对数函数的概念及其性质
对数函数的性质与变化规律
对数函数的性质与变化规律对数函数是指以某个固定底数为底的数学函数。
对数函数在科学、经济以及其他领域中广泛应用，具有许多独特的性质和变化规律。
本文将介绍对数函数的基本性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数b作为底数，a为真数的对数表达式。
可以表示为log_b(a) = x，其中b称为底数，a称为真数，x称为以b为底a的对数。
对数函数可以用来解决指数方程、指数函数和指数关系中的问题。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集R^+，即所有大于零的实数。
对数函数的值域为实数集R，即所有实数。
3. 对数函数的图像当底数b大于1时，对数函数为增函数，图像从左下方无限逼近y 轴，并且获得正无限大的纵坐标值。
当底数0<b<1时，对数函数为减函数，图像从右上方无限逼近y轴，并且获得负无限大的纵坐标值。
对数函数的图像在横坐标轴上有一个渐近线y=0。
4. 对数函数的基本性质对数函数有以下基本性质：- 对数函数的符号性质：对于所有正数a，log_b(a)>0；对于所有0<a<1的数值，log_b(a)<0。
- 对数函数的乘法性质：log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c)。
- 对数函数的除法性质：log_b(a/c) = log_b(a) - log_b(c)。
- 对数函数的幂指数性质：log_b(a^r) = r*log_b(a)，其中r是任意实数。
二、对数函数的变化规律1. 对数函数的平移对数函数的图像可以进行水平和垂直的平移。
如果对数函数的表达式为y = log_b(x-k)，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向右平移k个单位。
如果对数函数的表达式为y = log_b(x) + k，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向上平移k个单位。
2. 对数函数的伸缩对数函数的图像可以进行水平和垂直方向上的伸缩。
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋∞ )．(2)对数函数的特征：log ax的系数： 1特征 log ax的底数：常数，且是不等于 1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数 y＝ log7x 是对数函数，而函数y＝－ 3log 4x 和 y＝ logx2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例 1－ 1】函数 f(x)＝ (a2－ a＋ 1)log (a＋1)x 是对数函数，则实数a＝ __________ ．解析：由 a2－ a＋ 1＝ 1，解得 a＝ 0,1 ．又 a＋ 1＞ 0，且 a＋ 1≠ 1，∴ a＝ 1．答案： 1【例 1－ 2】下列函数中是对数函数的为__________ ．(1)y＝ log a x (a＞ 0，且 a≠ 1) ； (2)y＝ log2x＋2；(3)y＝ 8log 2 (x＋ 1) ； (4)y＝ log x6(x＞ 0，且 x≠ 1) ；(5)y＝ log 6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x ，不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x＋1，不是 x，且系数为 8，不是 1(4)×底数是自变量 x，不是常数(5) √底数是 6，真数是 x答案： (5)2．对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象(1)定义域 { x|x＞0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)质(4)当 x＞1时， y＞ 0；当 0＜ x＜ 1(4) 当 x＞1 时， y＜0；当 0时， y＜0 ＜x＜1 时， y＞0(5) 在 (0，＋∞ )上是增函数(5) 在 (0，＋∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数． a＞ 1 时，函数单调递增；0＜ a＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y＝ a x(a＞0，且 a≠ 1) y＝ logax (a＞ 0，且a≠ 1)定义域R (0，＋∞ )值域(0，＋∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致，同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a＞ 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜ a＜ 1 时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞ 1 还是 0＜ a＜ 1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0) 点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线 y＝ 1 来切，自左到右 a 变大．【例 2】如图所示的曲线是对数函数y＝ log ax 的图象．已知a 从3 ，4 ， 3 ， 1 中取值，则相应曲线C1， C2， C3， C4的 a 值依次为 ()3 5 10A．3， 4 ，3 ， 13 5 10B． 3 ， 4 ， 1 ， 33 10 5C．4 ， 3 ，3 ， 13 5 10D．4 ， 3 ， 1 ， 33 10 5解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜ C3的底数＜ C2的底数＜ C1的底数．故相应于曲线C1， C2， C3， C4的底数依次是3 ，4，3，1．答案： A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左”； (2)方法y＝二：作直线1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y＝ a x (a＞ 0，且 a≠ 1) 与对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝ x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第 2 页共 10 页①由 y＝ f(x)解出 x，即用y 表示出x；②把 x 替换为 y， y 替换为 x；③根据 y＝ f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例 3－ 1】若函数y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数，且 f(2)＝ 1，则 f(x)＝ ( )1A． log 2x B ．2xC． log 1 x D．2x－ 22解析：因为函数 y＝a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数是f(x)＝ loga x，又f(2)＝ 1，即 log a2＝ 1，所以 a＝ 2．故 f(x)＝ log 2x．答案： A【例 3－ 2】函数 f(x)＝ 3x(0＜ x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A． (0 ，＋∞ ) B ． (1 ,9]C． (0,1) D ． [9，＋∞ )解析：∵ 0＜ x≤ 2，∴ 1＜ 3x≤9，即函数 f(x)的值域为(1,9] ．故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] ．答案： B【例 3－ 3】若函数 y＝ f(x)的反函数图象过点(1,5) ，则函数 y＝ f(x)的图象必过点 () A． (5,1) B． (1,5) C． (1,1) D ． (5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝ x 对称，而点 (1,5) 关于直线 y＝ x 的对称点为(5,1)，所以函数 y＝ f(x)的图象必经过点(5,1)．答案： A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝ n 或图象过点 (m， n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如loga m＝ n，这时先把对数式 logam＝ n 化为指数式的形式a n＝ m，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m＝ k n(k＞ 0，且k≠1) ，1 1则解得 a＝ k＞ 0．还可以直接写出a m n，再利用指数幂的运算性质化简m n．例如：解方程－2 1loga 4＝－ 2，则 a＝ 4，由于4221 ．又 a＞ 0，所以 a1，所以a．当2 21 1 11然，也可以直接写出a 4 2，再利用指数幂的运算性质，得a 4 2(22) 22 1．【例 4－ 1】已知 f(e x) ＝x，则f(5)＝ ( )2A ． e 5B ． 5eC ． ln 5D ． log 5 e解析： (方法一 )令 t ＝ e x，则 x ＝ ln t ，所以 f(t)＝ lnt ，即 f(x)＝ ln x ．所以 f(5) ＝ ln5 ．(方法二 )令 e x＝ 5，则 x ＝ ln 5 ，所以 f(5) ＝ ln5 ．答案： C【例 4－ 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ，试求 f(3)的值．9分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 ， ∴f 1 log a 1 2． ∴ a 2＝ 1．99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x ． ∴ a ＝3．∴ f(x)＝ log 19 3 31 1 ∴ f(3)＝log 1 3 log 1＝－ 1．33 3【例 4－ 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ，且 f(b)＝ 1，试求 b的值．2解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，则它的反函数为y ＝ a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，由条件知 a 2＝ 9 1 1＝ 32，从而 a ＝ 3．于是 f(x)＝ log 3 3 ，解得 b＝ 3 2 3 ． x ，则 f(b)＝ log b ＝25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ，＋∞ )．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 一般地，判断类似于 y ＝ loga f(x)的定义域时，应首先保证 f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于 1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例 5】求下列函数的定义域．(1)y ＝ log 5(1－ x)； (2) y ＝ log(2x － 1)(5x － 4)；(3) y log 0.5 (4 x 3) ．分析： 利用对数函数 y ＝ log ax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)的定义求解． 解： (1)要使函数有意义，则 1－ x ＞ 0，解得 x ＜ 1， 所以函数 y ＝ log5(1 － x)的定义域是 { x|x ＜ 1} ．5x 4>0,(2)要使函数有意义，则2x 1>0, 解得 x ＞ 4且 x ≠1，2x 1 1, 5所以函数 y ＝ log(2x － 1)(5x －4) 的定义域是4 ,1 (1，＋∞ )． 54x 3 0, 解得 3＜ x ≤ 1，(3)要使函数有意义，则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 ．46．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝ loga f(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y＝ logau， u＝ f(x)这两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u 的取值范围；④利用 y＝ logau 的单调性求解．(3)对于函数 y＝ f(log ax)(a＞ 0，且 a≠ 1) ，可利用换元法，设loga x＝ t，则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a＞ 0，且 a≠1) 的值域．注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 )，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例 6－ 1】求下列函数的值域：(1)y ＝ log 2(x 2＋ 4) ； (2) y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) ．2解： (1) ∵ x 2＋ 4≥ 4， ∴ log 2(x 2＋ 4)≥ log 24＝2．∴ 函数 y ＝ log 2(x 2＋ 4)的值域为 [2 ，＋ ∞ )．(2)设 u ＝ 3＋ 2x－ x2，则 u ＝－ (x － 1)2 ＋ 4≤4． ∵ u ＞0， ∴ 0＜ u ≤ 4． 又 y ＝ log 1 u 在 (0，＋∞ )上为减函数，∴ log 1 u ≥－2．2 2∴函数 y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) 的值域为 [－ 2，＋∞ )．2 ，求 y ＝ [f(x)] 2 ＋f(x 2)的最大值及相应的【例 6－ 2】已知 f(x)＝ 2＋ log 3x ， x [1,3] x 的值．分析： 先确定 y ＝ [f (x)] 2 ＋ f(x 2)的定义域，然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解： ∵ f(x)＝ 2＋ log 3 x ， x[1,3] ，∴ y ＝ [f(x)] 2 ＋ f(x 2)＝ (log 3x)2＋ 6log 3 x ＋ 6 且定义域为 [1,3] ．令 t ＝ log 3x(x [1,3]) ．∵ t ＝ log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数， ∴ 0≤t ≤ 1．从而要求 y ＝ [f(x)] 2＋ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值，只需求 y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在区间 [0,1]上的最大值即可． ∵ y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在 [－ 3，＋ ∞ )上是增函数，∴ 当 t ＝ 1，即 x ＝ 3 时， y max ＝ 1＋ 6＋ 6＝ 13．综上可知，当 x ＝ 3 时， y ＝ [ f(x)] 2＋ f(x 2)的最大值为 13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ，即对任意的 a ＞ 0，且 a ≠ 1 都有 loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数 y ＝ b ＋ kloga f(x)(k ，b 均为常数，且 k ≠ 0)，令f(x)＝ 1，解方程得 x ＝ m ，则该函数恒过定点 (m ， b)．方程 f (x) ＝0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y ＝ log a(x ＋ b)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y ＝ loga x ＋b(a ＞0，且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 当 x>0时，两函数图象相同函数 y ＝ loga |x|(a ＞ 0，且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时，将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y ＝ |logax|(a ＞ 0，---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7－ 1】若函数 y ＝ log a(x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ，c的值分别为 __________ ．解析： ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ，∴ 将 (3,2)代入 y ＝ loga (x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，得 2＝ loga(3＋ b)＋ c ． 又 ∵ 当 a ＞ 0，且 a ≠ 1 时，log a 1＝ 0 恒成立，∴ c ＝ 2． ∴ loga (3＋ b)＝ 0．∴ b ＝－ 2．答案： － 2,2【例 7－ 2】作出函数 y ＝ |log 2(x ＋ 1)|＋2 的图象．解： (第一步 )作函数 y ＝ log 2x 的图象，如图 ① ；(第二步 )将函数 y ＝ log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度， 得函数 y ＝ log 2(x ＋ 1)的图象，如图 ② ；(第三步 )将函数 y ＝ log2(x ＋ 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换， 得函数 y ＝ |log2 (x ＋1)|的图象，如图 ③ ；(第四步 )将函数 y ＝ |log2 (x ＋ 1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度， 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象，如图④ ．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数 (是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论．【例 8－ 1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)logaπ， loga3.141 ．分析： (1) 构造函数 y＝ log 3x，利用其单调性比较；(2) 分别比较与的大小； (3) 分类讨论底数的取值范围．解： (1)因为函数 y＝ log 3x 在 (0 ，＋∞ )上是增函数，所以 f(1.9)＜ f (2)．所以 log31.9 ＜ log32．(2)因为 log 23＞ log21＝ 0， log0.32＜ log0.31＝ 0，所以 log23＞ log 0.32．(3)当 a＞ 1 时，函数 y＝ loga x 在定义域上是增函数，则有 logaπ＞ log a3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时，函数 y＝ log a x 在定义域上是减函数，则有 log aπ＜ log a3.141 ．综上所得，当 a＞ 1 时， log aπ＞ loga3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时， log aπ＜ log a3.141 ．【例 8－ 2】若 a2＞ b＞ a＞ 1，试比较 log aa， logb b， logb a， log a b 的大小．b a分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵ b＞a＞ 1，∴ 0＜a＜ 1．b∴log a a＜ 0， loga b＞ log aa＝ 1， logb1＜ logb a＜ log bb，即 0＜ logba＜ 1．b第 6 页共 10 页由于 1＜ b＜ b ， ∴ 0＜ log b b＜ 1．由 log b a－ logb b＝ log b a 2， a a ab 2 ＞ b ＞ 1， ∴ a 2∵a ＞ 1．b ∴ log b a 2log b b ＞ 0，即 log b a ＞ a b ∴ logab ＞ logb a ＞log bb ＞ log a a a b．． 9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当 a ＞ 0，且 a ≠ 1时，有① logaf (x)＝ loga g(x) f(x)＝g(x)(f(x) ＞0， g(x)＞0) ；②当 a ＞ 1 时， logaf(x)＞loga g(x) f(x)＞ g( x)(f(x)＞ 0， g(x)＞ 0)；③当 0＜ a ＜ 1 时， log af(x)＞ log ag(x) f(x)＜ g(x)(f(x)＞0， g(x)＞ 0) ．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如 loga f(x)＞ log ag(x)的不等式， 借助函数 y ＝ log ax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a ＞ 1 与 0＜ a ＜ 1 两种情况讨论．②形如 loga f(x)＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 y ＝ logax的单调性求解．③形如 loga b g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用f(x)＞log 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如 f(log ax)＞ 0 的不等式，可用换元法 (令 t ＝ log ax)，先解 f( t)＞ 0，得到 t 的取值范围．然后再解 x 的范围．【例 9－ 1】解下列不等式： (1) log1xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x ＋ 1)＞ logx (3－ x)．x>0,解： (1)由已知，得4 x>0, 解得 0＜ x ＜ 2． x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0＜ x ＜ 2} ． (2)当 x ＞ 1 时，有当 0＜ x ＜ 1 时，有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1＜ x ＜3； 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0＜ x ＜ 2．3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或．x 0<x<31<x<3【例 9－ 2】若log a 23 2＜ 1，求 a 的取值范围．2 22＜ 1，即 loga 1 2解：∵log a＜ 1，∴ － 1＜log a log alog aa ．3 3 a 3(1)∵当 a ＞ 1 时， y＝ log ax 为增函数，∴ 1 2 a ．∴ a＞3，结合 a＞ 1，可知 a＞3．a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ loga x 为减函数， ∴ > >a ．∴ a ＜ 20＜ a ＜ 1，知 0＜ a＜ 2a 3，结合 ．3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2，或 a> 3． 3 210．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键： 一是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时， 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性； 三是注意其定义 域．(2)关于形如 y ＝ loga f(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝ logaf(x)的单调性与函数 u ＝ f(x)(f(x)＞ 0)的单调性， 当 a ＞ 1 时相同， 当 0＜ a ＜ 1 时相反．例如：求函数y ＝ log2 (3 －2x)的单调区间． 分析： 首先确定函数的定义域，函数y ＝ log2(3－ 2x)是由对数函数 y ＝ log 2u 和一次函数 u ＝3 － 2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 u ＝ 3－ 2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝ log2 u 的单调性考虑．解： 由 3－ 2x ＞ 0，解得函数 y ＝ log2(3 － 2x)的定义域是－ ∞ ， 3． 2设 u ＝ 3－2x ， x3 － ∞ ， 2 ， ∵ u ＝ 3－ 2x 在 － ∞ ， 3上是减函数，且 y ＝ log 2u 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，2∴ 函数 y ＝ log 2(3 － 2x)在 － ∞ ， 3上是减函数．2∴ 函数 y ＝ log2(3 － 2x)的单调减区间是－ ∞ ，3．2【例 10－ 1】求函数 y ＝ log a (a － a x)的单调区间．t ＝ a － a x递减． 解： (1)若 a ＞ 1，则函数 y ＝ log a t 递增，且函数又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜a ，∴ x ＜ 1． ∴ 函数 y ＝ log a (a － a x)在 (－∞ ， 1)上递减．(2)若 0＜ a ＜ 1，则函数 y ＝ log at 递减，且函数 t ＝ a－ a x递增．又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜ a ，∴x ＞ 1．∴ 函数 y ＝ loga(a － a x)在 (1，＋ ∞ )上递减．综上所述，函数y ＝ loga (a － a x)在其定义域上递减．析规律判断函数 y ＝ log af(x)的单调性的方法 函数 y ＝ log af(x)可看成是 y ＝ logau与 u ＝ f(x) 两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即 “ 定义域优先 ”．【例 10－ 2】已知 f(x)＝ log 1 (x 2－ ax － a)在 , 1 上是增函数，求 a 的取值范围．22解：, 1 是函数 f(x)的递增区间，说明 , 1是函数 u ＝ x 2－ ax － a 的递减区间，2 2 由于是对数函数，还需保证真数大于0．令 u(x)＝ x 2－ ax － a ， ∵ f(x)＝log 1 u(x) 在, 1 上是增函数， 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数，且u(x)＞ 0 在, 1 上恒成立．22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴－ 1≤ a ≤ 1．2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 ．211． 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1) 求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(－ x)与 f(x)或－ f(x)是否相等； (2) 当 f(－ x)＝ f(x)时，此函数是偶函数；当 f(－ x)＝－ f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4) 当 f(－ x)≠ f(x)且 f(－x)≠－ f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝log a ( x 2 1＋ x) (x R ， a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的奇偶性． 解： ∵ f(－ x)＋ f(x)＝＝ log a ( x 2 1 x) ＋ log a ( x 21＋x) )＝log a (x 2 ＋ 1－ x 2)＝ log a 1＝ 0，∴f(－ x)＝－ f(x)． ∴ f(x)为奇函数．【例 11】已知函数 f(x)＝ 1 x loga 1 (a ＞ 0，且 a ≠1) ．x(1) 求函数 f(x)的定义域； (2) 判断函数 f(x)的奇偶性； (3) 求使 f(x)＞ 0 的 x 的取值范围．分析： 对于第 (2) 问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第 (3) 问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解： (1)由 1x＞ 0，得－ 1＜ x ＜1，1 x故函数 f(x)的定义域为 (－1,1) ．1 x ＝ 1 x＝－ f(x)，(2)∵ f(－ x)＝log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，∴ 函数 f(x)是奇函数．(3)当 a＞ 1 时，由log a1x＞ 0＝ loga1，得1x＞ 1，解得 0＜ x＜ 1；当 0＜ a＜ 1 时，1x 1 x由 log a1x＞ 0＝ loga1，得0＜ 1x＜ 1，解得－ 1＜ x＜0．1 x 1 x故当 a＞ 1 时， x 的取值范围是 { x|0＜ x＜ 1} ；当 0＜ a ＜ 1 时， x 的取值范围是 { x|－ 1＜x＜ 0} ．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；第 9 页共 10 页(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论． 由此看， 直接给定参数待定的函数模型时， 利用待定系数法的思想， 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题． 代入法、 方 程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历 史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱 )．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(单位： km/s) 关于燃料重量 x(单位：吨 ) 的函数关系式为y ＝ kln(m ＋ x)－kln( 2m )＋4ln 2( k ≠ 0)，其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和． 当燃料重量为 (e － 1)m 吨时， 火箭的最大速度是 4km/s ．(1)求 y ＝f(x)；(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 )，火箭的最大速度为 8 km/s ，求装载的燃料重量 (e ＝ 2.7，精确到0.1) ．解： (1)由题意得当 x ＝(e － 1)m 时， y ＝ 4， 则 4＝ kln[ m ＋ (e － 1)m]－ kln( 2m )＋ 4ln 2 ，解得 k＝ 8． 所以 y ＝ 8ln(m ＋ x)－ 8ln(2m )＋ 4ln 2 ，即 y ＝ 8ln m x． m(2)由于 m ＋ x ＝ 479.8，则 m ＝479.8 － x ，479.8 ，解得 x ≈302.1． 令8 8ln479.8x 302.1 吨． 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。
对数函数及其性质
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析 a＝log3π＞1，b＝12log23，则12＜b＜1，
c＝12log32＜12，
∴a＞b＞c.
跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，∴所求函数定义域为{x|x<1}； (2)由 log2x≠0，得 x≠1，又 x>0， ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
730 1
P
，都
有唯一确定的年代 t 与它对应，
2
所以，t 是 P 的函数.
问题 2
在问题
1
中，t＝ log 5
730 1
P就是一个对数函数，据此，
2
你能归纳出这类函数的定义吗？
答 一般地，我们把函数 y＝loga x(a>0，且 a≠1)叫做对数 函数，其中 x 是自变量，定义域为 x∈(0，＋∞)．
3
说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是
减函数．
问题 3 你能根据函数 y＝log3x 及 y＝log1x 的性质，归纳出 3 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的性质吗？
答 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值 域为 R，过定点(1,0)，当 a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数， 当 0＜a＜1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
问题 3 判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？ 答 对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析 式右边的系数为 1，底数为大于 0 且不等于 1 的常数，真数 仅有自变量 x 这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2； y＝loga(4－x) ；y＝2logax 都不是对数函数．
对数函数及其性质2
y 2 ( x R) 互为反函数
x
y 3 ( x R) x y a ( x R)
的反函数是什么?
y log3 x( x (0, ))
的反函数是什么?
y loga x( x (0, ))
演示
探究：两个互为反函数的图象间有什么关系？
对数函数与指数函数的关系： 对数函数和指数函数互为反函数
解：(1)根据对数的运算性质，
有pH=
-lg[H+]=lg[H+]-1= lg
1 [H ]
1 在(0， )上，随着[H ]的增大， 减小，相应地， [H ] 1 lg 也减小，即pH减小，即知随着溶液中氢离子 [H ] 的浓度增大，溶液中酸度就越小。
(2) [H ] 10 时 ，pH lg10 7， 所 以 当 纯 净 水 的 H是7。 p
复习与回顾
(一)对数函数的概念：
函数 y loga x (a 0, 且a 1)叫做对数函数． 其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).
a＞1
y x=1 y
0＜a＜1
x=1
图 象
o
1
x
y= ㏒ax (a>1)
o
1
x y= ㏒ax (0<a<1)
定义域
( 0 , + ∞) R
值域
性 质
反函数
y 2x ( x R)
x log2 y
y log2 x( x (0, ))
对于任意一个y∈（０，＋∞）通过式子x＝log２y， x在Ｒ中都有唯一确定的值和它对应，这时我们就说 x＝log２y( y∈（０，＋∞））是函数y＝２x的反函 数．习惯上写成 y＝log２x 对数函数 y log2 x( x (0, )) 与 指数函数
关于对数函数对数的概念(一)
对数函数是数学中的一种特殊函数，它的概念和性质在数学和实际应用中都起着重要的作用。
下面我们来详细阐述关于对数函数对数的概念及相关内容。
首先，我们来谈谈对数函数的定义。
对数函数是指以一个固定正数为底数的对数函数，一般用符号“log”表示，其一般形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数函数的定义域为所有正实数，值域为实数，且底数不等于1。
其次，我们需要了解对数函数的性质。
对数函数的性质包括对数的底数、对数的运算法则以及对数函数的图像特征。
首先是对数的底数，对数函数的底数必须是一个正实数且不等于1，常用的对数底数有10、e等。
其次是对数的运算法则，对数函数的运算法则包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等，这些法则在数学和实际应用中都有重要作用。
最后是对数函数的图像特征，对数函数的图像特征是一条斜率逐渐减小的曲线，其渐近线为y轴，对数函数的图像特征在实际应用中有着重要的意义。
接下来，我们来探讨对数函数的应用。
对数函数在实际应用中有着广泛的应用，比如在生物学、天文学、经济学、工程学等领域都有对数函数的应用。
在生物学中，对数函数可以描述生物种群的增长规律；在天文学中，对数函数可以描述星等和光度的关系；在经济学中，对数函数可以描述复利计算；在工程学中，对数函数可以描述振动的衰减规律等。
最后，我们需要了解对数函数的推广。
除了常见的对数函数loga(x)外，还有自然对数函数ln(x)和常用对数函数lg(x)等。
自然对数函数ln(x)是以e为底数的对数函数，常用对数函数lg(x)是以10为底数的对数函数，它们在实际应用中有着重要的作用。
综上所述，对数函数对数的概念及相关内容涉及对数函数的定义、性质、应用和推广，对数函数在数学和实际应用中都有重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对对数函数有了更深入的了解。
对数函数的性质与应用
对数函数的性质与应用对数函数是数学中非常重要的一类函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍对数函数的性质以及它在各个领域中的应用。
1. 对数函数的定义和基本性质对数函数是指以某个常数为底数的对数函数，常用的底数有自然对数（e）和常用对数（以10为底）。
我们以自然对数为例进行讨论。
自然对数函数可表示为y = ln(x)，其中ln表示自然对数。
自然对数的底数e是一个常数，约等于2.71828。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数的基本性质如下：- 对于任意正实数x和y，ln(xy) = ln(x) + ln(y)- 对于任意正实数x和任意实数a，ln(x^a) = a·ln(x)- 对于任意正实数x和y，如果ln(x) = ln(y)，那么x = y这些性质使得对数函数在数学计算和推导中非常实用。
2. 对数函数的图像和特点对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状。
当x > 1时，ln(x)的值随x的增大而增大，但增速逐渐减慢；当0 < x < 1时，ln(x)的值随x 的减小而增大，但增速同样逐渐减慢。
这意味着对数函数具有递增但是收敛的特点。
对数函数的图像还有一条重要的特点是它在x轴上有一个渐近线。
即当x趋近于0时，ln(x)趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，ln(x)趋近于正无穷大。
3. 对数函数在解决实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 财务和投资分析对数函数可以用于计算复利和增长率。
当对数函数应用于财务和投资分析时，可以帮助我们计算资金的增长趋势、比较投资回报率，并进行有效的资金管理。
3.2 科学研究和数据分析在科学研究和数据分析中，对数函数可用于处理非线性情况下的数据。
对于呈现指数增长或指数衰减的数据，可以通过对数变换来线性化处理，方便进行统计分析和模型建立。
3.3 生物学和医学领域在生物学和医学研究中，对数函数广泛应用于描述生长曲线、酶动力学、药物代谢和毒性等。
对数函数的概念442对数函数的图象和性质
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
a=8 =
1
.
2
所以 f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得 f(n)=log 1 n=2,
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
解析:(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)∵已知函数 f(x)=2log1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log1 x≤1,
2
即 log 1 1
≤2log1 x≤log1 1
(3)
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
对数函数的概念
例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
1
随堂演练
对数函数及其性质
- (0,+ (-4)
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
(3)
因为
3-x>0 x-1>0 x-1≠
所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)
(4)因为
4x-3>0
x>3/4
4x-3≤
一、对数函数的定义
定义：函数y loga x(a 0，且 a 1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数 的定义域是（0，+∞）。
，
二、对数函数的图象：
. 1.描点画图 y=log2x(0<a≠1)的变量对应值表如下：
x
Y=log2x
… 1/8 1/4 1/2 1
2
1
4
2
8
3
…
…
-3 -2
log0.5(4x-3)0 定义域为 (3/4,1]
例2:比较大小
(1) log2 5.3和log2 4.7
(2) log0.2 7和log0.2 9 (4) loga 3.1和loga 5.2
(3)log和log 3 3
小结
1、对数函数的概念、图象和性质 2、对数函数的图象和性质的应用
三、对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y
0＜a＜1
1
图象
o
1
x
o
x
定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号
( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数
( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
对数函数及其性质
04
对数函数的应用
对数函数在数学中的应用
01
02
03
解决方程问题
对数函数在解高次方程或 者复数方程时，可以用来 简化运算过程，提高解题 效率。
数值计算
对于一些需要大量计算的 数学问题，如求指数、阶 乘等，对数函数可以有效 地减少计算量。
统计学
在统计学中，对数函数被 广泛应用于正态分布、泊 松分布等统计模型的计算 和分析中。
函数形式
指数函数一般形如$y=a^x$，对数函数一般形如$y=log_a(x)$。
变化趋势
指数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随 着自变量的增加而减少；对数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当 底数小于1时，函数值随着自变量的增加而减少。
对数函数与指数函数的转化关系
对数函数与指数函数的应用场景比较
指数函数
对数函数
描述增长或衰减现象，如人口增长、存款复 利计算等。
在物理学、生物学、化学等自然科学中，描 述物质的扩散、放射性衰变等过程；在社会 科学领域，用于描述人口增长、经济发展等
。
06
对数函数的学习方法与 建议
掌握对数函数的基本概念与性质
总结：对数函数是一种常见的数学函数，具有独特的 性质和重要的应用价值。学习对数函数首先需要掌握 其基本概念和性质，包括对数的定义、对数函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性等。
伸缩
对数函数图像也可以沿着x轴和y轴进行伸缩。例如，将函数$y = \log_{a}x$的x 轴伸缩$\lambda$倍得到$y = \log_{a}(\lambda x)$；将函数$y = \log_{a}x$ 的y轴伸缩$\mu$倍得到$y = \log_{a}x\mu$。