幂函数的图像与性质

【知识结构】1．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)mn mn a a m n N n a -*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248a a a a a b a a ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3)100.256371.5()86-⨯-+（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）A ．y x =B ．3y x =C ．2y x =D ．1y x -=例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式 已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．2.幂函数的图像幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=xy=x 2 y=x 3 12y x = y=x -1 定义域R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减增 增 x ∈(0,+∞)时，减；x ∈(-∞,0)时，减 定点（1，1） 例3．比较大小： （1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.54.幂函数的性质及其应用幂函数y ＝x α有下列性质：(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．6.性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；（2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当11,1,3,3a =-时，幂函数是 ．例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d的大小关系是 （ ）()A a b c d >>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>>例7 若点错误!未找到引用源。

在幂函数错误!未找到引用源。

的图象上，点错误!未找到引用源。

在幂函数错误!未找到引用源。

的图象上，定义错误!未找到引用源。

，试求函数错误!未找到引用源。

的最大值以及单调区间。

例8 若函数错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

上是递减函数，求实数错误!未找到引用源。

的取值范围。

【巩固练习】1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( )b cA ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( )A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x1 12 f (x) 122 则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝19、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是A 、a ＜1B 、0＜a ＜1C 、a ＞0D 、a ＜0二、填空题：11、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，则a 的取值范围是____； 12.函数23-=x y 的定义域为___________.（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）13．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的 x 的值是________．14．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ， n 的大小关系为________．幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数()y f x =的图像过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则函数()y f x =的解析式为__________.2.已知函数()()22144mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为__________. 3.幂函数223n n y x --=()n N ∈的图像与两坐标无交点且关于y 轴对称，则n 的值等于_________.4.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.5.已知函数()1a x f x x a -=--的图像的对称中心是()3,1-，则函数()f x 的单调递减区间是_________.6.已知幂函数()y x R αα=∈的图像当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时在直线y x =的下方，则α的取值范围是__________.7.函数y =的图像可以看成由幂函数12y x =的图像向__________平移________个单位.8.已知()()1133132x x --+<-，则实数x 的取值范围是_________.二、选择题9.如图，M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④13y x -=，则M 、N 、P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）. （A ）①②③④(Ｂ)②③④① (Ｃ)②①③④ (Ｄ)③②①④10.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）.（Ａ）53y x -=(Ｂ) 53y x = （Ｃ）54y x = (Ｄ)43y x = 11.当()1,x ∈+∞时，下列函数的图像全在直线y x =下方且为偶函数的是（ ）. （Ａ）12y x = (Ｂ) 4y x -= （Ｃ）4y x = (Ｄ)1y x -=12.设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}|M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（ ）（Ａ）1或2或0(Ｂ) 1或2或3 （Ｃ）1或2或3或4(Ｄ)0或1或2或3 三、解答题13.研究函数23y x =的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.。