备人： 王 浩 审核人： 马 琦
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究nS的最大（小）值.
学习过程
一、复习回顾
1：等差数列{na}中， 4a＝－15， 公差d＝3，求5S.
2：等差数列{na}中，已知31a，511a，求和8S.
二、新课导学
※ 探究一：如果一个数列na的前n项和为2nSpnqnr，其中p、q、r为常数，且0p，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※探究二：记等差数列{}na的偶数项和为S偶，奇数项和为S奇．当项数为2n时，则有
SSnd奇偶 ；当项数为21n时，则有nSSa奇偶 。
※探究三：当等差数列{}na的项数为21n时，有12nS= 。
※ 典型例题
例1、已知数列{}na的前n项为212nSnn，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列高中数学-打印版
精心校对 吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列{}na的前n项为212343nSnn，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项na和前n项和nS关系为
na=11(1)(2)nnSnSSn，由此可由nS求na.
例2、等差数列{}ma共有2n项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且
2133naa，求该数列的公差d。
变式：已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，求nnab。
例2、已知等差数列2454377，，，....的前n项和为nS，求使得nS最大的序号n的值.
人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
等差数列的前n项和
(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？
[新知初探]
1．数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用
公式 Sn＝na1＋an2 Sn＝na1＋nn－12d
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又∵a1＝S1＝3，
∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
答案：(1)√ (2)× (3)× 预习课本P42～45，思考并完成以下问题 2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.nn＋12
解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12，故选D.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( )
A．16 B．24
C．36 D．48
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，
高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和习题课练习新人教A版5讲解
1 2.3 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝a2＋a2n2·n＝n·an＋1＝480.
所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.
答案：C
2．等差数列{an}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5 B．72.5 C．60 D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为( )
A.310 B.13 C.18 D.19
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.
所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.
所以S6S12＝310.
答案：A
4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35 C．66 D．100
解析：易得an＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 2 令an>0则2n－5>0，所以n≥3.
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]
＝66.
答案：C
人教版高中数学必修五教案：2.3等差数列的前n项和(一)
课题 2.3等差数列的前n项和（一）
课型
新授课 [来源:]
课时：
1
授课时间：
教 学
目 标
知识与技能：
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：
通过对等差数列前n项和公式的学习，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
情感态度与价值观：
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学
重点 等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学
难点 灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
教学
手段 多媒体辅助教学
教学方法 先学后教，讲练结合
教 二次备课 学
过
程 一、复习引入：1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：（1） （2） （3）
=pn+q (p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① － ② ③
4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：数列中，称为数列“小故事”1、2、3目,老师说: “现在给大家出道题目:过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 二、讲解新课：
1．等差数列的前项和公式1：
贵州省高中数学人教版必修5第二章数列2.3等差数列前n项和同步练习
第 1 页 共 13 页 贵州省高中数学人教版必修5 第二章 数列 2.3 等差数列前n项和 同步练习
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
选择题 (共16题；共32分)
1. （2分） 数列 满足 ,且
，则 （ ）
A . 95
B . 190
C . 380
D . 150
2.
（2分） 在首项为57，公差为-5的等差数列中，最接近零的是第（ ） 项.
A . 14
B . 13
C . 12
D . 11
3. （2分） (2017·芜湖模拟) 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn ， S10=40，则a3•a8的最大值为（ ）
A . 14
B . 16
C . 24
D . 40
4. （2分） (2017·黑龙江模拟) 在等差数列{an}中，前n项和为Sn ， 且S2011=﹣2011，a1012=3，则S2017等于（ ）
A . 1009
第 2 页 共 13 页 B .
﹣2017
C . 2017
D .
﹣1009
5.
（2分）
设等差数列的公差d≠0，
． 若是与的等比中项，则k=（ ）
A . 3或 -1
B . 3或1
C . 3
D . 1
6. （2分） (2015高三上·合肥期末) 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，S7=70，则a2=（ ）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
7. （2分） (2019高一下·余姚月考) 设无穷项等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，则下列四个说法中正确的个数是（ ）
①若 ，则数列 有最大项；②若数列 有最大项，则 ；③若数列 是递增数列，则对任意的 ，均有 ；④若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列.
人教A版高中数学必修五 2.3等差数列的前n项和 教案
2.3 等差数列的前n项和
一、教学目标：
知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式.
过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；
2. 通过公式的运用体会方程的思想。
情 感 态 度： 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.
教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.
三、教学策略及设计
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
四. 教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。
四、教学过程： 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
温故知新，提出问题
1.明确数列前n项和的定义，开门见山确定本节课中心任务:
对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记 sn=a1+a2+a3+…+an，
如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7
学生回答，引导温故知新。 由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
高中数学必修5-第二章数列-5.备课资料(2.3.2 等差数列的前n项和(二))
备课资料
等差数列的几个性质
等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多
【性质1】 已知等差数列{an}，m、p、q∈N*，若存在实数λ使1qpm (λ≠-
则1qpmaaa
证明：由等差数列{an}的通项公式an=dn+a1-d的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得mqaapmaamqpm，因为1qpm，所以qmmp
所以λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即1qpmaaa
评析：特别地,当λ=1时，2am=ap+aq，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式
【性质2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若kiikiimn11
则kimkimaa11
证明：设等差数列{an}的公差为d.根据ani=ami+(ni-mi)d，
则kimikikikiiimikiniadmnaa11111)(.所以kimikiniaa11
推论：等差数列{an}，n i，m∈N *，i=1,2,3,…,k,若kiinkm1.则kinmiaka1.
评析：本性质实质上是等差中项性质的推广
【性质3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.n，m∈N*
则dnmnSmSnm)(21
证明:因为mnmSnSnSmSnmnm
=mndnnnamdmmman]2)1([]2)1([11
=mndnmnmnadmmnmna2)1(2)1(11
=dmnmnmnmnnm222
=dmnmnnm222
=dmnnmmn2)(
=dnm)(21
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_21
九
连
环
普通高中课程标准实验教科书人教A版选修5第二章第五节阅读与思考
一师一优课
一课一名师 九连环中的数学
一、 教学内容解析
九连环是我国传统的益智类玩具，是中国传统文化的结晶，具有较强的趣味性，它不仅锻炼大脑，活动手指，其中蕴藏的数学原理还能开发人的逻辑思维能力、培养人的精神品格．
在高中课本中，九连环位于人教A版《数学必修5》第二章第五节的“阅读与思考”栏目，是在学生学习完数列之后展开的，主要就是利用数列的递推关系去解决解九连环的最少步数问题．事实上，“九连环”作为递推数列生动的背景，它不但能发展学生的逻辑思维能力，而且能培养学生求真求实的数学精神与迎难而上、坚韧不拔的人格品质，也可作为培养学生核心素养的探究课来尝试．
同时本节课的学习，为将来学习高等数学打下基础，也为用数学知识研究现实生活中的的实际问题做铺垫．让学生进一步体会数学抽象数学建模等的核心素养，感受数学来源于生活而用于生活．
二、 学生情况分析
1．从学生的认知基础看：学生之前已经学习了数列的相关知识，对等差数列、等比数列、递推关系等知识有了一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力．但是他们无法将所学知识与实际问题产生联系，并将数列的递推关系运用于现实问题，这其实是教学中的一大难点．
2．从学生的思维品质看：学生在学习完数列这一章后对数学又了一定的理解，也能解决一些简单的等差数列、等比数列等问题，并能通过一些简单的递推关系求出数列通项，比如一阶二阶的数列．但是这个年龄段的学生普遍欠缺提出问题，发现问题，解决问题的能力，同时数学抽象的能力不足，数学建模的素养欠缺．
三、 教学目标设置
依据教学大纲的教学要求，根据新课程的教学理念，从发展学生的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学计算、数据分析出发，确定本节课的教学目标如下：
（一）知识与技能
1．理解用化归、递归、类比、函数等思想解决九连环计数问题的方法．
人教新课标A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前n项和同步测试
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人教新课标A版 高中数学必修5 第二章数列2.3等差数列的前n项和 同步测试
一、单选题（共15题；共30分）
1.已知等差数列， 则它的公差是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.等差数列前几项和为Sn ， 且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
3.设等差数列的前n 项和为， 若,2,也成等差数列，则等于 （ ）
A. 10 B. 0 C. 4 D. 8
4.等差数列前n项和为Sn ， a1=1，d=2，则S10=（ ）
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100