回归分析例题
高考数学基础训练：回归分析含详解
高考数学基础训练：回归分析一、单选题1．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.A ．90B ．75C ．60D ．452．对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是（）A ．0.2B ．0.8C ．－0.98D ．－0.73．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点（x ，y ）：x 99.51010.511y1110865若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为 3.2y x a=-+，则据此计算残差为0的样本点是（）A ．（9，11）B ．（10，8）C ．（10.5，6）D ．（11．5）4．据一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，求得经验回归方程为ˆ 1.50.5yx =+，且3x =.现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，则（）A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程仍为ˆ 1.50.5yx =+C ．去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快D ．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,3.75的残差为0.055．对于样本相关系数，下列说法错误的是（）A ．可以用来判断成对样本数据相关的正负性B ．可以是正的，也可以是负的C ．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越高D ．取值范围是[]1,1-6．下列说法中正确的是A ．先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50,100,150,m m m +++ 的学生，这种抽样方法是分层抽样法B ．线性回归直线ˆˆy bxa =+不一定过样本中心()x y C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据2，4，a ，8的平均数是5，则该组数据的方差也是57．某同学用收集到的6组数据对(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线1l 的方程：µµ11y b x a =+$，相关系数为1r ，相关指数为21R ：经过残差分析确定点E 为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线2l 的方程：µµ22y b x a =+$，相关系数为2r ，相关指数为22R ．则以下结论中，正确的是（）①10r >，20r >；②µ10b >，µ20b >；③µµ12b b >；④2212R R >A ．①②B ．①②③C ．②④D ．②③④8．已知变量y 关于x 的非线性经验回归方程为0.5ˆe bx y-=，其一组数据如下表所示：x 1234ye3e 4e 5e 若5x =，则预测y 的值可能为（）A ．152e B ．112e C ．7e D ．5e 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．高中女学生的身高预报体重的回归方程是 0.7575.5y x =-（其中x ， y 的单位分别是cm ，kg ），则此方程在样本()160,46处残差的绝对值是______．10．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：甲乙丙丁R 20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是__________.11．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （122,,,,n n x x x ≥⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线210x y +-=上，则这组样本数据的相关系数r 为______．12．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y 的散点图中，若所有样本点(),i i x y ()1,2,,6i = 都在曲线212y bx =-附近波动．经计算6112i i x ==∑，6114i i y ==∑，62123ii x==∑，则实数b 的值为________．三、解答题13．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：月份i 123456销售单价i x 99.51010.5118销售量iy 111086515（1）试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.14．为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x 天12345人数y （单位：万人）75849398100(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台专营店购物的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.30.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r >，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）(2)求购买人数y 与直播的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）．参考数据：521(434i iy y =-=∑，51(64i i i x x y y =--=∑65.979≈．附：相关系数()()ni i x x y y r --=∑，回归直线方程的斜率121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，截距a y bx =-$$．15．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a =+或dy c x=+建立y 关于x 的回归方程，令s =1t x=得到如下数据：xyst10.15109.943.040.16113niii s ys y=-⋅∑13113iii t yt y=-⋅∑1322113ik ss=-∑1322113ii t t =-∑ 1322113ii yy =-∑13.94-2.111.670.2121.22且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953．（1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适；（2）根据（1）的结果及表中数据，建立 y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑， v u αβ=-，相关系数ni i u vnu vr -⋅∑．参考答案：1．A 【解析】【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.考点：频率分布直方图.2．C 【解析】【分析】由相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，即可求解【详解】∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，C 相关系数的绝对值最大约接近1，∴C 拟合程度越好．故选：C 3．B 【解析】【分析】先求出线性方程的样本中心点，从而可求得 3.240y x =-+，再根据残差的定义可判断.【详解】由题意可知，99.51010.511105x ++++==，111086585y ++++==所以线性方程的样本中心点为(10,8)，因此有 8 3.21040aa =-⨯+⇒=，所以 3.240y x =-+，在收集的5个样本点中，(10,8)一点在 3.240y x =-+上，故计算残差为0的样本点是(10,8).故选：B 4．A 【解析】【分析】由条件可知样本中心不变，可求出新的回归直线方程，即可判断.【详解】因为重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，所以变量x 与y 具有正相关关系，故A 正确；当3x =时，315055y ..=⨯+=，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为x '，纵坐标的平均值为y '，则12636322n x x x x n n n ++⋅⋅⋅+--=--'==，1210510522n y y y n n n y ++⋅⋅⋅+--'==--=，因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线l 的斜率为1.2，所以ˆ53 1.2a =⨯+，解得 1.4ˆa =，所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，故B 错误；因为1.5 1.2>，所以去除两个误差较大的样本点后y 的估计值增加速度变慢，故C 错误；因为ˆ 1.22 1.4 3.8y=⨯+=，所以ˆ 3.75 3.80.05y y -=-=-，故D 错误.故选：A.5．C 【解析】【分析】根据相关系数的概念,依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当相关系数为正时，表明变量之间是正相关，相关系数为负数时，表明相关系数为负数，故A 选项正确；对于B ，D 选项，相关系数范围是[]1,1-，故可以为正，也可以为负，故B ，D 选项正确；对于C 选项，当相关系数为负数时，样本相关系数越大，线性相关性就越弱，故C 选项错误；故选：C6．D 【解析】A 是系统抽样，B 选项线性回归直线ˆˆy bxa =+一定过样本中心(),x y ，C 选项若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，D 选项若一组数据2，4，a ，8的平均数是5，求出a ，则该组数据的方差即可求解.【详解】A 选项：先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50,100,150,m m m +++ 的学生，这种抽样方法是系统抽样法，所以该选项不正确；B 选项：线性回归直线ˆˆy bxa =+一定过样本中心(),x y ，所以该选项不正确；C 选项：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，所以该选项不正确；D 选项：若一组数据2，4，a ，8的平均数是5，24854a +++=，解得6a =，则该组数据的方差是()()()()22222545658554-+-+-+-=，所以该选项正确.故选：D 【点睛】此题考查抽样方法，回归直线，相关关系的辨析，求平均数和方差，关键在于熟练掌握相关概念和公式，准确计算.7．B 【解析】【分析】根据散点图逐项进行判断即可.【详解】①：由散点图可知，,x y 之间是正相关关系，所以10r >，20r >，故①正确；②③：由散点图可知，回归直线的斜率是正数，且1l 的斜率大于2l 的斜率，所以µ10b >，µ20b >，µµ12b b >，故②③正确；④：由散点图可知，去掉“离群点”E 后，相关性更强，拟合的效果更好，所以2212R R <，故④错误；故选：B.8．C 【解析】【分析】将0.5ˆe bx y-=两边同时取对数，得ln 0.5y bx =-，设0.5z bx =-，由样本中心()x z 必在回归直线0.5z bx =-上，可求出b ，从而即可求解．【详解】解：由题意，将0.5ˆe bx y-=两边同时取对数，得ln 0.5y bx =-，设0.5z bx =-，则x1234z13451234 2.54x +++==，13453.254z +++==，由0.5z bx =-，得3.25 2.50.5b =-，解得 1.5b =，所以 1.50.5e x y -=，所以当5x =时， 1.550.57e e y ⨯-==，故选：C.9．1.5##32【解析】【分析】利用回归直线方程，求出160x =的估计值，然后求解残差的绝对值.【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是 0.7575.5y x =-，当160x =时， 0.7516075.544.5y =⨯-=，此方程在样本()160,46处残差的绝对值：44.546 1.5-=.故答案为：1.5.10．选甲相关指数R 2越大，表示回归模型拟合效果越好．【解析】【分析】相关指数越大，相关性越强，拟合效果越好．根据相关指数的大小即可判断．【详解】相关指数2R 越大，相关性越强，回归模型拟合效果越好，所以效果最好的是甲．【点睛】如果两个变量间的关系是相关关系，相关指数2R 越大，相关系数r 越接近1，残差平方和越接近0，都代表拟合效果越好．11．1-【解析】【分析】根据直线斜率可知两个变量负相关，结合数据点都在直线上可确定1r =-.【详解】直线210x y +-=的斜率20k =-<，∴这两个变量成负相关，0r ∴<，又所有样本点都在直线210x y +-=上，1r ∴=-．故答案为：1-.12．1723【解析】【分析】设2t x =，可得回归直线方程为12y bt =-，求出样本中心点(),t y 代入可得b 的值.【详解】令2t x =则212y bx =-即12y bt =-，6212366i i x t ===∑，61147663ii y y ====∑，因为样本中心点237,63⎛⎫ ⎪⎝⎭在回归直线12y bt =-上，所以7231362b =-，可得：1723b =，故答案为：1723.13．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.【解析】【分析】（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出 ,ba ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出 y 的值，再与15比较即可得结论【详解】（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，得()ˆ8 3.21040a=--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+；（2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=，则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<，故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.14．(1)具有较高的线性相关程度(2) 6.470.8y x =+，314万人【解析】【分析】（1）由已知计算相关系数r 即可.（2）由列表计算 a、b ，可得线性回归方程进一步可得解.(1)由表中数据可得3,90x y ==，所以521()10i i x x =-=∑，又55211()434,()()64i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑，所以()()50.970.75i i x x y y r --=>∑，所以该电商平台直播黄金时段的天数x 与购买人数y 具有较高的线性相关程度．所以可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系．(2)由表中数据可得()()()5152164ˆ 6.410i i i i i x x y y b x x ==--===-∑∑，则ˆˆ90 6.4370.8a y bx =-=-⨯=，所以 6.470.8y x =+，令38x =，可得 6.4387031ˆ.84y =⨯+=（万人）15．（1）用d y c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适；（2）10ˆ111.54y x =-；（3）当温度为20时这种草药的利润最大．【解析】【分析】（1）利用相关系数1r ，2r ，比较1||r 与2||r 的大小，得出用模型d y c x=+建立回归方程更合适；（2）根据（1）的结论求出y 关于x 的回归方程即可；（3）由题意写出利润函数ˆz ，利用基本不等式求得利润z 的最大值以及对应的x 值．【详解】（1）由题意知20.9953r =-，10.8858r =，因为121r r <<，所有用d y c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适．（2）因为1311322113 2.1ˆ100.2113i i i i i t y t yd tt ==-⋅-===--∑∑，ˆˆ109.94100.16111.54cy dt =-=+⨯=，所以ˆy 关于x 的回归方程为10ˆ111.54y x=-（3）由题意知11012020(111.54ˆˆ)22z y x x x =-=--20012230.8()2x x =-+2230.8202210.8≤-=，所以22.8ˆ10z≤，当且仅当20x =时等号成立，所以当温度为20时这种草药的利润最大．。
回归分析例题
10.4.2 银行是否批准抵押贷款申请? 有一对夫妇用所拥有的一套面积为1800 平方尺、每年房屋税为1500美元且配有游泳 池的住房 ,向杰弗逊山谷银行提出抵押19万 美元的申请 ,该银行搜集的房屋销售资料如 下 ,试以此判断该银行能否接受这对夫妇的 申请?
居住面积 15 (百平方尺) 房屋税 (百元)
1331.9
1160 1535 1961.8 2009.3 1721.9 1298 1100 1039 1200
5.6
8.5 7.7 7 6 6 7.2 7.6 9.2 8.8
9.4
9.4 7.2 6.6 7.6 10.6 14.9 16.6 17.5 16
4.1
3.4 4.2 4.5 3.9 4.4 3.9 3.1 0.6 1.5
表10.4.37 电话线缆年销售量资料
time
1 2 3 4 5 6
Y
5873 7852 8189 7497 8534 8688
X1
1051.8 1078.8 1075.3 1107.5 1171.1 1235
X2
1053.6 1486.7 1434.8 2035.6 2360.8 2043.9
X3
现分析GAP、PSI、TUCH对LG的影响。
10.4.5 家庭摄录机需求分析 当因变量具有相反的两种属性分类（如买 与不买，合格与不合格）或者因变量被分成几 组在不同竞争压力下产生不同的反应效果，以 上所有情况有一共同要求就是必须掌握全部观 察数及竞争压力的反应效果数据总数，这时可 用Analyze中的Probit回归过程进行分析。 Probit模型方程如下：Φ -1（Pi）=B。+BiXi 其中： Φ -1（Pi）是分布密度函数的反函数。 Pi为概率， b。常数项，bi偏回归系数，xi是 响应变量。
专题05 回归分析(解析版)
专题5 回归分析例1．已知回归方程y=5x+1，则该方程在样本（1，4）处的残差为（）A．﹣2B．1C．2D．5【解析】解：当x＝1时，y=5x+1＝6，∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．故选：A．例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．以上正确说法的是①③④．【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位，故③正确；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．故答案为：①③④．例3．下列命题中，正确的命题有②③．①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．【解析】解：①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），不一定过样本点，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，故正确的是②③，故答案为：②③例4．下列命题：①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．其中错误命题的个数为4．【解析】解：对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．故答案为：4．例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，……，20），其中x i和y i分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得∑20i=1x i=80，∑20i=1y i=4000，∑20i=1（x i−x）2＝80，∑20i=1（y i−y）2＝8000，∑20i=1（x i−x）（y i−y）＝7000．（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：1年2年3年4年5年使用年限台数款式甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)∑i=1(y i−y)2．对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，……，n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）由题意知相关系数r=∑20i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2∑i=1(y i−y)2=√80×8000=78=0.875，因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得，b=∑20i=1(x i−x)(y i−y)∑20i=1(x i−x)2=70080=8.75，a=y−b x=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，所以y=8.75x+165．（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为X﹣50050100P0.10.40.30.2E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：Y﹣302070120P0.30.40.20.1E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y 与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量X（单位：小时）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制仪最多可运行台数542若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其相关系数公式r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i−x)2∑i=1i−y)2，回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，参考数据√0.3≈0.55，√0.9≈0.95．【解析】解：（1）由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，因为∑5i=1(x i−x)(y i−y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，√∑5i=1(x i−x)2=√(−3)2+(−1)2+02+12+32=2√5，√∑5i=1(y i−y)2=√(−1)2+02+02+02+12=√2．所以相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2=2√5⋅√2=√910≈0.95，因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，因为b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=620=0.3，a=y−b x=2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，所以过去50周每周利润的平均值Y=3000×10+11000×35+15000×550=9800元，所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物学科各等级对应的原始分区间[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Y i，T i），请计算生物原始分Y i与生物转换分T i之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间等级A B C D E原始分从高到低排序的等级人数占比约15% 约35% 约35% 约13% 约2%转换分T 的赋分区间[86，100] [71，85][56，70] [41，55] [30，40]附2：计算转换分T 的等比例转换赋分公式：Y 2−Y Y−Y 1=T 2−T T−T 1．（其中：Y 1，Y 2别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限；T 1，T 2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T 的计算结果按四舍五入取整）．附3：∑ 6i=1（Y i −Y ）（T i −T ）＝74，√∑ 6i=1(Yi −Y)2∑ 6i=1(T i −T)2=√5494≈74.12，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑i=1i −Y)2∑i=1i −T)2．【解析】解：（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73； （2）甲同学选考政治学科的等级为A ，由转换赋分公式：98−8282−81=100−T T−86，解得T ＝87；乙同学选考生物学科的等级为A ，由赋分转换公式：100−9191−90=100−T T−86，解得T ＝87；所以甲、乙两位同学的转换分都是87分． （3）由题意知，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑ i=1(Y i −Y)2∑ i=1(T i −T)2=7474.12≈0.998， 说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象． （只要说法有道理，都可以得分）．例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60≤m ≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根据散点图选择y=a+b√x和y=c+d lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：y=0.9369+0.0285√x y=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，√2≈141，√3≈1.73，√23≈4.80．【参考公式】R2=1−∑ni=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，故中位数出现在第四组，且m0=90+10×0.150.25=96．（Ⅱ）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样可知：440=x30=y10，则x＝3，y＝1，在抽取的4人中，记3名位于[11，120）的市民为A1，A2，A3，位于[120，130]的市民为B则所有抽样情况为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6种．而其中恰有一人在位于购房面积[120，130]的情况共有3种，故所求概率P=36=12，（III）设模型y=0.9369+0.0285√x和y=0.955+0.0306lnx的相关指数分别为R12，R22，则R12=1−0.0005910.006050，R22=1−0.0001640.006050，显然R12＜R22，故模型y=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好．由2019年12月份对应的代码为24，则y=0.9554+0.0306ln24=0.9554+0.0306(3ln2+ln3)≈1.052万元/平方米．例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.3√x−14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：y=−0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程y=4.1x+11.8y=21.3√x−14.4∑7i=1(y i−y i)2182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1−∑n i=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程y=b x+a的系数公式b=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2；a=y−b x）（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即182.4∑7i=1(y i−y)2＞79.2∑7i=1(y i−y)2，∴模型①的R2小于模型②的R2，说明模型②的刻画效果更好．∴当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=21.3×√16−14.4=70.8（亿元）；（Ⅱ）由已知可得，x−20=0.5+2+3.5+4+55=3，则x=23，y−60=8.5+8+7.5+6+65=7.2，则y=67.2，∴a=y−0.7x=67.2+0.7×23=83.3，∴当x＞16亿元时，y与x满足线性回归方程y=−0.7x+83.3，当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=−0.7×20+83.3=69.3．∴当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3亿元＞70.8亿元．∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大；（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X≤0.50）=1−0.95452=0.02275，∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，∴P（X＞0.53）=1−0.68272=0.15865，∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：Y024P0.022750.81860.15865∴每台发动机获得的奖励的数学期望为：E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（万元）．例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均体重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，体重在[55﹣60）的频率为：60400=0.15，体重在[70﹣75）的 频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2 +77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因为 r ＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来 刻画中学生身高与体重的相关， x =145+155+165+175+1855=165，y =45+75+60+53.6+66.45=60，b =∑ 8i=1x i y i −8x⋅y ∑ 8i=1x i 2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728， a =y −b x =60−0.728×165=−60.12， 所以回归直线方程为：y =0.728x −60.12，（3）残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．例11．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2018年11月～2019年11月）根据散点图选择y =a +b √x 和y ＝c +dlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y ^=0.9369+0.0285√x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些统计量的值：y^=0.9369+0.0285√x y^=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y^i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额＝房款+税费，房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格＝房款）进行征收的．房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，√2≈1.41，√3≈1.73，√17≈4.12，√19≈4.36．参考公式：相关指数R2=1−∑ni=1(y i−y^i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（1）模型一中，y=0.9369+0.0285√x的残差平方和为0.000591，相关指数为R21−0.0005910.006050≈0.923，模型二中，y=0.9554+0.0306lnx的残差平方和为0.000164，相关指数为 R 21−0.0001640.006050≈0.973，∴ 相关指数较大的模型二拟合效果好些． （2）通过散点图确定2020年4月对应的 x ＝18， 代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算 y =0.9554+0.0306ln18 ＝0.9554+0.0306×（ln 2+2ln 3） ＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10） ≈1.044 （万元/平方米），则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）．（i ）设该购房者应支付的购房金额 h 万元，因为税费中淵方只需缴纳契税， ①当70⩽m ⩽90 时，契税为计税价格的 1%， 故h ＝m ×1.044×（1%+1）＝1.05444m ； ②当90＜m ⩽144 时，契税为计税价格的 1.5%， 故h ＝m ×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m ； ③当144＜m ⩽160 时，契税为计税价格的 3%， 故h ＝m ×1.044×（3%+1）＝1.07532m ；∴ℎ={1.05444m ，70⩽m ⩽901.05966m ，90＜m ⩽1441.07532m ，144＜m ⩽160；∴ 当 70⩽m ⩽90 时购房金额为 1.05444m 万元， 当 90＜m ⩽144 时购房金额为 1.05966m 万元， 当 144＜m ⩽160 时购房金额为 1.07532m 万元．（ii ）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（i ） 知，当70⩽m ⩽90时，应支付的购房金额为 1.05444t ，又1.05444t ⩽1.05444×90＜100， 又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以 t ＜100，所以90⩽t ＜100， 由1.05966t ⩽100，解得 t ⩽1001.05966，且1001.05966≈94.4，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．例12．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x （单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：月份345678宣传费x5678910月销售量y0.4 3.5 5.27.08.610.7现分别用模型①y=b x+a和模型②y=e m x+n对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：（模型①和模型②的残差分别为e1和e2，残差＝实际值﹣预报值）x5678910y0.4 3.5 5.37.08.610.7e1﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e2﹣0.63 1.71 2.10 1.63﹣0.7﹣5.42（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．（剔除数据前的参考数据：x=7.5，y=5.9，∑6i=1x i y i=299.8，∑6i=1x i2=355，z＝lny．z≈−1.41，∑6i=1x i y i=−73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解析】解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（2）由（1）知，需剔除第一组数据，则剔除后的x=7.5×6−55=8，y=5.9×6−0.45=7，5xy=280，5x2=320，∑5i=1x i y i=299.8−5×0.4=297.8，∑5i=1x i2=355−25=330．∴b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=297.8−280330−320=1.78，a=y−b x=7−1.78×8=−7.24．得①的回归方程为y=1.78x−7.24，则当x＝12时，y=1.78×12−7.24=14.12．故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．例13．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数y481632517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①y=bx2+a，②y=dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差e î=y i−y î）：经过计算得它∑8i=1(x i−x)(y i−y)=728，∑8i=1(x i−x)2=42，∑8i=1(z i−z)(y i−y)=6868，∑8i=1(z i−z)2=3570，其中z i=x i2，z=18∑8i=1z i.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑8i=1(x i−x)(y i−y)∑8i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1）可知y关于x的回归方程为y=bx2+a，令z＝x2，则y=bz+a，由所给的数据可得：z=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，y=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，b=∑8i=1(z i−z)(y i−y)∑8i=1(z i−z)2=68683570≈1.92，则a=y−b z≈50﹣1.92×25.5＝1.04，所以y关于x的回归方程为y=1.92x2+1.04；（3）将x＝9代入回归方程，可得y=1.92×92+1.04＝156.56≈157（人），所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．例14．H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据．产量x（件）12345生产总成本y（万元）3781012（Ⅰ）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的线性回归方程y=b x+a；参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求y与x的线性回归方程y=b x+a为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：y=12x2+1．其中模型②的残差图（残差＝实际值﹣预报值）如图所示：请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；（Ⅲ）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？【解析】解：（Ⅰ）计算x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(3+7+8+10+12)=8，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，∑5i=1x i y i=1⋅3+2⋅7+3⋅8+4⋅10+5⋅12=141，b=∑5i=1x i y i−nxy∑5i=1x i2−nx2=141−5×3×855−5×9=2.1，a=y−b x=8−2.1×3=1.7，因此，回归直线方程为y=2.1x+1.7．（Ⅱ）模型①的残差表为：x12345y3781012 y 3.8 5.9810.112.2 e﹣0.8 1.10﹣0.1﹣0.2画出残差图，如图所示；结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，因为：理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进x轴．．（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分．）（Ⅲ）根据模型①中y与x的回归直线方程，计算x＝6时，y=2.1×6+1.7=14.3，所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．例15．为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见表：23456年广告投入x（万元）346811年利润y（十万元）根据以上数据，研究人员分别借助甲．乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：方程甲：y（1）=b（x﹣1）2+2.75，方程乙：y（2）=c x﹣1.6．（1）求b（结果精确到0.01）与c的值．（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（备注：e î=y i−y î，e î称为相应于点（x i，y i）的残差；年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1）残差e î（1）模型乙估计值y î（2）残差e î（2）②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．【解析】解：（1）设t＝（x﹣1）2，则t=15(1+4+9+16+25)=11．∵y=6.4，∴6.4=b×11+2.75，解得b≈0.33．又x=4，∴6.4=c×4−1.6，即c=2．（2）①经计算，可得下表：年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1） 3.08 4.07 5.728.0311残差e î（1）﹣0.08﹣0.070.28﹣0.030模型乙估计值y î（2） 2.4 4.4 6.48.410.4残差e î（2）0.6﹣0.4﹣0.4﹣0.40.6②Q1=(−0.08)2+(−0.07)2+0.282+(−0.03)2=0.0906．Q2=0．62×2+(−0.4)2×3=1.2．∵Q1＜Q2，∴模型甲的拟合效果更好．。
线性回归分析经典例题
1. “团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b1221ˆ， x b y aˆˆ-=2.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元 7 8 9 11 12 13 销量120118112110108104已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程； 若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间内的单价种数的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， ．3. (2018年全国二卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．4.(2014年全国二卷) 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-5（2019 2卷）18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．。
回归分析例题
ˆ b
x y 5x y
i 1 5 i i
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ 1.15 x 28.1. 回归直线方程为：y
ˆ 7.4 1.15 18 28.1. a
练习、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之 间的一组数据为：
R2 1
2 ˆ ( y y ) i i 2 ( y y ) i i 1 i 1 5
0.994
因而，拟合效果较好。
小结
用身高预报体重时，需要注意下列问题： ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
价格x
14
16
18
20
22
需求量Y
12
10
7
5
3
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。 列出残差表为
ˆi yi y
yi y
5 i 1
0 4.6
5
0.3 2.6
5 i 1
-0.4 -0.4
-0.1 -2.4
0.2 -4.4
ˆi )2 0.3, ( yi y
2 ( y y ) 53.2, i
高中数学回归分析精选题
回归分析精选题20道一．选择题（共12小题）1．设某大学的女生体重y （单位：)k g 与身高x （单位：)cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i=，2，⋯，)n ，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，)yC ．若该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k gD ．若该大学某女生身高为170c m ，则可断定其体重必为58.79k g2．某商品销售量y （件)与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是()A ．ˆ10200yx =-+ B ．ˆ10200yx =+ C ．ˆ10200yx =-- D ．ˆ10200yx =-3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是( )A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R 依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R 为( )A ．0.95B ．0.81C ．0.74D ．0.365．已知四个命题：①在回归分析中，2R 可以用来刻画回归效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好； ②在独立性检验中，随机变量2K 的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；③在回归方程ˆ0.212yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy平均增加1个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1； 其中真命题是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．②③6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年)的函数关系较为接近的是( )A ．0.2yx= B ．20.10.1y x x=+ C ．40.2lo g yx=+ D ．210xy=7．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为1b ，2b ，下列说法正确的是( )A ．若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好 B ．若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好 C ．若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好 D ．若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好8．下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟10．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的22121()1()ni i i ni i y y Ry y ==-=--∑∑的值如下，其中拟合效果最好的模型是()A ．模型1对应的20.48R =B ．模型3对应的20.15R =C ．模型2对应的20.96R =D ．模型4对应的20.30R =11．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在残差图中，纵坐标表示残差B ．若散点图中的一组点全部位于直线ˆ32yx =-+的图象上，则相关系数1r =C ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越大D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 12．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数二．多选题（共1小题）13．下列有关回归分析的结论中，正确的有()A ．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x ，)yB ．若相关系数r 的绝对值越接近于1，则相关性越强C ．若相关指数2R 的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高 三．填空题（共4小题）14．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是ˆˆˆy bx a =+，那么该直线必过的定点是 ．15．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a=+，据此模型预测，当10x=时，y 的估计值是16．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为 ．17．对某城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查后知，y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，若该城市居民人均消费水平为7.5（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 ． 四．解答题（共3小题）18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-19．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆa、ˆb ； （3）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-．20．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考数值：511380 i iix y==∑，521145)iix==∑回归分析精选题20道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设某大学的女生体重y （单位：)k g 与身高x （单位：)cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i=，2，⋯，)n ，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，)yC ．若该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k gD ．若该大学某女生身高为170c m ，则可断定其体重必为58.79k g【分析】根据回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，0.85>，可知A ，B ，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定． 【解答】解：对于A ，0.85>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B ，回归直线过样本点的中心(x ，)y ，故正确；对于C ，回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，∴该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k g，故正确；对于D ，170xc m=时，ˆ0.8517085.7158.79y =⨯-=，但这是预测值，不可断定其体重为58.79k g，故不正确故选：D ．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题． 2．某商品销售量y （件)与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是()A ．ˆ10200yx =-+ B ．ˆ10200yx =+ C ．ˆ10200yx =-- D ．ˆ10200yx =-【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y （件)与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．【解答】解：由x 与y 负相关， 可排除B 、D 两项，而C 项中的ˆ102000yx =--<不符合题意．故选：A ．【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正；两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．3．有一散点图如图所示，在5个(,)D后，下列说法正确的是()x y数据中去掉(3,10)A．残差平方和变小B．相关系数r变小C．相关指数2R变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．【解答】解：从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．【点评】本题考查了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．4．在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R为()A．0.95B．0.81C．0.74D．0.36【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数2R越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，由此选出选项中的答案．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数2R越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，在所给的四个选项中0.95是相关指数最大的值，∴其拟合效果也最好．故选：A．【点评】本题考查了相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知四个命题：①在回归分析中，2R可以用来刻画回归效果，2R的值越大，模型的拟合效果越好；②在独立性检验中，随机变量2K的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；③在回归方程ˆ0.212y x=+中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ˆy平均增加1个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题是()A．①④B．②④C．①②D．②③【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①相关指数2R是用来刻画回归效果的，2R表示解释变量对预报变量的贡献率，2R越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强，越趋近0，关系越弱，故2R的值越大，说明回归模型的拟合效果越好，故①正确．②由2K的计算公式可知，对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小，随机变量2K的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大，故②正确；③在回归直线方程ˆ0.212=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加y x0.2个单位，故③错误．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故④不正确．故选：C．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年)的函数关系较为接近的是( )A ．0.2yx= B ．20.10.1y x x=+ C ．40.2lo g yx=+D ．210xy=【分析】将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)分别代入0.2y x=，20.10.1yx x=+，40.2lo g yx=+和210xy=中，验证即可．【解答】解：将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入0.2y x=，当3x=时，0.6y=，和0.78相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入20.10.1y x x=+，当2x=时，0.6y=，和0.39相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入40.2lo g y x=+，当2x=时，0.7y=，和0.39相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入210xy =，当1x =时，0.2y =，当2x =时，0.4y =，与0.39相差0.01， 当3x=时，0.8y=，和0.78相差0.02；综合以上分析，选用函数关系210xy =较为近似．故选：D ．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为1b ，2b ，下列说法正确的是( )A ．若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好 B ．若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好 C ．若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D ．若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好【分析】比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数2R 越大，该模型拟合的效果越好，即可得出结论．【解答】解：比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小， 则相应的相关指数2R 越大，该模型拟合的效果越好． 故选：C ．【点评】本题是基础题．考查残差平方和、相关指数． 8．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【分析】本题是一个对概念进行考查的内容，根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．【解答】解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论． ②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，所以③不对． 与③对比，依据定义知④是正确的， 故选：C ．【点评】本题的考点是相关关系，对本题的正确判断需要对相关概念的熟练掌握． 9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a 的值，写出线性回归方程．将100x=代入回归直线方程，得y ，可以预测加工100个零件需要102分钟，这是一个预报值，不是生产100个零件的准确的时间数． 【解答】解：由表中数据得：20x =，30y=，又ˆb 值为0.9，故300.92012a=-⨯=，0.912y x ∴=+．将100x=代入回归直线方程，得0.910012102y =⨯+=（分钟）．∴预测加工100个零件需要102分钟．故选：C ．【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a 的值，是一个中档题目． 10．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的22121()1()ni i i ni i y y Ry y ==-=--∑∑的值如下，其中拟合效果最好的模型是()A ．模型1对应的20.48R =B ．模型3对应的20.15R =C ．模型2对应的20.96R =D ．模型4对应的20.30R =【分析】根据回归分析中相关指数2R 越接近于1，拟合效果越好，即可得出答案． 【解答】解：回归分析中，相关指数2R 越接近于1，拟合效果越好； 越接近0，拟合效果越差，由模型2对应的2R 最大，其拟合效果最好． 故选：C ．【点评】本题考查了利用相关指数判断模型拟合效果的应用问题，是基础题． 11．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在残差图中，纵坐标表示残差B ．若散点图中的一组点全部位于直线ˆ32y x =-+的图象上，则相关系数1r =C ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越大D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 【分析】根据题意，对选项种的命题分析判断正误即可．【解答】解：对于A ，在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，所以A 正确；对于B，散点图中的一组点全部位于直线ˆ32=-+的图象上，则x，y成负相关，且相关y x关系最强，此时相关系数1r=-，所以B错误；对于C，若残差平方和越小，则残差点分布的带状区域的宽度越窄，其相关性越强，相关指数2R越大，所以C正确；对于D，回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，即变量间的关系不是函数关系，因变量不能由自变量唯一确定，所以D正确．故选：B．【点评】本题考查了统计知识的概念与应用问题，掌握相关概念的含义是解题的关键，是基础题．12．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是() A．总偏差平方和B．残差平方和C．回归平方和D．相关指数【分析】本题考查的回归分析的基本概念，根据拟合效果好坏的判断方法我们可得，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．【解答】解：拟合效果好坏的是由残差的平方和来体现的，而拟合效果即数据点和它在回归直线上相应位置的差异故据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．故选：B．【点评】拟合效果好坏的是由残差的平方和来体现的，也可以理解为拟合效果即数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．二．多选题（共1小题）13．下列有关回归分析的结论中，正确的有()A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x，)yB．若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强C．若相关指数2R的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高【分析】利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，回归方程必定经过样本中心(x，)y，故选项A正确；对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；对于C ，若相关指数2R 的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C 错误； 对于D ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D 正确． 故选：A B D ．【点评】本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义等，属于基础题．三．填空题（共4小题）14．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是ˆˆˆy bx a =+，那么该直线必过的定点是13(2，8)．【分析】根据回归方程必过点(,)x y ，计算出,x y 即可求得答案． 【解答】解：35289121362x+++++==，4639121486y+++++==，回归方程必过点(,)x y ，∴该直线必过的定点是13(2，8)．故答案为：13(2，8)．【点评】本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点(,)x y ，这是线性回归中最常考的知识点，希望大家熟练掌握．属于基础题．15．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a=+，据此模型预测，当10x=时，y 的估计值是 106.5【分析】根据表中数据计算x 、y ，代入回归直线方程求得ˆa的值， 写出回归直线方程，利用方程求出10x =时ˆy的值即可． 【解答】解：根据表中数据，计算1(24568)55x=⨯++++=，1(2040607080)545y =⨯++++=，代入回归直线方程ˆˆ10.5y x a=+中，求得ˆ5410.55 1.5a =-⨯=，∴回归直线方程为ˆ10.5 1.5yx =+，据此模型预测，10x=时，ˆ10.510 1.5106.5y=⨯+=，即y 的估计值是106.5． 故答案为：106.5．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 16．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为 0.5 ．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m 的值． 【解答】解：0123342x +++==，3 5.5715.544m m y++++==，∴这组数据的样本中心点是3(2，15.5)4m +， 关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，∴15.532.10.8542m +=⨯+，解得0.5m =，m∴的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．17．对某城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查后知，y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，若该城市居民人均消费水平为7.5（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 75%．【分析】根据y 与x 具有线性相关关系，且满足回归方程，和该城市居民人均消费水平为，把消费水平的值代入线性回归方程，可以估计该市的职工均工资水平，做出人均消费额占人均工资收入的百分比． 【解答】解：y与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，该城市居民人均消费水平为7.5y=，∴可以估计该市的职工均工资水平7.50.6 1.5x =+，10x ∴=，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.5100%75%10⨯=，故答案为：75%【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查用线性回归方程估计方程中的一个变量，利用线性回归的知识点解决实际问题． 四．解答题（共3小题）18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-【分析】（1）用数组(,)m n 表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m ，n 的所有取值情况，分析可得m ，n 均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x ，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．【解答】解：（1）用数组(,)m n 表示选出2天的发芽情况，m，n 的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(30,26)，共有10个设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26) 所以3()10P A =，故事件A 的概率为310（2）由数据得12,27xy ==，3972x y=，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =由公式，得9779725ˆ4344322b -==-，5ˆ271232a=-⨯=-所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-（3）当10x =时，ˆ22y=，|2223|2-<，当8x=时，ˆ17y=，|1716|2-<所以得到的线性回归方程是可靠的．【点评】本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．19．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆa、ˆb ； （3）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-．【分析】（1）利用描点法作出散点图；（2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程； （3）把10x=代入回归方程得y 值，即为预报变量．【解答】解：（1）散点图如图，由图知y 与x 间有线性相关关系．（2）4x=，5y=，52190i i x ==∑，51112.3i i i x y ==∑，∴112.354512.3ˆ 1.239054210a-⨯⨯===-⨯；ˆˆ5 1.2340.08a y b x =-=-⨯=．（3）线性回归直线方程是ˆ 1.230.08y x =+，当10x=（年)时，ˆ 1.23100.0812.38y=⨯+=（万元），即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．【点评】本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心．20．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考数值：511380i i i x y ==∑，521145)i i x ==∑【分析】（1）根据表格数据，可得散点图；（2）先求出横标和纵标的平均数，代入求系数b 的公式，利用最小二乘法得到系数，再根据公式求出a 的值，写出线性回归方程，得到结果．（3）允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，即线性回归方程的预报值不大于89，写出不等式，解关于x 的一次不等式，得到要求的机器允许的转数． 【解答】解：（1）散点图如图；（2）5x =，50y=，511380i i i x y ==∑，521145i i x ==∑∴13805550ˆ 6.5145555b-⨯⨯==-⨯⨯，ˆˆ17.5ay b x =-=∴回归直线方程为：ˆ 6.517.5yx =+；（3）由89y …得6.517.589x+…，解得11x …∴机器的运转速度应控制11转/秒内【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．。
回归分析例题[整理]
![回归分析例题[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/3316ef4976232f60ddccda38376baf1ffc4fe3c6.png)
例题：利用我国原煤产量和铁路总货运量，建立一元线性回归预测方程。
解：第一步，准备和整理资料数据、搜集的资料要具有权威性和准确性。
1950~1990年我国煤炭产量与铁路货运量的实际数字见表3—8的X i和Y i两列。
第二步，确定自变量(原煤产量)和因变量(铁路货运量)。
第三步，作散点图。
根据数据资料作出的散点图见图3—10。
从该散点图看出，铁路货运量与煤产量的关系是一种正相关关系，特别在1980年以前，这种关系接近于线性。
第四步，确定预测模型的形式。
根据第三步选择线性回归模型：第五步，计算模型参数b0和b1。
首先把l 950年~1979年的数据代入计算，得到b0＝34.499，b1＝1.727，于是有回归方程：第六步．计算估计误差和相关系数。
经计算，估计标准误差：相关系数：r＝0.9852。
第七步，初步经验检验。
从经验知道，铁路运量一般是应该随煤产量增加而增加的，就是说经验要求回归系数b1为正值，如果计算得到的是负值，就要检查原因。
在这里，b1为正值,说明回归方程并不违反经验常识，这一级检验通过。
第八步，统计检验。
统计检验包括以下几个方面的内容：a．离散系数检验。
要求小于10~15%。
b．相关系数检验。
一般认为相关系数r的绝对值若大于0.7，x和y就具有较高的相关程度。
本例中r＝0.9852，两变量高度相关，c．判定系数检验。
r2＝0.9726，说明因变量各实际值与估计值离差的97％以上已被回归方程解释，未被解释的只占不到3％。
d．t检验。
本例中t＝30.4>t0.025(28)=2.084，模型通过了t检验。
e．D—W检验。
样本期间数n＝30，自变量个数K’＝1，显著性水平α＝0.05的情况下，查D —W分布表得dL＝1.35，du＝1.49。
因为D—W＝0.5492＜dL＝1.35，由判断标准可知，随机误差u i之间存在正的自相关问题。
也就是说，由于模型的随机误差存在正的自相关问题，用它进行预测可能会导致估计值过高。
回归分析习题及答案.doc
1.1回归分析的基本思想及其初步应用例题：1.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的()(A)预报变量在x轴上，解释变量在y轴上(B)解释变量在X轴上，预报变量在y轴上(0可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上(D)可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上解析：通常把自变量X称为解析变量，因变量y称为预报变量.选B2,若一组观测值(xi, yi) (x2, y2) ••- (x…, y n)之间满足 y-bxi+a+e；(i=l> 2. •••!!)若巳恒为0,则仁为_____________解析：e』亘为0,说明随机误差对方贡献为0.答案：1.3.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y (万兀)，有如下的统计资料:X 2 3 4 5 6y 22 38 55 65 70若由资料可知y对x呈线性相关关系试求：(1)线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解：(1)列表如下：i 1 2 3 4 5X] 2 3 4 5 622 38 55 65 70时•44 114 220 325 420X； 4 9 16 25 36_ _ 5 5x = 4, y = 5,»；=9o, »,北=112.3z'=l z'=l5 ___况一5xy干旱，仃112.3-5x4x5 …c十正方= ------------- = ------------ -- = 1.23,S，厂2 90 —5x42小「- 5x<=|a = y -bx = 5-1.23x4 = 0.08线性回归方程为：y =bx + a = 1.23x + Q.QS ( 2 )当 x=10 时，y = 1.23x10 + 0.08 = 12.38 (万兀)即估计使用10年时维修费用是1238万元课后练习：1.一位母亲记录了儿子3~9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7. 19x+73.93 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A.身高一定是145. 83cm;B.身高在145. 83cm以上；C.身高在145. 83cm以下；D.身I W J在 145. 83cm 左右.2.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了 4个不同模型，它们的相关指数人2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A.模型1的相关指数人2为0. 98B.模型2的相关指数R2为。
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例题：利用我国原煤产量和铁路总货运量，建立一元线性回归预测方程。
解：
第一步，准备和整理资料数据、搜集的资料要具有权威性和准确性。
1950~1990年我国煤炭产量与铁路货运量的实际数字见表3—8的X i和Y i两列。
第二步，确定自变量(原煤产量)和因变量(铁路货运量)。
第三步，作散点图。
根据数据资料作出的散点图见图3—10。
从该散点图看出，铁路货运量与煤产量的关系是一种正相关关系，特别在1980年以前，这种关系接近于线性。
第四步，确定预测模型的形式。
根据第三步选择线性回归模型：
第五步，计算模型参数b0和b1。
首先把l 950年~1979年的数据代入计算，得到b0＝34.499，b1＝1.727，于是有回归方程：
第六步．计算估计误差和相关系数。
经计算，估计标准误差：
相关系数：r＝0.9852。
第七步，初步经验检验。
从经验知道，铁路运量一般是应该随煤产量增加而增加的，就是说经验要求回归系数b1为正值，如果计算得到的是负值，就要检查原因。
在这里，b1为正值,说明回归方程并不违反经验常识，这一级检验通过。
第八步，统计检验。
统计检验包括以下几个方面的内容：
a．离散系数检验。
要求小于10~15%。
b．相关系数检验。
一般认为相关系数r的绝对值若大于0.7，x和y就具有较高的相关程度。
本例中r＝0.9852，两变量高度相关，
c．判定系数检验。
r2＝0.9726，说明因变量各实际值与估计值离差的97％以上已被回归方程解释，未被解释的只占不到3％。
d．t检验。
本例中t＝30.4>t0.025(28)=2.084，模型通过了t检验。
e．D—W检验。
样本期间数n＝30，自变量个数K’＝1，显著性水平α＝0.05的情况下，查D —W分布表得dL＝1.35，du＝1.49。
因为D—W＝0.5492＜dL＝1.35，由判断标准可知，随机误差u i之间存在正的自相关问题。
也就是说，由于模型的随机误差存在正的自相关问题，用它进行预测可能会导致估计值过高。
为了纠正回归直线存在的系统偏差，一般采取缩短回归分析样本期间的方法，更多地让近期数据在分析中发挥影响。
分别采用1963~1979，1970~1985，1976~1990年份的数据预测如表3-9和图3-10。
用1976年~1990年数据确定的回归方程④为：
通过图3-10，可以看出，随着回归分析中样本期间向前滚动，近期数据影响的加大，
回归直线的位置在上移，但变得越来越平缓。