转化思想训练(含答案)
中考数学复习专题 转化思想(含答案)
转化思想一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分）1、用换元法解方程xx x x +=++2221时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ）A 、y 2+y+2=0B 、y 2－y －2=0C 、y 2－y+2=0D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ∆外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（ ） A 、2231∠=∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.54.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A 、0.71sB 、 0.70sC 、0.63sD 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（ ） A 、64πcm 2B 、64 cm 2C 、32 cm 2D 、48 πcm 25、已知实数x 满足01122=+++x x xx ，那么x x 1+的值为（ ） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-26、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（ ）第2题 第3题第4题第6题A 、1C >2CB 、1C <2C C 、1C =2CD 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（ ） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC AC. ∠>∠DBC AD. ∠<∠DBC A9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周 上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B)233 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则∆ABC 中最大角的度数是（ ） A. 90︒B. 120︒C. 150︒D. 60︒二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有 个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为 ．HN O F CA DGMcab E B第7题第8题 D C12 A B 第9题第11题y(元)12x－3－2－101234y60－4－6－6－4065第13题038x(公里)第14题14.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达公里处．三、解答题：（共6小题，第15题10分、第16题10分、第17题10分、第18题9分、第19题10分、第20题11分）15、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）B太阳光线30°A C第15题16．一天上行6点钟，汪老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程S （km ）（即离开学校的距离）与时间（h ）的关系可用图4中的折线表示，根据图4提供的有关信息，解答下列问题： （1）开会地点离学校多远？（2）求出汪老师在返校途中路程S （km ）与时间t （h ）的函数关系式；（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．17、已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置.（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.A B CDP E 图1 A B C D P (E)C D A B C D A B C D A B A BC D 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2040 60 t (h ) s (km ) 图418、如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。
高考数学考点完全题(理)思想练习题_转化与化归思想专练 含答案
则 E 为 B1C、BC1 的中点， 易知 AD＝A1D，AB＝A1C1， ∠BAD＝∠DA1C1＝90°， ∴△BAD≌△DA1C1，
转化与化归思想专练
一、选择题
1．若命题“∃x0∈R，使得 x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ( )
A．
B．
C．(2,6)
D．(－6，－2)
答案 A
解析 ∵命题“∃x0∈R，使得 x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得 x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即 m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.
1＋2k2
→→ 要使OM·ON＝0，需 x1x2＋y1y2＝0，
2m2－8 m2－8k2
即
＋
＝0，
1＋2k2 1＋2k2
所以 3m2－8k2－8＝0，
3m2－8
所以 k2＝
≥0，
8
又 8k2－m2＋4>0，所以Error!
8 所以 m2≥ ，
3
26
26
即 m≥ 或 m≤－ ，
3
3
因为直线 y＝kx＋m 为圆心在原点的圆的一条切线，
5
1＋ × 0
5
8．设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数，若 f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意 a∈恒成
立，则 x 的取值范围为________．
答案 x≤－1 或 x≥0
解析 ∵f(x)在 R 上是增函数，
∴由 f(1－ax－x2)≤f(2－a)，
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
中考数学复习题方法技巧专题五转化思想训练(含答案)
方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2018·铜仁] 计算+++++…+的值为()A.B.C.D.2.[2018·嘉兴] 欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.[2018·东营] 如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()图F5-2A.3B.3C.D.34.[2018·白银] 如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为.图F5-35.[2018·广东] 如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)图F5-46.[2018·淄博] 如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为.图F5-57.如图F5-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE 为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图F5-6参考答案1.B[解析] ∵==1-,==-,==-,==-,==-,…,==-,∴+++++…+=1-+-+-+-+-+…+-=1-=.故选B.2.B[解析] 利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+2=b2+,解得x=-或x=--(舍去).根据勾股定理得AB=,由题意知BD=.根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根.故选B.3.C[解析] 将圆柱沿AB侧面展开,得到矩形,如图,则有AB=3,BC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===.故选C.4.1[解析] 当x=625时,代入x得x=×625=125,输出125;当x=125时,代入x得x=×125=25,输出25;当x=25时,代入x得x=×25=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;当x=1时,代入x+4得x+4=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;…观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此,第2018次输出的应是1.5.π[解析] 连结OE,易证四边形ABEO为正方形,则扇形OED的圆心角为90°,半径为2,因此可求扇形OED的面积,阴影面积看成正方形ABEO的面积+扇形OED的面积-△ABD的面积,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+[解析] 如图,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,连结PH,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,易知△APH 为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=,HI=,∴CI=+4,∴AC2=2++42=25+12,∴S△ABC=AC2=(25+12)=9+.7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.∵点O为正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形OEFG为正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD=OG=OG', ∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O==,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.②AF'长的最大值是2+,此时α=315°.理由:当AF'的长最大时,点F'在直线AC上,如图所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.∴OE'=E'F'=2OD=.∴OF'==2.∴AF'=AO+OF'=+2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.。
专题二 转化思想(含答案)-
第2讲 转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9． （1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，•T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值．∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y=12x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2m n =9…①又∵点P （m ，n ）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）．（2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论：①当24ba =…①又由P点求出可确定反比例函数y=6 x又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1MB +1NB的值； （2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形． （1）求m ，n ，t 的值； （2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ．（1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB²OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1²x2=1a，∴OB²OC=│x1│²│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1²x2<0），•∴OB²OC=-1a，又∵OA2=OB²OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD²FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184DF =，DF=2cm ，∴BD 2=16，∴DE=BD=4cm ． 3．（1）∵111NB MBA B MB =，即11NB MB MB =-， 得MB+NB=MB ²NB ，两边同除以MB ²NB 得1MB +1NB=1． （2）12MB ²NB=52，即MB ²NB=5， 又由（1）可知MB+NB=MB ²NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 1x 2， ∵MB<NB ，∴（3）B 1MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ²cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1³t=t ，OP=1³t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12³•OP ³OQ=12³t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6） （2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3， ∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6， 当x=3时，y=92≠3，∴点C不落在直线AB上．（3）△POQ∽△AOB时，①若OQ OPOB OA=，即6612t t-=，12-2t=t，∴t=4．②若OQ OPOA OB=，即6126t t-=，6-t=2t，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．考前热身训练1．（1）开口向上，P（2，-m2）．（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，∴A（-m+2，0），B（•m+2，0），∴AC=│2-（-m+2）│=m，（∵m>0）由抛物线对称性得PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC，即│m│=│-m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m>0，∴m=1，∴△ABC的周长为2．（1）m=-2，（2）L1：y2L2：y=3（3）过B作BP1⊥AC于P1，则P1（32，2），过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-23．（1）y=1x（（2）（3）若△AEP∽△BEC，则AE APBE BC=，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．BCAyxPO设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ，∴11t t t -=，∴0<t<1，∴t=12，即P 点存在，且AP=12．。
七下数学转化思想例题
七下数学转化思想例题1.下面说法中错误的是( ) [单选题] *A.两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B.若两对顶角之和为180度，则两条直线互相垂直C.两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直(正确答案)D.两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直答案解析：解答：垂线的概念是：当两条直线相交，有一个角是直角时，即两条直线互相平行．依据此概念，我们可以判断，选项A正确．选项B中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项B也正确．在选项D中，两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，根据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项D也正确．因为两条直线相交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不能说明该角一定是90°，所以选项C错误．分析：掌握相交线形成的对顶角知识，以及垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．2.如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有( )[单选题] *A．2个B．3个(正确答案)C．4个D．1个答案解析：解答：两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，AB⊥CD，则∠ADC和∠BDC都是直角；同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角．分析：掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．3.如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )[单选题] *A．120°B．130°C．135°(正确答案)D．140°答案解析：解答：两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，EO⊥CD，则∠EOD和∠EOC都是直角；又因为AB平分∠EOD，所以∠AOD为45°．∠AOD与∠COB是对顶角，所以∠COB也是45°．因为∠COB与∠BOD互补，所以∠BOD＝180°－45°＝135°.分析：掌握垂线的概念，以及角平分线和对顶角的性质，就能轻松解答本题．本题考查垂线．4.点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线的距离为( ) [单选题] *A．4cmB．5cmC．小于2cmD．不大于2cm(正确答案)答案解析：解答：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项A和选项B都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线，当两线垂直时，则点P到直线的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线的距离为小于2cm．所以，只能选D．分析：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段，是解答本题的关键．本题考查点垂线段最短．5.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是()①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.[单选题] *A.①②③B.①②④C.①③④(正确答案)D.②③④答案解析：解答：由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC ＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD ＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是( •)．[单选题] *A．26°B．64°(正确答案)C．54°D．以上答案都不对答案解析：解答：由题意可知，AB⊥CD于点O，所以∠BOC＝∠AOD＝90°，同时，∠1与∠DOF是对顶角，∠1＝26°，所以∠DOF＝26°．∠AOD＝∠AOF＋∠DOF，所以∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．所以选B．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．7．在下列语句中，正确的是( )． [单选题] *A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;(正确答案)D．垂线段就是点到直线的距离答案解析：解答：概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A 错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．点到直线的距离就是垂线段，所以选项D正确．分析：概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线．8．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为( )．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB 是点B到AC的距离; ⑦AD>BD.[单选题] *A．2个B．4个(正确答案)C．7个D．0个答案解析：解答：根据题意，∠BAC＝90，所以AB⊥AC，①正确．AD⊥BC于D，所以AD与AC不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，所以点C到AB的垂线段是线段AB，③正确．点D到BC的距离应为过D点垂直于AC的垂线段，AD与AC不垂直，所以④错误．因为AB⊥AC，点B到AC的距离为AB，所以⑤⑥正确．AD与BD的具体长度无法推断，所以不能确定二者的大小关系，⑦错误．分析：概念理解型题，掌握垂直和点到直线的具体的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为()[单选题] *A．35°B．45°C．55°(正确答案)D．65°答案解析：解答：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C．分析：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为( )．[单选题] *A．3个B．4个C．5个D．6个(正确答案)答案解析：解答：已知每个小方格的边长为1，所以每个小方格的面积为1个平方单位．要使点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，需要从两个方面来思考：一是以A为三角形的顶点，则A到BC是距离为1，BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位，于是，这样的点有2个．同理，若以B为三角形的顶点，这样的点也同样有2个．所以，选B．分析：从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法入手，就能轻松解答．本题考查垂线．11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是()[单选题] *A．B．C．(正确答案)D．答案解析：解答：根据题意画出图形即可．故选：C．分析：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足12.下列语句正确的是() [单选题] *A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直(正确答案)D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直答案解析：解答：概念理解型题．两条直线相交，其中有一个夹角是直角，说明这两条直线互相垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直必须相交，两条直线相交未必垂直，所以，可以推断出选项A、选项B都错误．在选项D中，两条直线任意相交，都能满足有两个角互补，所以D错误．在选项C中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，并且都是直角，所以选项C正确．分析：概念理解型题，掌握垂直的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．13.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在() [单选题] *A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能(正确答案)答案解析：解答：由于线段有两个端点，所线段的长度是固定的．由于点的位置不确定，所以过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上得到验证．所以，选D．分析：概念理解型题，掌握垂直的作法，是解答本题的关键．本题考查垂线．14如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是( )[单选题] *A.线段AC的长B.线段AD的长C.线段BC的长D.线段BD的长(正确答案)答案解析：解答：点到直线的距离为垂线段，因为直线AD⊥BD，垂足为D，所以点B到线段AC的距离是线段BD的长，所以选D．分析：概念理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答本题的关键．本题考查点到直线的距离．15.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是( )[单选题] *A.两点确定一条直线B.经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直(正确答案)C.过一点只能作一条垂线D.垂线段最短答案解析：解答：概念理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM⊥NP，ON⊥NP，两条经过O点的直线都垂直于NP，所以选B．分析：概念理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答本题的关键．本题考查垂线．16当两条直线相交所成的四个角中有一个是______角，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫另一条直线的_________，它们的交点叫_________．（三空连着写，不用空格键） [填空题] *_________________________________(答案：直垂线垂足)答案解析：解答：概念理解型题．两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线互相垂直．相互垂直的两条直线，其中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线互相垂直，它们的交点叫垂足．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．17.过直线上或直线外一点，有且只有_____条直线与已知直线垂直． [填空题] *_________________________________(答案：一)答案解析：解答：概念理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．18.如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝_______°；若∠BOD＝90°，则AB____CD（填两文字）．[填空题] *_________________________________(答案：90垂直)答案解析：解答：概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线19.如图所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2互为________角．[填空题] *_________________________________(答案：余)答案解析：解答：概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．因为AO⊥BC于O，所以∠AOC＝90°．因为∠1＋∠2＝∠AOC．所以，∠1与∠2互余．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．20.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为在同一平面内，过一点_____________一条直线与已知直线垂直． [填空题] *填四个文字_________________________________(答案：有且只有)答案解析：解答：概念理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥AB于D，所以自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．。
转化思维训练
转化思维训练转化思维是一种培养创造力和解决问题能力的方法，它能帮助人们从不同的角度思考和分析问题，从而找到更多的解决方案。
本文将介绍转化思维的训练方法和应用。
一、了解转化思维转化思维是指将问题或观念从一种状态转变到另一种状态的思考方式。
通过转化思维，人们可以打破常规思维的限制，寻找到更多的可能性。
转化思维包括以下几个重要的技巧：1. 逆向思维：从相反的角度思考问题，尝试找到与传统思维不同的解决方案。
比如，传统思维认为增加销售量可以提高利润，而逆向思维认为降低成本也能实现同样的效果。
2. 类比思维：将一个领域的经验和知识应用到另一个领域，以寻找新的解决方案。
比如，参考成功企业的模式来改进自己的公司。
3. 变化观点：从不同的角度看待问题，换位思考。
比如，从客户的角度思考如何改善产品或服务。
二、转化思维的培训方法1. 多元思考：培养多样化的思维方式，包括逆向思维、类比思维、变化观点等。
进行头脑风暴活动，鼓励团队成员提供各种不同的解决方案。
2. 激发创意：提供创意激励和培养创意思维的训练。
可以通过参加创意比赛、阅读激发灵感的书籍等方式来激发创意。
3. 练习转化：进行转化思维的练习，比如给出一个问题，要求找出至少三种不同的解决方案。
通过不断的练习，提高转化思维的能力。
三、转化思维的应用1. 创新和发明：转化思维可以帮助人们产生新的创意和创新，从而推动技术和社会的进步。
2. 解决问题：转化思维可以帮助人们找到更多的解决方案，提高问题解决的效率和质量。
3. 提升竞争力：通过转化思维，企业可以发现市场机会，不断创新，提升竞争力。
4. 培养创造力：转化思维可以培养创造力和想象力，激发个人的创新潜能。
结语转化思维是一种重要的思维方式，它可以培养创造力和解决问题的能力。
通过多元思考、激发创意和练习转化，人们可以提升转化思维的能力，并将其应用于创新、问题解决等方面。
培养转化思维对于个人和组织都具有重要意义，它能够帮助我们更好地应对日常生活和工作中的挑战，创造更美好的未来。
有关化归与转化思想的例题
36化归与转化思想一、选择题一、选择题（1）已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（的取值范围是（ ） （A ）（-0,34） （B ）（-∞，0）（C ）(]0,¥- （D ）(])34(0,¥+¥-（2）函数)112lg(--=xy 的图象关于（的图象关于（） （A ）原点对称）原点对称 （B ）x 轴对称轴对称 （C ）y 轴对称轴对称 （D ）直线y=x 对称对称（3）设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是（的余数是（） （A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-29（4）三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有（，则有（ ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a（5）不等式0||42³+-x x x 的解集是（的解集是（） （A ）}22|{££-x x（B ）|03|{ x x £-或}30££x（C ）02|{ x x £-或20£x } （D ）03|{ x x £-或20£x }（6）若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（ ） （A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21（7）（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为（展开式中各项系数和为（） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+1（8）函数y=f （x ）是函数y=-)10(222££-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的（中的（ ）（9）已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（）（A ）125421422=-yx（B ）125421422=+yx（C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x（10）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于（等于（ ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）31（11）方程arctgx x=1解的个数是（解的个数是（） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（12）从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是（，则入射线的方程是（ ） （A ）x-2y-7=0 （B ）2x+y-4=0 （C ）x+2y+1=0 （D ）x-y-5=0 （13）函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[p p 的值域是（的值域是（） （A ）]3,23[-（B ）]3,2[（C ）]321,23[+- （D ）]321,2[+ （14）如图2-4-2，圆锥V -AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到V A 的最短距离是（ ） （A ）33 （B ）3 （C ）335 （D ）3236- （15）方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是（则椭圆离心率的范围是（ ） （A ）÷øöêëé1,51 （B ）úûùçèæ51,0 （C ）÷øöêëé1,51（D ）úûùççèæ51,0 二、填空题二、填空题（16）若z ∈C ，且满足|z+3-i|=1，则argz 的最小值是________． （17）P （x ，y ）在直线x+2y-3=0上运动，则x 2+y 2的最小值是________． （18）已知43)(,53sin ),0,4(),,2(=-=-ÎÎb a a pb p pa tg ，则cos β=________．（19）设a ＞0且a ≠1，对任意n ∈N ，{x n }满足log a X n+1=1+log a X n ，又x 1+x 2+…+x 100=100，则x 101+x 102+…+x 200=________．（20）棱台的上、下底面积分别为16、81，一个平行于底的截面面积是64，则这截面分棱台两部分体积（从上到下）之比是________．（21）双曲线îíì+=+-=q qsec 431y tg x （θ为参数）的两条渐近线的夹角是________．（22）设α、β、γ是三角形的三个内角，则gb a 111++的最小值是________．（23）在-6，-4，-2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数a+bi 的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________． 三、解答题三、解答题（24）已知正方形ABCD ，A （1，1），B （2，-1），求C 、D 的坐标．的坐标． （25）解关于x 的不等式：lg （3·2x ）-lg （2x+1-1）＞lg （2x +2）．（26）设P 是直线x-y+9=0上的一点，过P 点的椭圆以双曲线4x 2-5y 2=20的焦点为焦点．试求P 点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出这个具有最短长轴的椭圆方程． （27）设x ∈]4,8[p p -，求函数y=cos4x+4sin 2x 的最大、最小值．的最大、最小值．（28）已知集合A={z||z-2|≤2，z ∈C}，B={z|z=2i z 1+b ，z 1∈A ，b ∈R}，若A ∩B=φ，求b 的取值范围．的取值范围．（29）如图2-4-3，三棱锥P-ABC 中，PB ⊥底面△ABC 于B ，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E 为PC 的中点，点F 在P A 上，且3PF=FA ． （Ⅰ）求异面直线P A 与BE 所成角的大小；所成角的大小； （Ⅱ）求三棱锥F-ABE 的体积．的体积．（30）已知双曲线)0,0(12222 b a by ax =-的离心率332=e ，过点A （0，-b ）和B （A ，0）的直线与原点间的距离为23． （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）直线y=kx+m （k ≠0，m ≠0）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围．的取值范围． （31）已知椭圆))2,.0((1222pa a Î=+tg y x 的焦点在x 轴上，A 为右顶点，为右顶点，椭圆与射线椭圆与射线y=x （x ≥0）交于B ，以A 为焦点开口向左的抛物线的顶点是（m ，0），又该抛物线过B 点，当椭圆的离心率在（1,36）变化时，求m 的取值范围．的取值范围． （32）已知抛物线y 2=2x ．（Ⅰ）设A （0,32），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A|；（Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．表达式．（33）已知曲线x 2+y 2=1（y ≥0），A （2，0），P 为圆上一点，△APQ 为正三角形（A 、P 、Q 为顺时针方向）．（Ⅰ）求四边形POAQ 面积的最小值；面积的最小值； （Ⅱ）求|OQ|的最大值．的最大值．专题练习四 化归与转化思想答案 一、一、 （1）C （2）A （3）A （4）D （5）D （6）B （7）A （8）B （9）C （10）D （11）C （12）A （13）B （14）B （15）D 提示提示（1） 当a=0时，f （x ）=-1＜0，∴a=0满足题意；当a ≠0时，依题意，二次函数f （x ）的图象都在x 轴下方，∴a ＜0且△＜0，解出a ＜0，综上，a ∈(]0,¥-，∴选C ．（2）函数定义域满足+÷øöçèæ-+=+--ÎÞ--112lg )()(),1,1(0112x x f x f x x )()(,01lg 1111lg 112lg x f x f x x x x x -=-\==úûùêëé÷øöçèæ-+×÷øöçèæ+-=÷øöçèæ--,∴f(x)为奇数，∴选A ． （3）99989729819909)28(161)17(1)17777(-=+=+-=+-+-+-=C C C C m +1= 26297198999889272981990928288(8122822288´+×-=+×-××+-××+×-C C C C C C C -…+\+-=+-+-×,1812,12)2399889 C m 除以8余1，∴选A ．（4）a=0．30．4＞0．30=1，b=log 0．30．4＜log 0．30．3=1，∴b ∈（0，1），c ＜0，∴选D ． (5)当x ＞0时，(]2,00142ÎÞ³+-x x ；当x ＜0时，224014x x -Þ³--[),0,3,312-Î\£Þ³x x 综上，[)(]\-Î,2,00,3 x 选D ．（6）过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，则|OD|=2222222221||1||,||c c b a c AD b a c -=÷÷øöççèæ+-=+ \=Þ=Þ=,2||22||21AB AD 选B ．（1） 令x=1，2+22+23+…+210=\-=--,2212)12(21110选A ．（8）),02,10(12222222222££-££=+Þ-=Þ--=y x y x x y x y 即椭圆1222=+y x 在第四象限的部分（包括端点），根据f （x ）与f -1（x ）的图象关于直线y=x 对称，∴选B ．（9）⊙C ：（x+1）2+y 2=25，C （-1，0），r=5．依题意，|MP|=|AM|，∴|AM|+|CM|=|MP|+|CM|=|CP|=5＞|AC|=2，∴M 点的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，a=25，c=1，∴b 2=421，又椭圆的中心是（0，0），∴M 点的轨迹方程为142142522=+y x ，即121425422=+y x ，∴选C ． （10）过M 作ME ⊥B 1C 1于E ，过E 作EF ⊥B 1C 于F ，连MF ，则∠MFE=θ，设ME=1，则EF=42，\=Þ=\,31cos 22q q tg 选D ．（11）如图答2-4-1，画出函数y=x1，y=arctgx 的图象，有两个交点，∴方程有两解，∴选C ．（12）如图答2-4-2，Q 关于直线x+y-2=0的对称点Q /（1，-3），则Q /P 为入射线方程，由两点式得入射线方程为x-2y-7=0，∴选A ．（13）y=2sinx-2（1-sin 2x ）+1=2sin 2x+2sinx-1=222,324,23)21(sin 2\££-+p px x\Î\££],3,2[,1sin y x 选B ．（14）如图答2-4-3，Þ==Ð6,35l VBA tg 底面半径r=1ÞBB /=2π，∴侧面展开图的圆心角362/p p ==ÐVB B ．A /为弧BB /的中点，过B 作BD ⊥V A.于D ，则BD 为所求．BD=VB ·\=×=Ð,36sin 6sin /p VB A 选B ．（15）5115145,145).1,41(14522222-=--=\--=ÎÞ+aa a e a a c a a aúûùççèæÎ\=×-£+51,0,514511)14(e a a ，当且仅当2114=Þ=a a a 时等号成立，∴选D ． 二、二、（16）p 32 （17）59 （18）257 （19）100a 100 （20）3164 （21）60° （22）p9（23）32提示提示（16）如图答2-4-4，1|3|=-+i z 对应复平面上以)1,3(-C 为圆心，1为半径的圆．作OD 与⊙C 相切于D ．\=Ð\=Ð=Ð,32,6,65p pp DOX COD COX argz 最小值为.32p（17）x 2+y 2为原点与直线x+2y-3=0上的点距离的平方，其最小值为原点到直线x+2y-3=0距离的平方．.595|3|)(2min22=÷÷øöççèæ-=+\y x（18）,452p b a p -又tg （α-β）＞0，,53)sin(),45,(-=-\Î-\b a p p b a,54)cos(-=-b a 又53)54)(54()](cos[cos ,54cos +--=--=\-=b a a b a ·（-53）=.257（19）x n+1=ax n ，∴{x n }为等比数列，q=a ，∵x 101=x 1·q 100，x 102=x 2·q 100，…，x 200=x 100·q 100，∴x 101+x 102+…+x 200=（x 1+x 2+…+x 100）·q 100=100·a 100．（20）如图答2-4-5，把棱台的问题转化为圆台．则圆台上、下底及截面半径分别为4、9、8．画出圆台轴截面图．设上底到截面的距离为h /，圆台高为h ，则541=h h，V 上：V 下=.31642171124)728164)((3)326416(3/2=´=++-++h h h pp（21）双曲线的普通方程为.13)1()4(22=+--x y 将中心移到（-1，4），在新坐标系中，，在新坐标系中， Þ°=\===-30,31.131212q q ba tg x y两条渐近线的夹角为60°．°．（22）³×׳++£××Þ×׳=++33313111.273gb a g b a p g b a g b a p g b a 3· 92733p p =（23）当a=0时，b 可取-6，7；当a ≠0时，从-6，-4，-2，1，3，5，7中任取2个作为a 、b ，共27P 个，其中不合格的是从-4，-2，1，3中任取2个共24P 个．∴模大于5的不同虚数共2+32)(2427=-P P 个．个．三、三、（24）如图答2-4-6，向量AB 逆时针转90°得向量.AD 设D （x ，y ），则[（2-i ）-（1+i ）]·i=（x+yi ）-（1+i ），根据复数相等有)2,3(1121D y x Þîíì=-=-，BD 的中点M )21,25(是AC 的中点，∴C （4，0）；又与D /与D 关于A 对称，∴D /（-1，0），C /与C 关于B 对称，∴C /（0，-2），∴C 、D 坐标为（4，0）、（3，2）或（0，-2）、（-1，0）．（25）.1121-Þ+ x x不等式变形为,2212223+-××x xx令ÎÞ--Þ+=Þ=t t t t t t t x 01212123,2122 ).0,1(1221)1,21(-ÎÞÞx x（26）14522=-y x ，两焦点F 1（-3，0），F 2（3，0），∵2a=|PF 1|+|PF 2|，即在直线x-y+9=0上求一点P ，使|PF 1|+|PF 2|最小．F 1关于x-y+9=0的对称点A （-9，6），∴2a=|AF 2|=6,5\=Þ.362b 所求椭圆方程为.1364522=+y x 直线AF 2的方程是),3(21--=x y 与x-y+9=0联立，解出x=-5，y=4．∴P （-5，4）．（27）Î\-Î+-=-×+-=x x xx x y 2],4,8[,21)212(cos 222cos 1412cos 222p p ]2,4[p p -，令cos2x=t ∈[0，1]，问题转化为求二次函数21)21(22+-=t y 在[0，1]的最大、最小值．的最大、最小值．.21,1m in m ax ==\y y（28）设z=x+yi （x ，y ∈R ），则A={（x ，y ）|（x-2）2+y 2≤4}．)2()(221b y b yi x i b z i +-=++=++\+=,2ni m i x Þïïîïïíì=+-=22x n b y mîíì=-=n x m b y 2)(2 代入（x-2）2+y 2≤4中，得（m-b ）2+（n-1）2≤1∴B={（x ，y ）|（x-b ）2+（y-1）2≤1}．若A ∩B=φ，问题转化为两圆无公共点，则圆（x-2）2+y 2=4与圆（x-b ）2+（y-1）2=1外离，即222121)2(2+Þ++- b b 或b ＜2-2.2（29）（Ⅰ）如图答2-4-7，∵PB ⊥面ABC ，∴PB ⊥AC ，又∠BCA=90°，∴AC ⊥面PBC ，∴AC ⊥BE ；又PB=BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE ，∴BE ⊥面PCA ，∴BE ⊥P A ，∴异面直线P A 与BE 所成角为90°．°． （Ⅱ）∵BE ⊥面P AC ，∴42121.31×=×=×==D D --PC AC S SBE VVACPAEF AEFB ABEF ,4232231,234324,2824=××==×=Þ=\=×-D D D AEFB PEAAEFPEA V SS S ∴V F-ABE =4．（30）过A 、B 的直线方程为bx-ay-ab=0．)(4323||222222b a b a ba ab +=Þ=+①；①；34222222=+==a b a a c e ②，解①、②得.1,3==b a （Ⅰ）所求双曲线方程为.1322=-y x（Ⅱ）直线与曲线相交于不同两点转化为直线与曲线组成的方程组有两组不同实数解．ïîïíì=-+=1322y x m kx y 消y ，得，得 （3k 2-1）x 2+6kmx+3（m 2+1）=0 ∵3k 2-1=0不合题意，∴3k 2-1≠0，△ =36k 2m 2=4·3（3k 2-1）（m 2+1）=12（m 2-3k 2+1）＞0依题意，|AC|+|AD|，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则Þ++=++22222121)1()1(y x y x（x 1-x 2）（x 1+x 2）+（y 1-y 2）（y 1+y 2+2）=0∵x 1≠x 2，∴x 1+x 2+k （y 1+y 2+z ）=0（k 为直线CD 的斜率）．∴x 1+x 2+k （kx 1+m+kx 2+m+2）=0Þ（1+k 2）·（x 1+x 2）+2mk+2k=0Þ（1+k 2）·1362--k km+2mk+2k=0Þ3k 2=4m+1，代入△中，得m 2-4m ＞0Þm ＞4或m ＜0，又3k 2=4m+1＞0Þm ＞-41，∴m ∈（-0,41）∪（4，+∞）．C 、D 两点在以A 为圆心的同一个圆上还可以作如下转化：为圆心的同一个圆上还可以作如下转化： 设CD 的中点为P ，则AP ⊥CD ．2222231313,,313),13,133(k k kmm k CD AP km m k k k m k km P AP Þ-=×---\^---=---- =4m+1，以下与上面解法相同．，以下与上面解法相同． （31）A （1，0），将y=x 代入椭圆中，得B （sin α，sin α）．抛物线方程为y 2=-4（m-1）（x-m ）（m ＞1），又B 在抛物线上，∴sin 2α=-4（m-1）（sin α-m ）Þsin 2α+4（m-1）sin α-4m （m-1）=0，令sin α=t ，∴t 2+4（m-1）t-4m （m-1）=0① ∵e 2=1-tg2α，∴)21,0(s in )6,0(310113222ÎÞÎÞÞ-a p a a a tg tg Þt ∈（0，21）．即方程①在（0，21）至少有一个实数解．）至少有一个实数解． 设f （t ）=t 2+4（m-1）t-4m （m-1），∵-4m （m-1）＜0，∴方程①的两根分别在（-∞，0）和（0，-21）内，∴Þïîïíì0)21(0)0( f f).423,1(+Îm（32）（Ⅰ）\³++=+-=+-=,0,31)31(2)32()32(||22222x x x x y x PA 当x=0时，|P A|2取最小值94，∴|P A|的最小值为32，此时P （0，0）．（Ⅱ）|P A|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x ≥0），求|P A|2的最小值转化为求二次函数在x ≥0时的最小值．时的最小值．当a-1＜0Þa ＜1时，当x=0时，|P A|2最小值为a 2，∴|P A|的最小值是|a|（此时P （0，0））；当a-1≥0Þa ≥1时，当x=a-1时，|P A|2最小值为2a-1，∴|P A|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））．îíì³-=\1121||a a a a d （33）如图答2-4-8，设∠AOP=α，把问题转化为三角．由余弦定理得，把问题转化为三角．由余弦定理得 AP 2=1+4-2·1·2·cos α=5-4cos α． （Ⅰ）+-=-+××=+=D D aaa acos 3sin)cos 45(43sin 2121PAQPOAPOAQSSS46 ,3452345)3sin(2345+£+-=p a 当p a p p a 6523=Þ=-时，时， ∴当p a 65=时，四边形POAQ 面积的最大值为.3452+（Ⅱ）∵△APQ 为正三角形，∴用向量的旋转可表示Q 点坐标．将向量AP 顺时针旋转3p ，模不变，得向量AQ ．设P （cos α，sin α）（sin α≥0），Q （x ，y ）． AP 对应的复数为（cos α-2）+isin α，AQ 对应的复数为（x-2）+yi ，∴23sin 21()sin 231cos 21()33(cos ]sin )2[(cos -++-Þ-×+-a a a p p a a isn i ,)2()3cos yi x i +-=+aïïîïïíì+-=++=Þïïîïïíì+-=+-=-\3cos 23sin 211cos 21sin 233cos 23sin 21sin 231cos 212a a a a a a a a y x y x ① 2+②2，得，得41()cos sin 23cos sin 31cos 41sin 43(||22222+×+++++=+=a a a a a a y x OQ +=-+=×--+++5cos 2sin 325)cos sin 23cos 3sin 33cos 43sin 22a a a a a a a a ,9)6sin(4£-p a 当p a p p a 3226=Þ=-时，时，∴当p a 32=时，|OQ|的最大值是3．。
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方法技巧专题五转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．
一、选择题
1．[2015·山西] 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
2．[2016·扬州] 已知M＝2
9
a－1，N＝a2－
7
9
a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为( )
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定
3．[2016·十堰] 如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )
A．140 m B．150 m C．160 m D．240 m
图F5－1
4．[2016·徐州] 图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
图F5－2
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
二、填空题
5．[2017·烟台] 运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
图F5－3
6．[2016·达州] 如图F5－4，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为________．
图F5－4
7．[2016·宿迁] 如图F5－5，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．
图F5－5
三、解答题
8．如图F5－6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果，不必说明理由．
图F5－6
参考答案
1．A
2．A [解析] ∵N－M＝a2－7
9
a－(
2
9
a－1)＝a2－a＋1＝(a－
1
2
)2＋
3
4
＞0，∴M＜N.故选A.
注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．
3．B [解析] ∵多边形的外角和为360°，这里每一个外角都为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15. ∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.
注：把问题转化为正多边形的周长．
4．D [解析] 如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x (9－x )＝6×(9－6)．整理，得x 2
－9x ＋18＝0，解得x 1＝3，x 2＝6.故选D .
注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想． 5．x ＜8 [解析] 由题意，得3x －6<18，解得x ＜8.
6．24＋9 3 [解析] 如图，连结PQ ，则△APQ 为等边三角形．
∴PQ ＝AP ＝6.易知△APC ≌△AQB ，∴QB ＝PC ＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ ＝90°. ∴S 四边形APBQ ＝S △BPQ ＋S △APQ ＝12×6×8＋34×62
＝24＋9 3.故答案为24＋9 3.
注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA ，PB ，PC 集中到△PBQ 中．
7．4或2 3 [解析] 设AD 的中点为P 1，无论AB 多长，△P 1BC 都是等腰三角形，即点P 1始终是符合条件的一个点．
(1)如图①，当以点B (或点C )为圆心，以BC 为半径的圆与直线AD 相切时，符合条件的点有3个， 此时AB ＝BC ＝4；
(2)如图②，分别以点B (或点C )为圆心，以BC 为半径的圆经过点P 1时，符合条件的点也有3个．此时BP 1＝BC ＝4，
AB ＝2 3.
综上所述，BA 的长为4或2 3.
注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数． 8．解：(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .
∵O 为正方形ABCD 对角线的交点， ∴OA ＝OD ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°， ∵四边形OEFG 为正方形，∴OG ＝OE ， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO ＝∠DEO .
∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°， ∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°. ∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG .
(2)①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：
(i )α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝1
2OG ′，
∴在Rt △OAG ′中，sin ∠AG ′O ＝OA OG′＝12
， ∴∠AG ′O ＝30°， ∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′， ∴OD ∥AG ′.
∴∠DOG ′＝∠AG ′O ＝30°，即α＝30°.
(ii )α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求得∠BOG ′＝30°， 所以α＝180°－30°＝150°.
综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°. ②AF ′长的最大值是2＋
2
2
，此时α＝315°. 理由：当AF ′的长最大时，点F ′在直线AC 上，如图所示．
∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1， ∴AC ＝BD ＝2，AO ＝OD ＝
22
. ∴OE ′＝E ′F ′＝2OD ＝ 2. ∴OF ′＝（2）2
＋（2）2
＝2. ∴AF ′＝AO ＋OF ′＝2
2
＋2. ∵∠DOG ′＝45°，
∴旋转角α＝360°－45°＝315°.。