4.3.1 对数的概念
4.3.1 对数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§4.3.1 对数的概念导学目标:理解对数的概念及运算性质（预习教材P 122~ P 123,回答下列问题） 复习引入:已知底数和幂的值,如何求指数呢? 就是本节要学习的对数.【知识点一】对数的概念一般地,如果xa N = （0a >且1a ≠）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数、 注: ( 1)底数0a >且1a ≠;( 2)真数0N >,即负数和0没有对数;( 3)常用对数:以10为底的对数10log N ,记为lg N .( 4)自然对数:以无理数 2.71828e =为底的对数的对数log e N ,记为ln N .自我检测1:若416x=,则x = .【知识点二】指数式与对数式的互化自我检测2:（1）45625=⇔ .（2）lg0.012=-⇔ .（3） 2.30310e=⇔ .第四章 指数函数与对数函数- 2 -【知识点三】指对恒等式( 1)log a Na N =（0a >且1a ≠,0N >）.( 2) log N a a N =（0a >且1a ≠,0N >）. 自我检测3:31log 82log 83+= .【知识点四】对数的基本性质( 1)负数和零没有对数;( 2)1的对数等于零,即log 10a =;( 3)底数的对数等于1,即log 1a a =;自我检测4:已知321log 05x -=,则x = .题型一 指数式与对数式的互化【例1】把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式( 1) 45625=; ( 2) 61264-=; ( 3) 1 5.733m ⎛⎫= ⎪⎝⎭; ( 4) 12log 164=-;( 5) lg0.0013=-; ( 6) ln10 2.303=.题型二 利用指数式求对数式的值【例2】求下列对数的值、( 1) 9log 27; ( 2) 43log 81;( 3) 1lg 100; ( 4) ()()23log 23+-.（1）log 272x =; （2）1lg210x +=; （3）25log 2x =; （4）()872log log log 0x =⎡⎤⎣⎦;（5）若log 2a m =,log 3a n =,则32m na-= .（6）31log 429=_______.第四章 指数函数与对数函数- 4 -1、对于下列说法:( 1)零和负数没有对数;( 2)任何一个指数式都可以化成对数式; ( 3)以10为底的对数叫做自然对数; ( 4)以e 为底的对数叫做常用对数、 其中错误说法的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、42、将2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式,正确的是( )A 、91log 23=- B 、13log 92=- C 、()13log 29-= D 、()91log 23-=3、若2log a b c =则( )A 、2bac = B 、2c a b =C 、2cb a = D 、2ac b =4、求下列各式中的x 的值（1）25log 5 （2）1log 4.0 （3）e ln （4）001.0lg5、求下列各式中的x 的值（1）3log 31-=x （2）log 644x =（3）x =00001.0lg （4）x e -=ln（5）31log 213x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭（6）3log 2ln lg1223log 16e x ++-=§4.3.1 对数的概念答案导学目标:理解对数的概念及运算性质（预习教材P 122~ P 123,回答下列问题） 复习引入:已知底数和幂的值,如何求指数呢? 就是本节要学习的对数.【知识点一】对数的概念一般地,如果xa N = （0a >且1a ≠）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数、 注: ( 1)底数0a >且1a ≠;( 2)真数0N >,即负数和0没有对数;( 3)常用对数:以10为底的对数10log N ,记为lg N .( 4)自然对数:以无理数 2.71828e =为底的对数的对数log e N ,记为ln N .自我检测1:若416x=,则x = .【知识点二】指数式与对数式的互化第四章 指数函数与对数函数- 6 -自我检测2:（1）45625=⇔ .（2）lg0.012=-⇔ .（3） 2.30310e=⇔ .【知识点三】指对恒等式( 1)log a Na N =（0a >且1a ≠,0N >）.( 2) log N a a N =（0a >且1a ≠,0N >）. 自我检测3:31log 82log 83+= .【知识点四】对数的基本性质( 1)负数和零没有对数;( 2)1的对数等于零,即log 10a =;( 3)底数的对数等于1,即log 1a a =;自我检测4:已知321log 05x -=,则x = .题型一 指数式与对数式的互化【例1】把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式( 1) 45625=; ( 2) 61264-=; ( 3) 1 5.733m ⎛⎫= ⎪⎝⎭; ( 4) 12log 164=-;( 5) lg0.0013=-; ( 6) ln10 2.303=.【答案】( 1) 5log 6254=;( 2) 21log 664=-;( 3) 13log 5.73m =; ( 4) 41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭; ( 5) 2100.01-=; ( 6) 2.30310e=.题型二 利用指数式求对数式的值【例2】求下列对数的值、( 1) 9log 27; ( 2) 43log 81;( 3) 1lg100; ( 4) ()()23log 23+-.【答案】（1）32x =;（2）16x =;（3）2x =-;（4）1x =-.题型三 利用对数的运算性质求值 【例3】求下列各式中的x 的值、( 1) ()23log log 0x =; ( 2) ()52log log 1x =; ( 3) ()312log31x +=-.【答案】（1）3x =;（2）32x =;（3）1x =. 题型四 用恰当的方法求值 【例4】求下列各式的值、 （1）3log 272x =; （2）1lg210x +=; （3）25log 2x =; （4）()872log log log 0x =⎡⎤⎣⎦;（5）若log 2a m =,log 3a n =,则32m na-= .（6）31log 429=_______.【答案】（1）9x =;（2）20x =;（3）5x =±;（4）128x =;（5）89;（6）4.1、对于下列说法:( 1)零和负数没有对数;( 2)任何一个指数式都可以化成对数式; ( 3)以10为底的对数叫做自然对数;- 8 -【答案】B4、求下列各式中的x 的值（1）25log 5 （2）1log 4.0 （3）e ln （4）001.0lg【答案】（1）2x =;（2）0x =;（3）1x =;（4）3x =-; 5、求下列各式中的x 的值（1）3log 31-=x （2）log 644x =（3）x =00001.0lg （4）x e -=ln【答案】（1）27x =;（2）4x =;（3）5x =-;（4）2x =-;（5）2;（6）0。
1 4.3.1 对数的概念(共32张PPT)
3x2＋2x－1＞0， 2x2－1＞0且2x2－1≠1， 解得 x＝－2.
(2)由 log2[log3(log4x)]＝0， 可得 log3(log4x)＝1， 故 log4x＝3， 所以 x＝43＝64.
1．(多选)下列说法正确的有
()
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以 10 为底的对数叫做常用对数
答案：B
()
3．把对数式 loga49＝2 写成指数式为
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D 4．log32x5－1＝0，则 x＝________． 答案：3
()
探究点 1 指数式与对数式的互化 将下列指数式与对数式互化：
(1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
【解】 (1)因为 log27x＝－23， 所以 x＝27－23＝(33) －23＝3－2＝19. (2)因为 logx16＝－4， 所以 x－4＝16， 即 x－4＝24. 所以1x4＝24， 所以1x＝2，即 x＝12.
(3)因为 lg 1 0100＝x， 所以 10x＝10－3， 所以 x＝－3. (4)因为－ln e－3＝x， 所以－x＝ln e－3， 即 e－x＝e－3， 所以 x＝3.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对 数 4.3.1 对数的概念数学源自01预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点 对数
对数的 基本性质
学习目标 了解对数、常用对数、自然对数的概念， 会用对数的定义进行对数式与指数式的互化
4.3.1对数的概念课件(人教版)(3)
对数叫自然对数,为了简便，自然对数简记作 .
例如：3简记作3.
概念2：
指数运算与对数运算的转换
= ↔ =
1.对数和指数运算互为逆运算
2.底数 > 0且 ≠ 1；底数的取值范围： 0,1 ∪ 1, +∞
（3）解：因为 lg 0.00001 x ，所以10 x 0.00001 105 ，所以 x 5 ；
1
1
1
x
x
x
（4）解：因为 ln e x ，所以 e e ，即 e e 2 ，所以 x ，所以
2
2
【详解】
（1）解：因为 23 8 ，所以 log 2 8 3 ；
（2）解：因为 e
1
3
3
m ，所以 ln m 3 ；
1
1
1
（3）解：因为 27 ，所以 log 27 ；
（4）解：因为 log 3 9 2 ，所以 32 9 ；
3
3
3
1
1
4
2.3
lg
n
2.3
（5）解：因为
(1)64 =
2
− ;
3
(3)100 = ;
解：(1)∵64 =
(2) 8 = 6;
(4)− 2 = .
2
− ,∴
3
2
−3
= 64
1
6
=4
1
6
−2
=
1
.
16
1
2
(2)∵ 8 = 6,∴ = 8 = (23 ) = 2 = 2.
第4章-4.3.1-对数的概念-4.3.2-对数的运算法则高中数学必修第一册湘教版
D.3 < < 4
− 2 > 0,
【解析】由题意得ቐ − 2 ≠ 1,
5 − > 0,
解得2 < < 3或3 < < 5.
)
例1-2 ［教材改编P115例1］
（1）将下列指数式改写成对数式：
24 = 16，2−5 =
1
.
32
【解析】log 2 16 = 4.
1
log 2
32
= −5.
③log
⑥log =
log
= log ⋅ log ;④
log
1
log
−log ;⑦
= log
其中恒成立的个数为( A
A.3
B.4
= log ;⑤ log = log ;
−
+
;⑧log
= −log
9
+ log 3 8 − 5log53 ;
【解析】原式
= 2log 3 2 − log 3 32 − log 3 9 + 3log 3 2 − 3 = 5log 3 2 − 5log 3 2 − 2 − 3 = −1.
（【巧解】2log 3 2 = log 3 4,5log53 = 3,原式
= log 3 4 −
A.2
B.9
C.4
【解析】∵ 3 = 4，
∴ = log 3 4.
∵ = log 2 3，
∴ = log 3 4 ⋅ log 2 3 =
2lg 2 lg 3
⋅
lg 3 lg 2
= 2.
D.5
4.3.1对数的概念课件(人教版)
对数的概念
高一数学必修第一册
第四章 指数函数与对数指数
学习目标
1.理解对数的概念和指数与对数的关系； 2.掌握对数式和指数式的互化及一些简单的运算； 3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或
常用对数； 4.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、问题引入
在4.2.1的问题中，通过指数幂的运算，我
简记为
(2)自然对 数:
以
e
为底的对数 (e≈2.71828…)
简记为
三、巩固新知
1.例1:将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
解：
指数式与 对数式的 互化关键 是抓住对 数和指数 的关系,弄 清楚各个 量在对应 式子中扮 演的角色.
2.变式:将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
(P123 练习1题)
，那么数 x
其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
注意：①底数的限制:a>0且a≠1 ②对数的书写格式
log N a
注意 : 对数是一个数！
2.思考:在对数
的概念中
(1).为什么限制 这是因为
(2).N能小于或等于零吗？
（不能，这是因为a>0, ax=N >0） 结论： 对数式中真数要大于零.
(也就是说零和负数没有对数 !)
们能从
中求出经过x年后B地景区的
游客人次为2001年的倍数y数.反之，如果要求
经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4
倍,… ,那么应该如何解决?
上述问题实际上就是从
分别求出x,
即已知底数和幂的值,求指数.
…中
引进对数
二、探究新知
1.对数的概念
4.3.1对数的概念课件高一上学期数学人教A版
D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;
7第七课时4.3.1对数的概念教学设计
设计意图 通过生活实例引入， 体现数学的应用性，引发 学生的好奇心．
展示分析问题的过 程，化解问题的难度，使 学生通过寻找规律，归纳 问题的答案．
准确理解对数定义 中底数的限制，为以后对 数函数定义域的确定作 准备．同时注意对数的书 写，避免因书写不规范而 产生的错误．
2
log39＝2； log5125＝3；
log416＝2； log749＝2．
练习 2 将下列指数式写成对数式
教学设计流程
对数式与指数式互化．
Hale Waihona Puke ( 其中 a＞0 且 a≠1)：
21＝2； 60＝1；
a1＝a； a0＝1．
师：通过练习 2，你能得到
三、对数的性质
(1) loga a＝1，即底数的对数等于 1； (2) loga1＝0，即 1 的对数等于零；
课题
4.3.1 对数的概念
第几 课型 新授
课时
7
本节内容是在学习实数指数幂的概念及其运用的基础上讨论和研究。对数的概念在教材中
教材 起着承前启后的作用，通过这部分内容的学习，，可以帮助学生更加深入理解前面所学习实数 分析 指数幂的知识，又可以为接下来对数相关图像与性质等的学习作必要的铺垫。
学情 分析
1、学生已有实数指数幂相关的知识为基础。 2、学生在新知识的探究问题的好奇心比较大，喜欢探索新鲜的事物，同时也已具备常规 的合作交流的意识。
课
1、理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．
时
教
2、培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．
学
3、通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的
2024春新教材高中数学4.3.1对数的概念教学设计新人教A版必修第一册
课后作业
1.请用自然语言描述对数的定义，并尝试用生活中的例子来说明对数的概念。
答案：对数的定义是：如果一个非零实数a的指数是b，那么数b叫做a的以10为底的对数，记作b=log10a。例如，如果5的指数是2，那么2叫做5的以10为底的对数，记作2=log105。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解对数的知识点。
-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握对数技能。
-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
-帮助学生深入理解对数的知识点，掌握对数技能。
最后，我意识到在教学过程中，我可能过于注重知识的传授，而忽视了学生的思维和创造力的发展。因此，在未来的教学中，我应该更加注重培养学生的思维能力和创造力，通过设计更多的启发性和探究性的问题，引导学生自主思考和创新。
答案：log10(2×10^4)=log10(2) + log10(10^4)=2 + 4=6。
4.请计算下面的问题：如果一个数增长20%，那么原来的数是多少？
答案：原来的数是1/1.2=0.8333...。
5.请将下面的单位转换为千克：如果一个物体重200磅，那么它的重量是多少千克？
答案：1磅=0.453592千克，所以200磅=200×0.453592=90.7184千克。
2.能力培养：学生在学习过程中，通过解决问题和实际应用，培养了数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等能力。例如，学生能够将实际问题转化为对数模型，运用对数运算公式进行计算，并能够对结果进行合理的解释和分析。
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类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2 020=b(a>0且a≠1)，则 ( )
A.logab=2 020 C.log2 020a=b
B.logba=2 020 D.log2 020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(-∞，3]
B.(3，4)∪(4，+∞)
2.把对数式x=log232改写为指数式_______. 【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32. 答案：2x=32
3.(教材二次开发：练习改编) 若ln e-2=-x，则x=_______. 【解析】因为ln e-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2. 答案：2
关键能力·合作学习
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表，其中解正确的题号是 ( )
题号 方程 解
①
2
log64x=- 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
关于指数式的范围
b 0，
利用式子logab⇒ a 0，求字母的范围.
a 1
【补偿训练】在b=loga(5-a)中，实数a的取值范围是 ( )
A.a>5或a<0
B.0<a<1或1<a<5
C.0<a<1
D.1<a<5
【解析】选B.由对数的定义可知
5－a a 0，
0，
解得0<a<5且a≠1.
a 1，
5.若对数ln(x2-5x+6)存在，则x的取值范围为_______. 【解析】因为对数ln(x2-5x+6)存在， 所以x2-5x+6>0，所以解得x>3或x<2， 即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞). 答案：(-∞，2)∪(3，+∞)
(2)特殊对数： 常用对数：以10为底，记作_l_g__N_； 自然对数：以e为底，记作_l_n__N_.
(3)指数与对数的关系： 当a>0，a≠1时，ax=N⇔_x_=_l_o_g_a_N.
【整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实 数.
2.对数的性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1=_0_； (3)logaa=_1_.
【思考】 你能否推导出对数的性质(2)(3)？ 提示：因为a0=1，所以loga1=0； 因为a1=a，所以logaa=1.
3.对数恒等式：alogaN =_N_. 【思考】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？ 提示：指数的底数与对数的底数相等.
()
C.(4，+∞)
D.(3，4)
3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是 ( )
A.100=1与lg 10=1
B.
1
27 3
1
3
与
log27
1＝ 3
1 3
C.log39=2与
1
92
=3
D.log55=1与51=5
【解析】1.选A.若a2 020=b(a>0且a≠1)，
则2 020=logab.
x 1 0
2.选B.由函数的解析式可得 x 3 0，
解得3<x<4或x>4.
x 3 1
3.选BD.在A中，100=1⇔lg 1=0，故A错误；
在B中，27
1 3
1
⇔log27 1＝ 1
，故B正确；
3
33
在C中，log39=2⇔32=9，故C错误；
在D中，log55=1⇔51=5，故D正确.
【解题策略】
2.对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值.
课堂检测·素养达标
1.
( 1 )2 2
+log22等于
()
A. 1
B.3
C.4
D.5
2
【解析】选D.原式=4+1=5.
2.(2020·杭州高一检测)已知logx8=3，则x的值为( )
A. 1
B.2
C.3
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为(-4)2=16，所以log(-4)16=2. ( )
(2)因为3x=81，所以log813=x. ( )
(3)log23=log32.
()
提示：(1)×.对数的底数不能为负值. (2)×.应为log381=x. (3)×.log23≠log32，两个是不同的对数值.
4.3 对 数 4.3.1 对数的概念
必备知识·自主学习
导思
1.在指数运算1.11x=2中，怎样计算指数x？ 2.对数有哪些性质？
1.对数的概念
(1)定义：
一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x=_l_o_g_aN_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
【解析】选C.由log64x=
2 3
得，x=
2
64 3
1
，所以①错误；由logx8=6得，
16
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x= 2 ，所以②正确； 由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误； 由-ln e2=x得，x=-2，所以④正确；
所以正确的题号是②④.
【解题策略】 1.关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：