幂函数图像与性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
2.3.1幂函数的图像和性质
§2.3幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
2、思想与方法
作业:
79页1 82页10
成功始于方法 巩固才能提高
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
R
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R
yx 0 U （0，+） ， 0 U （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] 在( －∞,0)， 在R上 上是减函数 在R上 在(0，+∞) (0, +∞）上是 是增函 单调性 ，在(0, +∞ 是增函 上是增函数 减函数 数 ）上是增函 数 数 公共点
在{x x 0}上是奇函数 奇偶性：
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
如何画y x 和y x 的图像呢?
3
1 2
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
幂函数图像与性质
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
(4)
1
y x2
(5)
y x1 (6) y x2
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。
幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。
首先，我们来看幂函数的图像特点。
当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。
当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。
而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。
特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。
此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。
接下来，我们来讨论幂函数的性质。
首先，我们来看函数的定义域和值域。
由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。
而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。
当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。
当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。
由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。
其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。
当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。
相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。
进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。
当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。
当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。
而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。
当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。
4.1(2)幂函数的图像与性质
归纳幂函数 y
x
的性质。
① 所有幂函数图象在 (0,) 都有定义，且都经过点 (1,1); ② 当 0 时，幂函数图象都过（0，0），并 且在是增函数；
0,
x ( 0 , 1 ), y x 1 特别，当 时， 的图象都在
y x 图象的下方，图象向下凸，
越大，下凸程度越大.
yx
图
当 0 1 时, x (0,1), y x 的图象都在 象的上方,图象向上凸, 越小,上凸程度越大;
③ 当 0 时,幂函数的图象在 (0,) 上是减函数.
④图像分布的象限： 为什么幂函数幂函数图像一定不在第四象限？
如果函数
f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函
数，且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足 条件的实数m的值。
4.1幂函数的图像与性质（2）
例1 、 1 1 x 1 , h( x) （1）研究函数 f ( x) , g ( x) x x2 x2 之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像；
的图像
例2、作函数
1 y | x | 1
的大致图像.
x 变式：作函数 y | x | 1 的大致图像.
例2、作出下列函数的大致图像.
1y x
2 y
2
2x
x 2x
2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
幂函数的图像和性质 纪福双【打印】
（1）幂函数的定义: （2）幂函数的图象
纪福双
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
（3）幂函数的性质： ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第 一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, ) 上为增函数．如果 0 ，则幂函数的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，
大行不倦呕心沥血传道授业解惑！大思行广打通大脑思维的任督二脉，大行无疆捍卫中国文化最后良心！第 1 页
q p q p
q p
⑤图象特征： 幂函数 y x , x (0, ) ，当 ，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当 1时，若 0 x 1 ，其
图象在直线 y x 上方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方．
q （其 p 中 p, q 互质， p 和 q Z ） ，若 p 为奇数 q 为奇
当 为偶数时， 幂函数为偶函数． 当 数时，则 y x 是奇函数【简称：奇，奇，奇】 ， 图像位于一三象限，关于原点对称。若 p 为奇 数 q 为偶数时， 则 y x 是偶函数， 【简称： 偶， 奇，偶】 ，图像位于一二象限，关于关于 y 轴对 称。 ； 若 p 为偶数 q 为奇数时， 则 y x 是非奇 非偶函数【简称：奇，偶，非】 ，图像只在第一 象限．
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。
当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。
2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。
- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。
- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。
- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。
3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。
- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。
- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。
- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。
4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。
- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。
- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。
5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。
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奇函数
在R上 单调性 是增函
数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(
x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围.
3
2
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
a2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
a3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
1
边长 a S 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4 -6 -8
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
-1时1 的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
-2 -3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1).
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数.
3、α为奇数时,幂函数为奇函 数, α为偶数时,幂函数为偶函 数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
度 V t 1 km / s
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数
(power function) ，其中x为自变量， 为
常数。
注意：
（1）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，
前的系数必须是1，没有其它项。
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比
：
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
例2：
证明 : 任取x1 , x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
x1
x2
(
x1
x2 )( x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数
α>1 a=1
0<α<1
在(0,+∞)上为增函数;
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x 1
定义域 R
R
R [0，+∞） ，0U（0，+）
值域 R
[0，+∞）
R
[0，+∞） ，0U（0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数