高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.2.2等差数列前n项和的性质课件北师大版必修5
解析: ∵公差 d=
2������-13 ≤ 0, ������������ ≤ 0, 由 得 ������������ +1 ≥ 0, 2������-11 ≥ 0, ∴5.5≤n≤6.5. 又n∈N+,∴n=6. 答案:6
-5+11 =2,∴an=2n-13,n∈N+. 3
题型一
题型二
题型三
题型一 等差数列前n项和的性质 【例1】 (1)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和 为33,求这个数列的中间项及项数. (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110 项之和. 分析:(1)考查等差数列奇数项、偶数项、特殊项和项数之间的关 系. (2)本题基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,求Sn再求S110,或利用性 质.
D=-22,
∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22) =-120. ∴S110=-110. 解法四:S100-S10=a11+a12+…+a100 =
∵S100-S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2. ∴S110=
110(������1 +������110) =-110. 2
(2)函数法:把 Sn=na1+
������( ������- 1) ������视为关于������的二次函数, 2
利用二次函数的知识来求最值, 但必须注意到������ ∈N+.
【做一做2-1】 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n 项和Sn取得最大值的自然数n是 . 解析:∵|a3|=|a9|,且d<0, ∴a3=-a9.∴a3+a9=0,即a6=0. ∴使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6. 答案:5或6 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,若a1=-11,a4=-5,则当前n项和 Sn取最小值时,n= .
题型一
题型二
题型三
(2)解法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn, 则 Sn=na1+
������(������-1) d. 2 10×9 ������ = 100, 2 由已知得 100×99 100������1 + ������ = 10. 2 11 ①×10-②整理得 d=-50, 1 099 代入①,得 a1= , 100 110×109 ∴S110=110a1+ 2 d 1 099 110×109 11 =110× + × 100 2 50 1 099-109×11 =110× 100
5������1 + 20������ = 15, 解法二:解方程组 得d=3.故选 C. 5������2 + 20������ = 30,
答案:C
2.等差数列{an}的前n项和Sn的最值 首先要明确,此类问题一定是针对变号的等差数列而言.因为当 公差d≠0时,等差数列一定是单调数列,所以只有一个变号点. 常用方法如下: (1)定义法:Sn=a1+a2+…+an. 从等差数列的单调性分析Sn值的变化. 当a1>0,d<0时,n为使an≥0成立的最大的自然数时,Sn最大,因为当 an>0时,Sn-1<Sn,递增;当an+1<0时,Sn>Sn+1,递减;类似地,当a1<0,d>0 时,n为使an≤0成立的最大自然数时,Sn最小.
90(������11+������100) 2
=
第2课时 等差数列前n项和的性质
1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的性质,并能熟练运用这些性 质解题. 2.掌握等差数列与函数之间的关系.
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
Sn=n·2
������������ +������������ 2
2Hale Waihona Puke +1������
,
������ ������
奇 偶
=
2 . ������������ +1 2
������������
【做一做1】 已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶 数项之和为30,则其公差d为( ). A.5 B.4 C.3 D.2 解析:解法一:由题意得,S偶-S奇=5d=15,所以d=3.
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
题型二
题型三
解法三:数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列. 设其公差为 D,前 10 项的和为
10×9 10S10+ · D=S100=10,解得 2
题型一
题型二
题型三
解:(1)设等差数列{an}共有2n-1项,则奇数项有n项,偶数项共有n-1 项,中间项为an. ������奇 ������ 44 ∴ = = , ∴ ������ = 4. ������偶 ������- 1 33 S奇-S偶=an=44-33,∴an=11. ∴这个数列{an}的中间项为11,项数为7.
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和
为
.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
13(1 +13 )
∴S13=
=52.
2
2
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 32 + 82 +2a3a8=9,则它的前10项和
S10等于(
A.-11
).
B.-9 C.-15 D.-13
解析:∵32 + 82 +2a3a8=9,
∴(a3+a8)2=(a1+a10)2=9.
∵an<0,∴a1+a10<0.
10(1 +10 )
1, = 1,
故 an=
2 × 3-1 , ≥ 2.
【思想方法】
应用方程思想解决等差数列问题
【典例】 等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n的值.
1 + 9 = 30,
1 = 12,
解:(1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
2
2
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
4×3
4 = 41 + 2 × = 20,
1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
情景二 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn 4n n(n 1) 6 3n 2 n 2
例3.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得n=9，n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和 1645
Sn a1 a2 a3 an
其中
a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an13 an2 a1
2Sn a 1 an a 1 an a 1 an a 1 an
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
2 1 21 20 19
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2 第2课时 等差数列的综合问题学案(含解析)北师
第2课时等差数列的综合问题知识点一等差数列的性质[填一填](1)若{a n}为等差数列，则距首末距离相等的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(2)若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若{a n}为等差数列，m，k，n成等差数列，则a m，a k，a n也成等差数列(m，k，n∈N＋)，即若m＋n＝2k，则a m＋a n＝2a k.[答一答]1．对于性质：若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p ＋a q，请给出证明．提示：证明：设{a n}的公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，∴a m＋a n＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴a m＋a n＝a p＋a q.知识点二 等差数列前n 项和的性质[填一填](1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可写成S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，即S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)的形式，当A ≠0时(即d ≠0)，S n 是关于n 的二次函数，其图像是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．(2)若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 为常数)是等差数列．(3)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)也是等差数列，其公差等于k 2d .(4)若等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)，且S偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(5)若等差数列{a n }的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 为中间项)，且S 奇－S偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n .[答一答]2．等差数列前n 项和的“奇偶”性质：在等差数列{a n }中，公差为d ，①若数列共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n(n ＋1)．请给出证明．提示：证明：①若数列共有2n 项，则S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝2n (a n ＋a n ＋1)2＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝n (a 1＋a 2n －1)2＝2na n2＝na n ，S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(2n ＋1)a n ＋12＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(n ＋1)a n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1， S 偶S 奇＝n(n ＋1)．1．三数成等差数列的设法为：a －d ，a ，a ＋d ，其中d 为公差；四数成等差数列的设法为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其公差为2d .2．会用方程的思想处理等差数列的有关问题．等差数列的通项公式与前n 项和公式涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，知道其中任意三个就可以通过列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”)．解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确．类型一 等差数列的性质的应用【例1】 在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋a 8＝________；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4<a 2，则a 5＝________； (3)若a 3＝6，则a 1＋2a 4＝________.【解析】 若设出a 1，d 从通项公式入手，运算过程较为繁琐，若能利用性质，可使问题简化．(1)∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，又由已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，∴5a 5＝350， ∴a 5＝70，∴a 2＋a 8＝2a 5＝140.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，又由等差数列的性质知a 3＋a 4＝a 2＋a 5，∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17.又a 2·a 5＝52，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17a 2·a 5＝52，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 5＝4，又∵a 4<a 2，∴a 4－a 2＝2d <0， ∴d <0，∴a 2>a 5，∴a 5＝4.(3)∵a 3＝6，∴a 1＋2a 4＝a 1＋a 3＋a 5＝a 3＋(a 1＋a 5)＝a 3＋2a 3＝3a 3＝18. 【答案】 (1)140 (2)4 (3)18规律方法 等差数列具有一些性质，例如当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝2a k ；a n ＝a m ＋(n －m )d 等等．灵活运用这些性质，可大大简化解题过程．【例2】 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列的通项公式． 【思路探究】 要求通项公式，需要求出首项a 1及公差d ，由a 2＋a 5＋a 8＝9和a 3a 5a 7＝－21直接求解很困难，这就促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a 2＋a 8＝2a 5＝a 3＋a 7，问题就容易解决了．【解】 a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，又由等差数列的性质知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5，∴a 5＝3， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6，① 又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7，②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1. ∴a 3＝－1，d ＝2或a 3＝7，d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d ， 得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13.规律方法 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，此性质要求等式两边必须是两项和的形式，否则不成立，如a 10≠a 2＋a 8，只能是a 2＋a 8＝a 3＋a 7，使用时应切记它的结构特征．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝36，则a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝90. 解析：a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝2a 5＝36， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝＝36＋36＋18＝90.类型二 等差数列前n 项和的性质【例3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【思路探究】 根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．【解】 设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)个，偶数项有n 个，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，所以S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)·(n ＋1)12(a 2＋a 2n )·n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.解得n ＝3.又因为S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，所以a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7项．规律方法 在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝na n ＋1；(2)若数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .【例4】 已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540【解析】 方法一：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝30，30a 1＋435d ＝210，解得⎩⎨⎧a 1＝65，d ＝25.∴S n ＝65n ＋n (n －1)2·25＝15(n 2＋5n )．∴S 20＝15×(202＋5×20)＝100.方法二：设S n ＝An 2＋Bn ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝30，900A ＋30B ＝210，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝15，B ＝1.∴S n ＝15n 2＋n .∴S 20＝15×202＋20＝100.方法三：由题意，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也是等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即S 20＝13(3S 10＋S 30)＝S 10＋13S 30＝100.【答案】 A规律方法 一个等差数列，从首项起，分成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列．若每段含有n 项，则新公差是原公差的n 2倍．(1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1010－S 88＝2，则S 2 017的值等于－2_017.解析：(1)由等差数列前n 项和的性质，得S 偶－S 奇＝102×d (d 为该数列的公差)，即30－15＝5d ，解得d ＝3.(2)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1010－S 88＝2得－2 017×10＋10×92d10－－2 017×8＋8×72d8＝2，解得d ＝2，所以S 2 017＝－2 017×2 017＋2 017×2 0162×2＝－2 017.方法二：由等差数列前n 项和的性质可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则由S 1010－S 88＝2可得2d ＝2，即d ＝1.又S 11＝－2 017，所以S 2 0172 017＝－2 017＋(2 017－1)×1＝－1，所以S 2 017＝－2 017.类型三 等差数列的综合应用题【例5】 已知数列{a n }是等差数列． (1)若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n ； (2)若S m ＝n ，S n ＝m (m >n )，求S m ＋n .【思路探究】 (1)由通项公式或前n 项和公式得a 1和d 的关系，通过解方程组求得a 1和d ，进而求得a m ＋n 和S m ＋n .(2)利用等差数列的性质可使问题简化．【解】 设首项为a 1，公差为d ， (1)解法一：由a m ＝n ，a n ＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得a 1＝m ＋n －1，d ＝－1.∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0. 解法二：由a m ＝n ，a n ＝m ，得d ＝n －mm －n ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ×(－1)＝0. (2)解法一：由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝na 1＋n (n －1)2d ，n ＝ma 1＋m (m －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝n 2＋m 2＋mn －m －nmn ，d ＝－2(m ＋n )mn .∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝－(m ＋n )．解法二：∵{a n }是等差数列， ∴可设S n ＝An 2＋Bn .则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ，①An 2＋Bn ＝m .②①－②得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m ， ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1.∴S m ＋n ＝A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )．规律方法 (1)灵活运用性质求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；(2)在应用性质：若m ＋n ＝l ＋k ，则a m ＋a n ＝a l ＋a k 时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，且前n 项和为S n . (1)求数列{S nn }的前n 项和T n ；(2)求数列{1T n}的前n 项和．解：(1)由a n ＋1＝a n ＋2，得数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，公差d ＝2， 从而a n ＝2n －1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.∴S nn ＝n ，从而T n ＝n (n ＋1)2. (2)由(1)有1T n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，其前n 项和为2[(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2nn ＋1.——多维探究系列—— 特殊值法解等差数列问题特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的．用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．【例6】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1,2，…，则a n ＝________.【思路分析】 因S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2d ，则S 2n ＝2na 1＋2n (2n －1)2d ＝2n ＋n (2n －1)d ，故S 2n S n ＝2n ＋n (2n －1)d n ＋n (n －1)2d＝2(2dn ＋2－d )dn ＋2－d ＝4n ＋2n ＋1， 解得d ＝1，则a n ＝n . 【规范解答】 n已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，若a 2＝4，则a 9＝( C ) A ．6 B ．9 C ．18D ．20解析：解法一：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝2a 4＋a 1＝4a 2＋a 1＝18.解法二：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，令p ＝n ，q ＝1，所以a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是等差数列，且首项为2，公差为2，故a 9＝2＋(9－1)×2＝18.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝10，则a 3的值为( C ) A.65B ．1C ．2D ．3 解析：∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，∴a 3＝15S 5＝15×10＝2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( C ) A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由题意，得6＝3×4＋3×22d ，解得d ＝－2.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( C ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝4，a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝95. 二、填空题4．在数列{a n }中，a n ＝5n －105，则当n ＝20或21时，S n 取最小值．5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为110.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110. 三、解答题6．等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝－38，a 12＝0，求S n 的最小值以及相对应的n 值． 解：解法一：(单调性法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝－38a 1＋11d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－22d ＝2.∴当⎩⎨⎧ a n ≤0a n ＋1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋2(n －1)≤0－22＋2n ≥0时，S n 有最小值，解得11≤n ≤12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法二：(配方法)由解法一得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－22d ＝2，∴S n ＝－22n ＋n (n －1)2×2＝n 2－23n ＝⎝⎛⎭⎫n －2322－5294， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法三：(邻项比较法)由解法二得S n ＝n 2－23n ，又由⎩⎪⎨⎪⎧ S n ≤S n －1，S n ≤S n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－23n ≤(n －1)2－23(n －1)，n 2－23n ≤(n ＋1)2－23(n ＋1)， 解得11≤n ≤12，故S 11＝S 12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132.。
《等差数列的性质》课件
等差数列的性质
公差定义
等差数列中，相邻两项之间的差值称为公差。
性质2：中间项等于前后两项之和的一 半
等差数列的中间项等于前ห้องสมุดไป่ตู้两项之和的一半。
性质1：差是固定值
任意两项的差是一个固定值。
性质3：前n项和公式
等差数列前n项和的公式是Sn = (n/2)(2a1 + (n 1)d)。
等差数列的应用
等差中数的求解
通过等差数列的中项公式，可以求解等差数列中任 意位置的值。
等差数列和的应用
等差数列的求和公式可以在金融领域中使用，计算 利息和投资回报等。
总结
1 等差数列是什么？
等差数列指的是每个相邻项之间的差值是恒定的数列。
2 等差数列有哪些性质？
等差数列具有固定公差、任意两项的差为固定值，中间项等于前后两项之和的一半等性 质。
3 等差数列有什么应用？
等差数列的应用包括求解等差中数和计算等差数列的前n项和，还可在金融领域中进行利 息和投资回报的计算。
《等差数列的性质》PPT 课件
欢迎来到《等差数列的性质》PPT课件！本课程将带您深入了解等差数列的基 本概念和重要性质，以及其在数学和实际生活中的应用。
什么是等差数列
等差数列是一种数学序列，其中每个相邻的项之间的差值是恒定的。 等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
1.2.2等差数列的前n项和课件高二下学期数学北师大版选择性
实例分析
如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛， 并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？
根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为
则
Sn 1 2 3 n,
Sn
这是一个等差数列的求和问题，如何计算该 等差数列的和呢？
注：这里的项数是我们解题时容易忽略
2 2 100
30603.
3
（2 2
200
3）101
的问题.本题也可由S S200 S99得出.
S200
S99
(5
403) 2
200
(5
201) 2
99
4080010197 30603.
课堂练习
2甲 、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟 走 2m,以后每分比前一分多走1m,乙每分走5m,问：甲、乙开始 运 动后多长时间相遇？
（2）当A 0，B 0时，d 0, a1 0, Sn Bn是关于n的正比例函数
（3）当A 0时，d 由上分析可知，Sn不一定是关于n的二次函数． 0, Sn是关于n的不含常数项的二次函数.
例题讲解
例1等差数列an的前n项和为Sn ,若S12 84, S20 460,
求 S28.
解设n分钟相遇，每分甲所走路程依次成公差为1的等差数列，共n项.
又 a1
2(m), d
1.70
5n
na1
n(n 1) 2
d,
代 入数据得70 5n 2n n(n 1) 2
解 得n 7(分）.
课堂小结
1.等差数列中涉及五个量a1, d, n, an , Sn , 可“知三求二”，而a1和d是等差数列 的两个基本量，用它们表示已知量和 未知量是常用方法.
北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)
方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来 一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝ ＝aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458， 所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分 段式表示．
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
高中数学同步课件 等差数列前n项和的性质
法四 设数列{an}的公差为 d，
∵Sn＝na1＋n（n2－1）d， ∴Snn＝a1＋d2(n－1)， ∴数列Snn是等差数列，其公差为2d， ∴S101000－S1100＝(100－10)·2d，且S111100－S101000＝(110－100)·d2，
代入已知数据消去 d，解得 S110＝－110.
∴S110＝110a1＋110×（2110－1）·d＝110×1100909＋110×2 109×－5110 ＝－110. 法二 ∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90.
∴a11＋a100＝－2.
又 a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
设数列{an}的公差为d. 依题意有a151＋a1＋d＋1a5×12＋144dd＝＝17，5，解得ad＝1＝1－，2， ∴Sn＝na1＋n（n2－1）d＝－2n＋n（n2－1）＝n2－2 5n.
(2)求Tn的最小值.
法一 由(1)知 Sn＝n2－2 5n，∴Snn＝n－2 5. 设 bn＝Snn＝n－2 5， 则 bn＋1－bn＝（n＋21）－5－n－2 5＝21， ∴数列{bn}是公差为21的等差数列， 首项 b1＝S11＝a1＝－2.
角度3 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性质的应用
例2
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝100，S100＝10，求 S110.
法一 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 则1100a01a＋1＋101×00（×12（0－21001） －d1＝ ）d1＝00， 10，
解得a1＝1100909， d＝－5110.
角度4 奇数项和、偶数项和问题
第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
1.2.2.2等差数列的前n项和
等差数列的前n项和使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读课本第15~18页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标【学习目标】：1.通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程,掌握等差数列前n项和公式的推导及应用,会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值.2.通过例题及其变式例题的训练,进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.重点难点重点:掌握等差数列的前n项和公式;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题,能用多种方法解决数列求和问题.难点:对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用.预习案相关知识链接回忆上节课等差数列前n项和公式的推导方法,并写出等差数列前n项和的两个公式?教材助读1.等差数列求和公式中共有几个量?基本量是什么?有哪些常用性质?2.等差数列前n项和公式与二次函数有着怎样的关系?预习自测1.在数列{a n}中，a n=2n+3.求这个数列自第50项到100项之和S的值。
探究案基础知识探究1.已知数列{2n-11}，那么Sn的最小值是（）A.S1B. S5C.S6D.S112.一凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10。
，最小内角是100。
，则边数n=______.3.某车间全年共生产2250个零件，又已知1月份生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增，平均每月比前一月多生产多少个零件？12月份生产了多少个零件？综合应用探究九江抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20 min能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h内能否构筑成第二道防线?当堂检测1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36 D．272.（1）求等差数列8,5,2，......的第20项；（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，...的项？如果是，是第几项？。