重庆市高三数学3月月考试题 理
2020届重庆市育才中学高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市育才中学高三下学期 3 月月考数学（理）试题、单选题1．已知集合 A x| 1 x 2 ,B x| 1 x 4,x Z ，则 AI B （）A ． 0,1,2B． 0,2 C ． 0,2D ．0,2 【答案】 A【解析】 因为A {x| 1 x 2},B 0,1,2,3 ，所以 AI B {0,1,2} ，应选答案A 。
2．已知复数 z 2，1i则（ ）A ． z 2B ． z 的实部为1 C ． z 的虚部为 1D ． z 的共轭复数为 1 i 【答案】 C 【解析】 分析：由题意首先化简复数 z ，然后结合 z 的值逐一考查所给的选项即可确定 正确的说法 . 2 1 i 2 1 i 详解：由复数的运算法则可得： z 1 i ，1 i 1 i2 则 z 2 ，选项 A 错误； z的实部为 1，选项 B 错误； z 的虚部为 1，选项 C 正确； z 的共轭复数为 z 1 i ，选项 D 错误 .本题选择 C 选项 . 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力 .3．已知向量 a r1,1 ， 2ra b r4,2 ，则向量 a r ， b r的夹角为 （ ）A ．B ．C ．D ．36 4 2 【答案】 Cr a b解析】 根据所给数据求出向量 b 的坐标， 然后代入向量夹角公式 cos r r即可得 解.个几何体的第 2 页 共 19 页【详解】 r r r r r因为 2a b 4,2 ， a 1,1 ，所以 b 4,2 2a 4,2 2,2 2,0 ， 设向量a ，b 的夹角为 ，则cos1 2 1 0 2 ，12 12 22 022因为所以，所以向量 a ，b的夹角为 ，44故选： C. 【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题 4． “ln a 2 ln b 1 0 ”是 “a1”成立的（ ）bA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案 【详解】a 2 0解：由 ln a2 ln b 10，得 b 1 0，a 2 b1得 a b 1 ，a1 ；b反之，由 1 ，不一定有 lna 2 lnb 1 0 ，如 a 2, b 1b∴ “ln a 2 ln b 1 0”是“a1”成立的充分不必要条件 .b故选： A. 【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质， 考查充分必要条件的判定方法， 是基础 题.5．已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据，这体积是( )A ． 288+36 B． 60 C．288+72 D ．288+8【答案】 A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8 的半圆柱和长为8 ，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是12V 32 8 8 6 6 36 288 ，故选 A ．2【考点】 1、三视图； 2、空间几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．96．某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是，则a=( )5A ． 7 B． 6 C．5 D ．4【答案】 D【解析】本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可 .【详解】初始条件S 1,K 1；个几何体的第 4 页共 19 页运行第一次，S 1 1 3，K 2；12 2运行第二次， S 3 1 5，K 3；2 23 3运行第三次， S 5 1 7,K 4；3 34 4运行第四次， S 7 1 9，K 5 ，要输出的值9 4 45 55 必须条件满足， 停止运行，所以判断框填 K 4? ，故选： D.【点睛】 本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题 . 7．圆 是心直线 的定点为圆心，半径 ，则圆 的方程为（ ） B ． D ．【答案】 A【解析】 由 有 ，所以直线过定点，则所求圆的方程为 ，故选择 A.8．设 是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，有以下四个命题： ① 若 且 ，则 ； ② 若 且 ，则 ； ③ 若 且 ，则 ； ④ 若 且 ，则 ；其中真命题的序号是（）A ．②③B ．③④C ．①④D ．①②【答案】 A【解析】 对于命题①，直线 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线 ，故是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线 ，故是正确的； 对于命题④， 直线 可以相交和异面，故是错误的， 应选答案 A 。
重庆市南开中学2019届高三3月月考试卷(数学理)
重庆南开中学高2019级高三3月考试卷数 学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上． 1．233lim9x x x →-+=-（ ）A ．13B ．0C ．16D ．16-2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．424．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为 （ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,2)(3,)-∞+∞C ．(,2](4,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞6．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知D 是不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（ ）A.4πB.2π3C. 4π 3D. 2π8．已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈我们把使乘积123n a a a a 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1,2011)内的所有成功数的和为 （ ）A ．1024B ．2003C ．2026D ．20489．若x y R +∈、≤a 的最小值是 （ ）A. 1 D. 12+10．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，,,AD BC AD AB PA ⊥=∥32,,2AD BC ==60,ADC O ∠=为四棱锥P ABCD -内一点，1,AO =若DO 与平面PCD 成角最小角为α，则α=（ ）A. 15B. 30C. 45D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）．11．已知(0,1),(1,1)a b ==，且()a nb a +⊥，则n = ；12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ；13．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B = ；14．在体积的球的表面上有,,A B C 三点，1,,AB BC A C ==两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为 ； 15．已知过点(,0)(2)A t t >且倾斜角为60的直线与双曲线22:145x y C -=交于,M N 两点，交双曲线C 的右准线于点P ，满足3PA AN =，则t = ．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值； （2）求函数()f x 的单调区间．17．己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ． （2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数2()(1)xf x x ax e =-+的一个极值点． （1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[2,2],[1,2],()22x t f x t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(1)3OP OMλλ=≤<，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)4,2(2,)2n n n n a S na n n N -==+-≥∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：2*114,(1)2()n n n b b b n b n N +==---∈且，求证：*(2,)n n b a n n N >≥∈；（3）求证：*23344511111(1)(1)(1)(1)2,).n n n n N b b b b b b b b +++++<≥∈重庆南开中学高2019级高三月考（3月）数学参考答案 （理科）一、选择题：DCDBA BBCCA二、填空题： 11．－1 12．12 13．4514．3215．3 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+122x =+ ………………………………………………5分 由,1)(=θf 可得sin 2θ=所以1sin cos sin 22θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ， 连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平 面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AOtan BMO ∴∠=即二面角B AN C --………………13分19．解：(1)2()[(2)(1)](1)(1),xxf x x a x a e x x a e '=+-+-=++- ……………………2分由(1)0f '=得：,2=a (3)分()(,1),(1,)f x ∴-∞-+∞在上单调递增，)(x f 在(－1,1)上单调递减 (6)分(2))2,2(-∈x 时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 20．解：(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b又,3c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………4分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………10分①当33=λ时，化简得,62=y 所以点M 的轨迹方程为),33(6≤≤-±=x y轨迹是两条平行于x 轴的线段；…………………………………………11分 ②当133<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足33≤≤-x的部分．…………………………………………………………12分21．解：(1)当3≥n 时，(1)2,2n n n n S na -=+-11(1)(2)(1)2,2n n n n S n a ----=-+- 可得：11(1)2,2n n n n a na n a --=---⨯*11(3,)n n a a n n N -∴-=≥∈⋅.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，*4,(1)1(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+⋅≥∈⎩……………4分 (2)1当n =2时，,31422212a b b =>=-=不等式成立．2假设当*(2,)n k k k N =≥∈时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+所以当n =k +l 时，不等式也成立．根据(1),(2)可知，当*2,n n N ≥∈时，.n n b a >………………8分 (3)设1()ln(1),()10,11x f x x x f x x x-'=+-=-=<++ )(x f ∴在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*2,n n N ≥∈时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 23341111ln(1)ln(1)ln(1)n n b b b b b b +∴++++++31213121114131<+-=+-+++-<n n n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ ……………………………12分。
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。
现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。
2020年重庆市第一中学高三下学期3月月考理科数学试题及答案
【答案】 A
【解析】 对每一个选项逐一分析判断得解 .
【详解】
1
1
A. 由 1 得 a 1或 a 0 ,所以 a R ， “ 1 ”是“a 1”的必要不充分条件，所以该
a
a
选项命题正确；
B. “p q 为真命题 ”即 “p 和 q都是真命题 ”，“p q 为真命题 ”即 “p, q 中至少有一个真
命题 ”， 所以 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的充分不必要条件，所以该选项命
尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三
尺共重多少斤？ ”（ ）
A．6 斤 【答案】 D
B． 7 斤
C．8 斤
D．9 斤
【解析】 将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可
.
【详解】
原问题等价于等差数列中，已知 a1 4, a5 2 ，求 a2 a3 a4 的值 . 由等差数列的性质可知： a2 a4 a1 a5 6, a3 a1 a5 3 ，
3
3
11．若曲线 f x
1
(e 1 x e2 1) 和 g x
a ln( x 1)
x3 x2( x 0) 上分别存在
点 A, B ，使得 AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边
则实数 a 的取值范围是 （ ）
A ． (e, e2 )
e2 B． (e, )
2
C． (1,e2 )
【答案】 B
1,0,1,2,3 ，
B x y 1 ln x { x |1 ln x 0} (0, e] A B 1,2 ，选 C.
2． 已知复数 z 满足 11 2i 1 2i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（
重庆市高三数学3月月考试题 理
2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）(数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a 是实数，i1i a +-是纯虚数，则a 等于（ ）.A 1- .B 1 .C .D2.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）.A 3± .B 3- .C 3 .D 3±3.“平面α上存在不共线四个点到平面β的距离都相等”是“平面α//平面β”的（ ） .A 充要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分不必要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 下列不等式一定成立的是( ).A 当y x <<0 时y x sin sin < .B sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) .C x2＋1≥2|x|(x ∈R) .D 1x2＋1＞1(x ∈R) 5. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰（ ）.A 43π .B 2π .C 83π .D 103π6．小明同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为（ ）.A 13 .B 710 .C 415 .D 1511()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中常数项是（ ）.A 160- .B 160 .C 40 .D 40-8.已知函数()|lg |f x x =.若()k x f =有两个不等的实根βα,，则βα+的取值范围是（ ）.A (1,)+∞ .B [1,)+∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞9.1by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( ).A 1 .B 2 .C .D 1定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—和谐函数”． 有下列关于“λ—和谐函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—和谐函数”；②()x x f =不是一个“λ—和谐函数”； ③2()f x x =是一个“λ—和谐函数”；④“12—和谐函数”至少有一个零点。
重庆市2024届高三下学期3月月考试题 数学含答案
【考试时间：3月16日08:00～10:00】2024年重庆高2024届3月月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合()(){}150A x N x x =∈+-≥，{}1,3,5,7,8B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}0,2,4B ．{}2,4C ．{}0,4D ．{}2,4,52．已知复数1i z =-，z 是z 的共轭复数，则1z z+的虚部为（）A ．3i 2-B ．32C ．32-D ．3i23．已知()1,2a =，(),3b x =- ，若()a ab ⊥+ ，则x =（）A ．1B ．1-C ．32-D ．12-4．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A ．某城市居民3月份人均网上购物的次数B ．某品牌新能源汽车最大续航里程C ．检测一批灯泡的使用寿命D ．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间5．已知命题:2sin cos p αα=，命题3:cos 25q a =，则命题p 是命题q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆()()22:122C x y -+-=，直线:1l y kx =-与圆C 相离，点M 是直线l 上的动点，过点M 作圆C的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形ACBM 的面积最小值为）A ．1k =-B ．2k =-C ．1k =-或17k =D ．2k =-或12k =7．已知双曲线()2222:10,0x z C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，过1F 作渐近线b y x a =-的垂线，垂足为M ，若2π4F MO ∠=，则双曲线的离心率e 为（）AB ．52CD ．28．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.11=，[]22=，[]2.13-=-，定义：若()f x n =在(),a b 上恒成立，则称()S n b a =-为函数()f x 在[),a b 上的“面积”．函数()[]2f x '=在[)0,3上的“面积”之和与下面哪个数最接近？（注①：“面积不重复计算”；② 2.36.302≈）A ．7.3B ．7.7C ．8.7D ．9.3二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知某地区十二月份的昼夜温差()2~,X N μσ，()182P X >=，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（）A ．()8E X =B ．若()17810P X <<=，则()295P X >=C ．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为45D ．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为4510．函数() f x 的定义域为R ，且满足()()()() 2f x y f x y f x f y '++-=，()41f =-，则下列结论正确的有（）A ．()00f =B ．()20f =C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的图象关于()1,0对称11．设数列n a 满足112n n n a a a +-=+（2n ≥且*n ∈N ），n S 是数列n a 的前n 项和，且744742S S -=，11a =，数列n b 的前n 项和为n T ，且501n n T n S n ⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭．则下列结论正确的有（）A ．53a =B ．数列()114n n n n S S +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前2024项和为5061013C ．当4n =时，n T 取得最小值D ．当5n =时，nnT b 取得最小值三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若()()532x m x --的展开式中的3x 的系数为200-，则实数m =______．13．已知函数()()2xf x x mx n c =++，若函数()f x 有两个不同零点，则()f x 极值点的个数为______．14．已知在正三棱台111ABC A B C -中，6AB =，112A B =，侧棱长为4，点P 在侧面11BCC B 内运动（包含边界），且AP 与平面11BCC B所成角的正切值为，则CP 长度的最小值为______．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，且)22240S b a c --=．（1）求角B 的大小；（2）若ABC △外接圆的半径为1，边AC 上的高为1BE =，求a c +的值．16．（本小题满分15分）已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =．（1）求点1A 到平面1ABC 的距离；（2）若点M 在棱11A B 上，直线BM 与平面1ABC 所成角的正弦值为13，求线段1B M 的长．17．（本小题满分15分）已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234．（1）求a 的值；（2）过点1,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ，B ，C ，D ，在x 轴上是否存在一点T ，直线TA ，TB ，TC ，TD 的斜率分别为TA k ，TB k ，TC k ，TD k ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分17分）一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+ 次游走中恰有2次向右游走的概率，令()()()232Y P P P n =++++ ．记()2,3,,n ξξ= 为不超过n 次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，ξ的数学期望为()E ξ．请比较()E ξ与2Y 的大小，并说明理由．19．（本小题满分17分）帕德近似（Pade approximation ）是有理函数逼近的一种方法．已知函数()()ln 1h x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似定义为：()1c bxC x mx+=+，且满足：()()00h G =，()()00h G '='，()()00h G =''''，…．又函数()()ln e 20f x a x b x a =-+>，其中 e 2.71828= ．（1）求实数b ，c ，m 的值；（2）若函数()f x 的图象与x 轴交于()1,0x ，()2,0x 两点，12x x <，且21122ax mx x x <+恒成立，求实数m 的取值范围．2024年重庆高2024届3月月考数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案ABADBCAC【解析】1．由题意，可得{}0,1,2,3,4,5A =，所以阴影部分所表示的集合为{}0,2,4U A B = ð，故选A ．2．1i z =+，133i 22z z +=+，所以虚部为32，故选B ．3．()1,1a b x +=+- ，由()a ab ⊥+得120x +-=，1x ∴=，故选A ．4．A ，B 选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C 选项的检测具有毁损性，适合抽查；D 选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选D ．5．已知1:tan 2p α=，222222cos sin 1tan 3:cos 2cos sin 1tan 5q ααααααα--===++，1tan 2α∴=±，故选B ．6．1222CBM ACMS S AM ==⋅⋅=△△，AM ∴，CM ∴的最小值为，即圆心到直线的距离为，计算可得1k =-或17k =，故选C ．7．易知1F M b =，OM a =，设1F OM α∠=，sin b c α=，cos ac α=，则在2F OM △中，ππsinsin 44a c α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2b a =，e ∴=A ．8．易知()[)[)())2*221,0,1;2,1,log 3;2;,log ,log 1,,xx x f x n x n n n ⎧∈⎪∈⎪⎡⎤==⎨⎣⎦⎪⎪⎡∈+∈⎣⎩N 面积之和为：()()()()2222222112log 313log 4log 34log 5log 45log 6log 5x ⨯+⨯-+-+⨯-+⨯-+()()()222222226log 7log 673log 718log 3log 5log 6log 718log 6308.7⨯-+⨯-=-+++=-≈，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDBCBCD【解析】9．易知8μ=，A 对：()17810P X <<= ，()295P X ∴>=，B 对；对于C ，26216C 21C 3P =-=，C 错；对于D ，ξ服从超几何分布，其中10N =，4M =，2n =，()45nM E N ξ==，故选ABD ．10．令4x =，0y =，可得()01f =，A 错；2x y ==，可得()20f =，B 正确；0x =，可得()()f y f y =-，C 正确；令2x =，可得()()()()22220f y f y f f y ++-==，()f x ∴的图象关于()2,0对称，D 错，故选BC ．11．易知{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列，则公差为2d ，由744742S S -=，得743742S S -=，则1d =，n a n ∴=，A 错；12n S n n +=，则()()()1111141212n n n n S S n n n n ++==-++++，故2024项和为11506220261013-=，B 对；()325051501502n n n S n n T n S n n n n --⎛⎫=--⋅=--⋅=⎪⎝⎭，当1n =时，150b =-，当2n ≥时，233502n n n b --=，易知2n ≥时，{}n b 单增，且222b =-，123450b b b b b ∴<<<<< ，C 对；当5n ≥时，{}n T 单增，且7320T =-<，8270T =>，所以4n ≤或8n ≥时，0n n T b >，当5,6,7n =时，0n nTb <且单增，D 对，故选BCD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．易知()52x -的通项公式为()552rrrC x--，3x ∴的系数为()()323255322200C mC ---=-，即1m =-．13．令()0f x =，则20x mx n ++=，由题意知10∆>．即240m n ->；()()22e xf x x x mx m n =++++'，令()0f x '=，则220x x mx m n ++++=，即22Δ440m n =-+>，∴有2个极值点．14．延长正三棱台交于O ，则OABC -为正四面体，H 为OBC △的中心，则AH =tanAPH ∠=，HP =，P ∴点轨迹是以H 为半往的圆，CP ∴的最小值为CH -=．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）)22240S b a c --= ，即)22214sin cos 2ac B a c b B ⋅=+-=，tan B =，π3B =．（2）由ABC △外接圆的半径为1，得2sin sin sin a c bA C B===，b =， 边AC 上的高为1BE =，1sin 2acBE a C ∴===，2ac =，2222cos b a c ac B ∴=+-，()233a c ac ∴+-=，故3a c +=．16．（本小题满分15分）解：（1）取AB 中点为D ，连接CD 和1C D ，AC BC = ，CD AB ∴⊥，又1CC ⊥平而ABC ，1C D AB ∴⊥，则1π4C DC ∠=，12CC CD ∴==，令AC BC x ==，则11211sin 82ABC A BC V x ACB CC -=∠⋅=，即2sin 8x ACB ∠=①，()12CD CA CB =+ ，平方得()2222122cos 4x x x ACB =++∠，叫()21cos 8x ACB +∠=②，sin 1cos ACB ACB ∠=+∠，π2ACB ∴∠=，x =连接1A C 交1AC 于点E ，由四边形11AA C C 是矩形，得点E 为1A C 的中点，则点1A 和点C 到平面1ABC 的距离相等．作1CH C D ⊥于点H ，CD AB ⊥ ，1C D AB ⊥，又1C D CD D = ，1,C D CD ⊂平面1CDC ，AB ∴⊥平而1CC D ，又CH ⊂平而1CC D ，AB CH ∴⊥．CD ⊂平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，AB CD D = ，CH ∴⊥平面1ABC ，在1CC D △中，12CC CD ==，则CH =，即点C 到平面1ABC．所以，点1A 到平面1ABC．（2）11A B AB ∥，11A B ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，11A B ∴∥平面1ABC ，11M A B ∈ ，则点M 到平面1ABC的距离为d =，设直线BM 与平面1ABC 所成角为θ．则1sin 3d BMθ====，1B M ∴=注明：本题建立空间直角坐标系求解同样给分17．（本小题满分15分）解：（1）由已知得222112314a a a -++=，即4241540a a --=，24a ∴=，2a ∴=．（2）由（1）得椭圆22:14x M y +=与双曲线22:14y N x -=，由已知得直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()34,C x y ，()44,D x y ，(),0T t ，则221,41,2x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()2215404m y my ++-=，Δ0>，1224my y m +=-+，1221544y y m -=+，2112121212111122TA TB y my t y my t x t x t k k y y y y ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=()()1212121214422821515my y t y y m m m t t y y ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⋅=- ⎪⎝⎭.221,41,2y x x my ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()2241430m y my -+-=，由Δ0>得2316m >，342441m y y m +=--，342341y y m -=-，()()3434341211144222233TC TD my y t y y m m m t t k k y y ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==+⋅=- ⎪⎝⎭．()()()11114448218615315TA TB TC TD m m mt t t k k k k ∴+++=-+-=-．当3t =时，11110TA TB TC TDk k k k +++=为定值．故在x 轴上是存在一点()3,0T ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值0．18．（本小题满分17分）解：（1）设事件n A 表示共有()0,1,2,3,4n n =次向右游走，事件B 表示第二次向左游走，则2BA 表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，故()22321113C 22216P BA =⨯⨯=，2A 表示一共向右游走2次，故()22422113C 228P A =⨯=，则()()()2223116328P BA P B A P A ===．（2）根据题意可知()()21111C 22ti i i P i +-⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()22122112222322222n n i ii i i i i i Y P P P n +++==--=++++==∑∑．若2,3,,1k n =- ，最后一次必然向右游走，故()2111111C 2222k k k k P k ξ---⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2311221222n n P n ξ--⎛⎫==-+++ ⎪⎝⎭ ，记231122222n n n S --=+++ ①．3411222222n n n S -=+++ ②．两式相减得2311111112214212222222212n n n n n n n n nS ----=+++-=-=- ，112n n n S -∴=-，()111122n n n nP n ξ--∴==-+=．所以()()()()211122122n n kn k k k k n E kP k nP X n ξξ---==-==+==+∑∑；()()()()()()()221211122211112122222222n n i n i n n n n k i k k i i n n n n n n n n E Y ξ-+--++==---+++-=+-=---∑∑()()()()()()()()()1222121212112022222n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++-+++-=-==≥≥，故()2E Y ξ ．19．（本小题满分17分）解：（1）()()00h G = ，0c ∴=，则()1bxG x mx =+，所以()()21b G x mx =+'，()()321mb G x mx ''-=+，()()ln 1h x x =+，则()11h x x '=+，()()211h x x =-+''，由题意知，()()00h G '='，()()00h G ''''=，所以1,21,b mb =⎧⎨-=-⎩解得，1b =，12m =，故1b =，12m =，0c =．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()e a f x x'=-，0a > ，0,e a x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>：,e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．函数()f x 的图像与x 种交于两点()1,0x ，()2,0x ，12x x <，()max ln 2ln 220e e a a f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-+> ⎪⎝⎭，即2ln 20a a -+>，令()()2ln 20g a a a a =-+>，则()0g a >，()()220a g a a a '-=>，即()g a 在()0,2 ，()2,+∞ ，又()10g =，()222e 0e g =>，()202,e a ∴∃∈，使()00g a =，即()()00,1,a a ∈+∞ ，()max 0e a f x f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，当0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞．10e ,a x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2,e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，12x x <．11ln e 20a x xx -+= ，22ln e 20a x xx -+=，()2211ln e x a x x x ∴=-，()2121e ln x x a x x -=，21122ax mx x x +< ，()122121222222122111211e 1e ln ln x x x x ax x x x x a m x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴=-=->-=，令211x t x =>，则1e 1ln t m t t⎛⎫- ⎪⎝⎭>-恒成立．令()()1e 11ln t t t t tϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭=->，则()m t ϕ>，()()()()22222e 11ln e 1eln e e ln 1ln ln t t t t t t t t t t t t ϕ'⎛⎫--⋅ ⎪-+-⎝⎭=-=，令()()()22eln e e ln 1T t t t tt t =-+->，则()()2e e 2ln 2ln T t t t t t t=---'在()1,+∞ ，()()10T t T '<='，()T x ∴在()1,+∞ ，则()()10T t T <=，即()0t ϕ'<，()t ϕ在()1,+∞ ，当1t →时．()2e1e 11t t tϕ→-→-．()e 1t ϕ∴<-，故e 1m ≥-．。
2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3D由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 解：()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 点评：本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A ．{0,1,2} B ．{0,1,2,3}C ．{0,1,2,4}D ．{1,2,4}C先求出集合B ，再求并集即可. 解：由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4a B x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C. 点评：本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v，若a v ，b v的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23t < B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.解：若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C. 点评：本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米B由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.由题：“弓”所在弧长54488 lππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d=⨯≈.故选：B点评：此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种C试题分析：因,故应选C．【考点】排列数组合数公式及运用．6．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )A．162+B．122226+C．1822+D．1622+B如图所示，还原几何体，证明CD CP⊥，计算表面积得到答案.解：还原几何体，如图所示：连接AC简单计算得到22AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PA CD ⊥.故CD CP ⊥，23PC =表面积为：()111112422242222222322222S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯122226=+故选：B 点评：本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 解：先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 点评：8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ D先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 解：根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i =-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.故选D. 点评：本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9．已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-C根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C. 点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10．己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．{|1k k =或1}k e >-B ．1{|11k k e≤≤+或1}k e >- C ．1{|11k k e e +<≤-或1}k e >- D ．1{|11k k e e+<≤-或1}k = D构造函数()1ln g x x x=+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案. 解：解：令ln 10x x kx -+=，则1ln k x x =+；.令()1ln g x x x=+；()22111x g x x x x-'=-=； ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当[]1,x e ∈时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11g e e =+，∴()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∵()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或111k e e+<≤-.本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题.11．在ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．3B ．16C ．4D ．16B以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出,,A B C 三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出a 的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出ABC ∆面积的最大值. 解：以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系设(),0B a -，(),0C a ，()0a >，则(A设(),P x y ，由22233PB PC PA +==得()()(22222233x a y x a y x y ⎡⎤+++-+=+=⎢⎥⎣⎦即22232x y a +=-，(221x y +-=即点P 既在()0,0(为圆心，1为半径的圆上可得11≤≤+，由两边平方化简可得22316a ≤则ABC ∆的面积为122S a =⋅==由22316a ≤，可得22316a =，S . 故选：B.点评：本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题.二、填空题12．已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4C设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④. 解：物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则12124,4x x k x x +==-，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C. 点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.13．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 40先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.解：设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 点评：本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，+a b 的值为__________． 5由正弦定理边化角可得3C π=，由面积公式和余弦定理列方程可得+a b .解：2sin c A =，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin 2A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得C π=.所以ABC ∆的面积1333sin 242S ab C ab ===，解得6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5. 点评：本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()f n =__________．2n -1; 解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1； n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1， 故答案为:2n -1．B ，(0,1,0)C，D ，则该四面体的外接球的体积为__________．92π得解. 解：采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长3=，所以球半径为32，体积为34932r ππ=. 点评：本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题17．设数列{}n a 满足1123n n a a +=+,14a = (1)求证:数列{}3n a -是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .(1)证明见解析;(2)313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）计算得到13133n n a a +-=-，得到证明.（2）计算1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.解：(1)1123n n a a +=+,14a =，故11123133333313n n n n n n a a a a a a +-===---+-- 故{}3n a -是首项为1,公比为13的等比数列. (2) 1133n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭故1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故0111111133(3133313)nn n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L 313123n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点评：本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应用.18．某市对全市高二学生的期末数学测试成绩统计显示，全市10000名学生的数学成绩服从正态分布()2100,15N .现从甲校高二年级数学成绩在100分以上（含100分）的共200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷进行分析（试卷编号为001，002，…，200），成绩统计如下： 试卷编号 1n2n3n4n5n6n7n8n9n10n试卷得分 109118112114126128127124126120试卷编号 11n12n13n14n15n16n17n18n19n20n试卷得分 135138135137135139142144148150注：表中试卷编123420029n n n n n <<<<<<L .（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可）；（2）该市又用系统抽样的方法从乙校中抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图，在这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，这3人中数学成绩在全市排名前15名的人数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望.附：若()2,X Nμσ:，则()68.3%P X μσμσ-<<+=，()2295.5%P X μσμσ-<<+=，()3399.7%P X μσμσ-<<+=（1）180；（2）详见解析.（1）根据等距抽样的定义直接得到答案；（2）根据正态分布得到全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分），根据茎叶图，得出ξ的取值及其相应概率，即可得出随机变量X 的分布列和期望. 解：（1）因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为1，所以试卷得分为144分的试卷编号180.（2）∵150.001510000=，根据正态分布可知： ()7414699.7%P X <<=，∴()199.7%1460.00152P X -≥==，即全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分）根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分的有3人，而成绩在140分以上含140分的有8人， ∴ξ的取值为0，1，2，3()35385028C P C ξ===，()21533815128C C P C ξ⋅=== ()12533815256C C P C ξ⋅===，()1253381356C C P C ξ⋅=== ∴ξ的分布列为因此()51515190123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：本题主要考查了系统抽样，正态分布，分布列以及期望，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值． （1）见证明；（2）3. （1）通过侧面PAB ⊥底面ABCD ，可以证明出BC ⊥面PAB ，这样可以证明出⊥AP BC ，再利用BE ⊥平面APC ，可以证明出AP BE ⊥，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出AP ⊥面PBC ，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面PAD ⊥平面PBC ；（2）利用三棱锥体积公式可得111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，利用基本不等式可以求出三棱锥P ABC -体积最大值，此时可以求出,PA PB 的长度，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．求出相应点的坐标，求出面PAC 的一个法向量，面ABC 的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角B AC P --的余弦值. 解：（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ⋂底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴⊥AP BC ，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴AP BE ⊥，BC BE B =I ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=， 当且仅当2x y ==，即2PA PB ==时，P ABC V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==u u u r u u u r， 令(,,)n x y z =r 为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，∴(1,1,1)n =-r易知(1,0,0)m =r为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则cos 3n m n m θ⋅===⋅r r r r .点评：本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题.20．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-． （I ）求点M 的轨迹方程：（II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆面积为m 的值．（1）221(2)43x y x +=≠±（2）3m =±(1)本题可以先将点M 的坐标设出，然后写出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率,最后根据AM 、BM 所在直线的斜率之积是34-即可列出算式并通过计算得出结果；(2)首先可以联立直线AM 的方程与直线l 的方程，得出点P Q 、两点的坐标，然后联立直线AM 的方程与点M 的轨迹方程得出M 点坐标并写出直线MQ 的方程，最后求出D 点坐标并根据三角形面积公式计算出m 的值． 解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-，、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率()22BM yk x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ⋅=-+-，化简得点M 的轨迹方程()221243x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立， 可得点42,P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将2x my =-与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234120m y my +-=，解得0y =，或21234my m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由42,Q m ⎛⎫-⎪⎝⎭可得直线MQ 的方程为()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+---+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得226432m x m -=+，故2264032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，， 所以2222641223232m m AD m m -=+=++，APD ∆的面积为22224112423232m m m m m ⨯⨯=++又因为APD ∆的面积为，故22432m m =+整理得2320m m -+=，解得m =m =． 点评：本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“AM 、BM 所在直线的斜率之积是34-”列出等式以及使用m 表示出M Q D 、、三点的坐标，然后根据三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题． 21．己知函数()2xf x e ax =+，()3ln g x ax x ax e x =+-，a R ∈.（1）求函数()f x 的零点个数；（2）若()()f x g x >对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （1）见解析；（2）()3,a e ∈-+∞.（1）分离参数，利用导数得出()2xe t x x=的单调性，结合图象，即可得出函数()f x 的零点个数；（2）构造函数3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，分类讨论a 的值，利用导数得出其单调性以及最值，即可得出a 的取值范围. 解：解：（1）由题意，可知()01f =，∴0x =不是()f x 的零点当0x ≠时，令()20xf x e ax =+=，整理得，2x e a x-=令()2xe t x x =，0x ≠.则()()42x x x e t x x-'=. ()02t x x '>⇒>或0x <；()002t x x '<⇒<<∴函数()t x 在(),0-?上单调递增，在()0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增即在2x =处取得极小值()224e t =.∵x →-∞，0t →；0x →，t →+∞；x →+∞，t →+∞ ∴函数()t x 大致图象如下图所示：结合图形可知：①当0a -≤，即0a ≥时，2xe a -=无解，即20x e ax +=无解，此时()f x 没有零点，②当204e a <-<，即204e a <<时，20x e ax +=有1个解，此时()f x 有1个零点，③当24e a -=，即24e a =-时，20x e ax +=有2个解，此时()f x 有2个零点，④当24e a ->，即24e a <-时，20x e ax +=有3个解，此时()f x 有3个零点，综上所述，当0a ≥时，没有零点；当204e a -<<时，有1个零点；当24e a =-时，有2个零点；当24e a <-时，有3个零点.（2）()()()32ln 0xf xg x e e x a x x x x -=++-->在()0,x ∈+∞上恒成立∴()33ln 1ln 10x x x e e e a x e e a x x x x ⎛⎫++- ++⎝-=⎪⎭->在()0,x ∈+∞上恒成立 令x e t x =，2(1)x x e t x'-= 01t x '>⇒>；001t x '<⇒<<，即函数xe t x=在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+?上单调递增，则t e …令3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，()1a t a t h t t'+=+= 当a e ≥-时，()0h t '…，则函数()h t 在区间[),e +∞上单调递增 即33()()ln 0h t h e e a e e a e e =++-=+>…恒成立 当a e <-时，()0h t t a '>⇒>-；()0h t e t a '<⇒<-„则函数()h t 在区间[),e a -上单调递减，在区间(,)a -+∞上单调递增3()()ln()20h t h a a a e a ∴-=-+->…在区间[),e +∞上恒成立令3()ln()2d a a a e a =-+-，()ln()10d a a '=-->()d a ∴在区间(,)e -∞-上单调递增()33333ln 20d e e e e e -=-++=Q3ln()20a a e a -+->，解得()3,a e e ∈--综上，()3,a e ∈-+∞ 点评：本题主要考查了利用导数求函数零点的个数以及研究不等式的恒成立问题，属于中档题.22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=（0a >），直线l的参数方程为242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）己知点()2,4P --，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.（1）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =（0a >），直线l 的普通方程为20x y --=；（2）1.（1）利用极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程的方法化简即可；（2）直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义，进行求解即可. 解： 解：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=中，得到曲线C 的直角坐标方程为22y ax =（0a >）2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消掉参数，得到直线l 的普通方程为20x y --= （2）直线l 的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得)()24840t a t a -+++=()840a a ∆=+>，点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的两实根则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由PM ，MN ，PN 成等比数列得21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=，代入得)()()()2448484a a a +-⨯+=+，解得1a =或4a =-，∵0a >∴1a =.点评：本题主要考查了极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数1(1)f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围. （Ⅰ）4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4m ≥ 试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题 （1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。
重庆市第一中学2022届高三上学期第三次月考数学试题及答案
重庆市第一中学2022届高三上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设i 为虚数单位，若()1i 2i z -=，则z =（ ） AB ．2C ．D ．82．电子元件A ，B 使用寿命时间统计如茎叶图所示，下列说法正确的是（ ）A ．A ，B 两电子元件使用时间的极差相等 B ．B 电子元件使用时间的中位数比A 小C ．B 电子元件使用时间众数与中位数相等D ．A ，B 两电子元件使用时间的平均数相等 3．已知函数()lg f x x =，则函数()21f x y x =-的定义域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()()0,11,+∞C ．()0,∞+D ．()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+4．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为45，两部分都及格概率为310，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（ ） A ．625B ．310C ．38D ．14255．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩X （满分150分）服从正态分布()295,N σ，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（ ）附：()0.68P X μσμσ-<<+≈，()220.95P X μσμσ-<<+≈，()330.99P X μσμσ-<<+≈. A ．8B ．13C ．16D ．326= （ ）A ．4BCD ．147．已知函数()g x ，()f x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()20212tan 5x f x g x x x +=+-，则下列说法错误的是（ ） A ．()01g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．()g x 的最小值是1D ．()2022g x -关于直线2022x =对称8．已知点()1,2Q 在抛物线C ：()220y px p =>上，AB ，MN 是抛物线C 的两条不过点Q 的弦，且满足QA QB AB +=，QM QN MN +=，记直线AB ，MN 的交点为T ，则TQ =（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（ ） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-10．下列说法正确的有（ ）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°11．()1nx n x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式系数按x 升幂依次为0a ，1a ，…，n a ，其中4a 和5a 最大，以下判断正确的有（ ） A ．9n =B ．01512n a a a ++⋅⋅⋅+=C ．数列{}n b 是首项为1的等比数列，有901122315n n a b a b a b a b ++++⋅⋅⋅+=成立，则数列{}n b 的前5项和531S =D ．213nx x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数是42-12．已知函数()()ln ,00,011,02x x x f x x f x x ⎧⎪>⎪==⎨⎪⎪+<⎩，则下列说法正确的有（ ） A ．当(]3,2x ∈--时，()()()13ln 38f x x x =++ B ．若不等式()0f x mx m --<至少有3个正整数解，则ln3m >C ．过点()2e ,0A --作函数()()0yf x x =>图象的切线有且只有一条D ．设实数0a >，若对任意的e x ≥，不等式()e ax a f x x≥恒成立，则a 的最大值是e三、填空题13．已知集合(){}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.14．甲乙和其他三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加“城市英雄”攀岩活动，则周六、周日都有同学参加活动且甲乙必须在同一天参加的安排方案有______种. 15．已知椭圆C ：()222124x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在点P 使得12PF PF ⊥，则双曲线Γ：22218x y a -=的离心率的取值范围是______. 16．已知函数()3232f x x x x =++，数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：11a =，()1n n a f a +=；()21231n n n a a b ++=；()23n n n c a b =+.若{}n b 的前10项之积为10T ，{}n c 的前10项之和为10S ，那么1010T S +=______. 四、解答题17．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①()sin 2sin B A C =+；cos sin B b A =；①S =且B 为锐角.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若3b =， ______，sin sin 2sin a A c C b B +=.(1)求角B ； (2)求ABC 的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.18．为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进人实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立.(1)求实验能被完成的概率；(2)根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.19．某游乐场因疫情好转逐步增加游玩人数和延长游玩时间.为了解游玩情况，游乐场统计了最近5天游玩的人数x （百人）与平均游玩时间y （小时），得到如下统计表：(1)根据所给的5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+（最终结果保留一位小数），并利用所求线性回归方程预测当人数达到2000人时游客游玩的平均时间； (2)在（1）的结果之下，已知该游乐场因游客游玩消费所获利润C （千元）与时间y （小时）和人数x （百人）的关系为()1030y x C x+=，x N ∈，则人数为多少时利润最小？参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-20．已知数列{}n a 满足：11a =，35a =且112n n n a a a +-=+（n *∈N 且2n ≥）；数列{}n b 的前n 项和n S 满足：()21n n S b n *=-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ；(3)设()132n n nn n a b c n a *++=∈N ，是否存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列？若存在，求出所有的正整数m ，k ；若不存在，请说明理由. 21．已知椭圆C ：22142x y +=.(1)若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()1,1E ，求直线l 的斜率；(2)如图，已知椭圆Γ：()222210,2x y a b a a b +=>>>与椭圆C 有相同的离心率，过椭圆Γ上的任意一动点()()000,2P x y x ≠±作椭圆C 的两条不与坐标轴垂直的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 的积恒为定值，试求椭圆Γ的方程及12k k ⋅的的值.22．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）.(1)若函数()3213ln f x y x a'=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，其中f x 为()f x 的导函数，求实数a 的取值范围；(2)当e a =时，函数()()()1ln g x f x t x =+，其中32t ≥，若()0g p =，()g x '为()g x 的导函数，函数()g x '的极小值点为q ，试比较p ，q 的大小，并加以证明.参考答案：1．A 【解析】 【分析】先求出复数z ，再求z . 【详解】由条件()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+，①z =故选：A. 2．C 【解析】 【分析】根据茎叶图即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，A 的极差是663234-=，B 的极差是723141-=，两者不相等，故A 选项错误； 对B ，A 的中位数是47529922+=，B 的中位数是55，故A 的中位数较小，故B 选项错误；对C ，B 的众数为55，与中位数相同，故C 选项正确；对D ，A 的平均数是49.9，B 的平均数是52.9，不相等，故D 选项错误． 故选：C. 3．D 【解析】 【分析】列出使解析式有意义的条件，即可得到答案； 【详解】由题意20,1,x x ⎧>⎨≠⎩，解得：0x ≠且1x ≠，∴函数的定义域为()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+故选：D.4．C 【解析】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】选填题及格记为事件A ，()45P A =，两部分都及格概率记为事件B ，()310P B =， 则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率()()()3310485P AB P BA P A ===∣. 故选：C. 5．A 【解析】 【分析】先根据频率约等于概率，求出P ，再结合题中给的参考数据可得答案. 【详解】400.0251600f P ==≈， ()10.02520.9522P x μσμσ-⨯=≈-<<+，11595202σ-==，10σ=， 10.990.01-=，16000.0058⨯=.故选：A. 6．D 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解. 【详解】()1sin 40sin 20cos 20122sin 201202sin 404︒︒⋅︒===︒+︒︒. 故选：D. 7．B【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可解出()g x 的解析式，然后再结合函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】已知()()20212tan 5xf xg x x x +=+-①，且()g x ，()f x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()20212tan 5xg x f x x x --+-=+-+，得：()()20212tan 5xg x f x x x --=-+①，由 ①+①得：()202120212x xg x -+=，①()01g =，故A 正确由均值不等式知()2021202112x x g x -+=≥=(当且仅当0x =时取等号)，所以()g x 的最小值是1，故C 正确；由C 选项可知，当0x =时，()g x 的最小值是1，()g x 在[]0,1上不可能单调递减，所以故B 错误.()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2022g x -关于2022x =对称，故D 正确.故选：B. 8．C 【解析】 【分析】先求出p 的值，由条件可得0QA QB ⋅=，从而得出12,y y 的关系，用12,y y 表示出直线AB 的方程，将12,y y 的关系代入，可得出AB 恒过定点()5,2-，同理MN 也恒过定点()5,2-，从而得出答案. 【详解】点()1,2Q 在抛物线C ：()220y px p =>,则42p =，则2p =所以C ：24y x =，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由0QA QB AB QA QB +=⇒⋅=，()()()22121212121122022044y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⇒--+--=⇒=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭直线AB 的斜率()1222121244y y k y y y y -==-+， 故直线AB 的方程为()2112112121212444524y y y y x y x x y y y y y y y y ⎛⎫=-+=+=-- ⎪++++⎝⎭， 即AB 恒过定点()5,2-，同理MN 也恒过定点()5,2-，故交点()5,2T -，TQ = 故选：C. 9．BD 【解析】 【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ． 【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误； 对于B ，①()1,1a b =-+，①()21a b +=-=B 正确；对于C ，①()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，①a b ⊥不成立，故C 错误； 对于D ，①(12214cos ,55a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-，故D 正确．故选：BD ． 10．AD 【解析】 【分析】由直线平行的条件求得参数值判断A ，求出直线所过定点，当直线与定和圆心连线垂直时，弦长最短计算后判断B ，由两圆位置关系判断C ，根据直线的斜率与倾斜角的关系判断D ． 【详解】对于A ：1m =时，1l ：330x y -+=，2l ：310x y --=，显然12l l ∥， 反之，若12l l ∥，则有()()31201m m m ⨯-++=⇒=或3m =-， 检验知3m =-时1l ，2l 重合，故1m =，所以A 对；对于B ：圆心()1,0M ，l 恒过()0,1P ，由圆性质知弦长最短时l MP ⊥，10101MP k -==--， 所以1k =，所以B 错；对于C ：圆心()10,0C ，()23,4C -，125C C =，半径1r =23r =，由题知两圆相交，因此121212r r C C r r -<<+353<<， 解得()2,62t ∈，所以C 错；对于D ：直线l 的斜率()tan 41tan 18041tan139k =-=-=︒︒︒︒，所以D 对． 故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】对于A 和B ：利用二项式系数的性质直接求解；对于C ：设等比数列的公比为q ，求出4q =，即可求出{}n b 的前5项和； 对于D ：由2x 项的构成，直接求解. 【详解】对于A 和B ：()1nx n x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式系数就是二项式系数，由二项式系数性质可知9n =，所有二项式系数之和为2512n =.故A ，B 正确；对于C ：设等比数列的公比为q ，则1n n b q -=，因为11b =，90112239105a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+=，012991929391095C C b C C b b b +++⋅⋅⋅+=，所以()9001122999999915q C q C q C C q q +++⋅⋅⋅+=+=，所以4q =，所以等比数列{}n b 的前5项和()5511434114S -==-，故C 不正确；对于D ：91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为2919C k k k T x -+=⋅，0,1,2,,9k =⋅⋅⋅.9999282102999900021323k k k k k k k k k x x C xC x C x x x ---===⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，令2825k k -=⇒=，再令21026k k -=⇒=而292 5.5k k -=⇒=（舍），所以2x 项的系数为5699C 2C 12616842-=-=-，故D 正确；故选：ABD. 12．ACD 【解析】 【分析】A 选项，利用分段函数特征求解解析式；B 选项，数形结合进行求解；C 选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程， 结合单调性得到零点个数，即可判断；D 选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出a 的最大值. 【详解】对于A ：当(]3,2x ∈--，①(]30,1x +∈，()()()33ln 3f x x x +=++，①()()138f x f x =+，①()()()13ln 38f x x x =++，A 正确； 对于B ：()f x mx m <+，画出()1y f x =与2y mx m =+的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足()33f m m <+，①3ln 34m >，故B 错；对于C ：设切点()00,T x y 则()0AT k f x ='，①00002ln ln 11e x x x x =++，即200e ln 10x x ++=，设()2e ln 1h x x x =++，当0x >时，()0h x '>，①()h x 是单调递增函数，①()0h x =最多只有一个根，又2222111e ln 10e e e h ⋅⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，①021e x =，由()01f x '=-得切线方程是210ex y ++=，故C 正确；对于D.：由题意ln e ln e a xx a x x⋅≥.设()()e 0xg x x x =⋅>，则()()1e 0x g x x '=+>，于是()g x 在()0,∞+上是增函数.因为0ax >，ln 0x >，所以ln a x x≤，即ln a x x ≤对任意的e x ≥恒成立，因此只需()min ln a x x ≤.设()()ln e f x x x x =≥，()()ln 10e f x x x =+>≥'，所以()f x 在[)e,+∞上为增函数，所以()min (e)e f x f ==，所以e a ≤，即a 的最大值是e ，选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】分段函数与不等式相结合的题目，往往需要数形结合进行求解，尤其是整数解个数问题，画出函数图象，转化为交点个数问题等. 13．(){}0,0 【解析】根据题意，得到两集合均为点集，联立20y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，联立20y x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩ 则(){}0,0MN =.故答案为：(){}0,0. 14．14 【解析】 【分析】将甲乙两人看作一个整体，根据先选后排的方法求解即可. 【详解】2221324224322214C C A C C A A += 故答案为：1415．(【解析】 【分析】根据题意可得2248a c =+≥椭，用a 表示e 双，解不等式可得答案.【详解】因为C 上存在点P 使得12PF PF ⊥，所以1290F PF ︒∠≥,椭圆中，2222448c b a c ≥=⇒=+≥椭椭，因此，(22228812a e e a a+==+≤⇒∈双双.故答案为：(. 16．1【分析】 根据条件求出1n n n a b a +=，再利用累乘法求出11011a T a =，利用裂项相消法求出1011111S a a =-，即可得到答案； 【详解】由条件()()322132123n n n n n n n n a f a a a a a a a +==++=++，得：211123n n n n n a b a a a +==++ ①31012110123102341111a a a a a Tb b b b a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=， 又222312312311112323n n n n n n n n n n n a a a c a a a a a a a ++++-===-++++，101231012233410111111*********S c c c c a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11a =，故11010111111111111111a T S a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1 17．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）选条件①①①分别利用正弦定理或面积公式求出B 的三角函数值；（2）选条件①①①，分别利用正弦定理和余弦定理求出,a c 的值，即可求得周长； (1) 选条件①①()sin 2sin B A C =+，①2sin cos sin B B B =， 又()0,B π∈，sin 0B ≠ ①1cos 2B =，故3B π=选条件①cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =， 又()0,A π∈，sin 0A ≠sin B B =，即tan B 又()0,B π∈，故3B π=.选条件①①S =且1sin 2S ac B =，①1sin 2ac B =，即sin B =， 又B 为锐角，故3B π=.(2)根据（1）的结果可得：3B π=①sin sin 2sin a A c C b B +=且3b =， ①由正弦定理得：222218a c b +==，① 又由余弦定理有：2222cos b a c ac B =+-，即23182cos183ac ac π=-=-，①9ac =，①由①①解得：3a c ==， 故ABC 的周长9a b c ++=. 18．(1)3940(2)分布列见解析，1.45 【解析】 【分析】(1)根据相互独立事件的概率求解即可；(2)先分析出随机变量X 的可能取值，求出每种情况下的概率，最后列出分布列，算出期望. (1)记实验能被完成为事件A ，丙丁乙甲顺利完成实验分别为事件B 、C 、D 、E ，则()34P B =，()25P C =，()23P D =，()12P E =，并且每人能否完成实验是相互独立.则实验不能被完成为事件A 的概率为()()()()()122311111235440P A P B P C P D P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=-⋅-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①实验能被完成的概率为()13914040P A =-=. (2)设按照丙丁乙甲的顺序参加实验的人数为随机变量X ， X 所有可能的取值为1，2，3，4，()()314P X P B ===，()()()()321214510P X P BC P B P C ⎛⎫===⨯=-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()322131145310P X P BCD P B P C P D ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()()()()()4P X P BCDE P BCDE P B P C P D P E P B P C P D P E==+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯3221111114532220⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则X 的分布列为①X 的数学期望为()3111291234 1.45410102020E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 19．(1)0.3 4.1y x =+，10.1小时 (2)6百人 【解析】 【分析】（1）由已知数据计算求得x ，y ，b ，求得ˆa y bx=-，得出回归直线方程0.3 4.1y x =+，20x 代入即可预测结果.（2） 由（1）化简可得41350C x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，借助基本不等式，及x 的取值验证，即可得出结果. (1)由所给数据可得：1310171718155x ++++==，58910885y ++++==，121()()623()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑， 618490948152323ˆ23a y bx-=-=-⨯==， 94 4.123a =≈，60.323ˆb=≈， ①y 关于x 的线性回归方程为0.3 4.1y x =+.当人数达到2000人，预测游玩的平均时间为0.320 4.110.1y =⨯+=小时. (2)()1030y x C x+=，x N ∈， ()()20.3 4.1103035012341350x x x x C x x x x ++++⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，6x =，775088.52C =+=， 7x =，9035088.577C =⨯+≈， 所以人数为6百人时，利润最小为88.5千元. 20．(1)21n a n =-，13n nb = (2)113n nn T +=-(3)存在，4m =，40k = 【解析】 【分析】（1）由已知可得{}n a ，{}n b 分别为等差、等比数列，求基本量即可. （2）用错位相减法求和.（3）由已知列出等式并分析出m 的取值，进而可得k 的范围. (1)①()1122n n n a a a n +-=+≥，①{}n a 是等差数列，设其公差为d ， 则3124a a d -==，即2d =，①()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 又当1n =时，111212S b b =-=，①1103b =≠， 当2n ≥时，()()()1112211n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-，即13n n b b -=， ①113n n b b -=， 故{}n b 是以为13首项，13为公比的等比数列，所以13n n b =.(2)由（1）知21n a n =-，13n n b =，则()1213nn n a b n ⋅=-⋅， ①()231111135213333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，①①()2341111111352133333n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，① 则①-①得：23412111112123333333n n n n T +-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()21111112112123321333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⋅-=--， ①113n nn T +=-. (3)由（1）可知()()1213322121n nnn n c n n -+⋅==++， 假设存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列， 即22mk c c c =，即2221521m k m k ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得：225412m m k m -++=， ①2410m m -++>，解得22m <又,m k *∈N 且2m >，①3m =或4m =，当3m =时，解得458k *=∉N ，舍去； 当4m =时，解得40k =，符合.综上：存在正整数4m =，40k =使2c ，m c ，k c 成等比数列. 21．(1)12-(2)22184x y +=，1212k k =-【解析】 【分析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，利用点差法计算即可得出结果；（2）由题意设椭圆Γ：22222x y b +=，设椭圆C 过点()00,P x y 的切线方程为l ：y kx m =+，联立，由()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+，化简整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，则20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，化简可得()20122202224y k k y b -=---,要使之恒为定值，只需212224b =-，计算可得结果. (1)设()11,M x y ，()22,N x y ，则221124x y +=，222224x y +=两式相减并整理得：()()121212121202MN y y x x y y k x x --+-=⇒==--； (2)由题得椭圆Γ的离心率e =222a b =， 因此椭圆Γ：22222x y b +=，设椭圆C 过点()()000,2P x y x ≠±的切线方程为l ：y kx m =+，其中00y kx m =+，即00m y kx =-，且2220022x y b +=，即2220022x y b =-+联立：()22222,214240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 因为l 与椭圆C 相切，所以()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，视为k 的一元二次方程，则其两根即为1k ，2k由韦达定理，得20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，故()22001222220022224224y y k k y b y b --==--+--- 上式要恒为定值，即与0y 无关，则212224b =-，得24b =， 此时()201220212842y k k y -=-=---， 综上，椭圆Γ：22184x y +=，1212k k =-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 22．(1)2e 1e a << (2)p q >，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数y 进行求导，再根据已知条件将问题转化为方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根，利用导数研究函数单调性，结合函数值的范围即可求解；（2）先对()g x 求导，通过构造函数()h x ，()H x 可得函数()H x 在区间()0,+∞上单调递增，根据题意通过x 取值范围以及函数的单调性，即可比较. (1)因为()xf x a =，①313ln xa y x a=-，2x y x a '=-因为函数313ln xa y x a =-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根.即2ln ln x a x =，令()2ln x t x x =，则()()221ln x t x x -'=， ()t x 在()0,e 递增，在()e,+∞递减.且在()e,+∞上()()2ln 20e e x t x t x =>=，， 要使方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根， 则2ln 0,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ①2e 1e a <<；(2)设()()e 1ln x t h x g x t x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭'， 则()22e 1ln x t t h x t x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭' 设()()221ln 0t t H x t x x x x =+-+>， 则()()223322220t x x t t t H x x x x x-+=-+'+=>， 故函数()H x 在区间()0,+∞上单调递增，①32t ≥，所以()110H t =+>，11ln 21ln 02H t ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭故存在1,12s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0H s =， 所以，当0x s <<时，()0H x <，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x s >时，()0H x >，()0h x '>，函数()h x 单调递增.所以函数()h x 的极小值点q s =，即1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ①1ln 1x x +≥，所以ln t t x t x+≥. 因此()()()e 1ln e 10q q t h x h q t q t q ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即0g x .所以函数()g x 在区间()0,+∞上单调递增.由于()0H q =，即221ln 0t t t q q q +-+=，即221ln t t t q q q+=-， 所以()()()212e 1ln e 0q q q g q t q t g p q -=+=<= 又函数()g x 在区间()0,+∞上单调递增，所以p q >.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
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- 1 -2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）(数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a 是实数，i1i a +-是纯虚数，则a 等于（ ）.A 1- .B 1 .C .D2.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）.A 3±.B 3- .C 3 .D 3±3.“平面α上存在不共线四个点到平面β的距离都相等”是“平面α//平面β”的（ ） .A 充要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分不必要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 下列不等式一定成立的是( ).A 当y x <<0 时y x sin sin < .B sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) .C x2＋1≥2|x|(x ∈R) .D 1x2＋1＞1(x ∈R) 5. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰（ ）.A 43π .B 2π .C 83π .D 103π- 2 -6．小明同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为（ ）.A 13 .B 710 .C 415 .D 1511()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中常数项是（ ）.A 160- .B 160 .C 40 .D 40-8.已知函数()|lg |f x x =.若()k x f =有两个不等的实根βα,，则βα+的取值范围是（ ）.A (1,)+∞ .B [1,)+∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞9.21ax by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( ).A 21- .B 2 .C 2 .D 21定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—和谐函数”． 有下列关于“λ—和谐函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—和谐函数”；②()x x f =不是一个“λ—和谐函数”； ③2()f x x =是一个“λ—和谐函数”；④“12—和谐函数”至少有一个零点。
其中正确结论的个数是 （ ）.A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个第Ⅱ卷（非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题- 3 -卡相应位置上.11. 已知3(,),sin ,tan 225παπαα∈=则=12．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的s 的值是13．1,2,,n L 共有!n 种排列12,,,n a a a L （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n =L都有2k a k ≥-”的不同排列有 种。
考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，A 为切点，点A 在直径BC 上 的射影是OC 的中点，则PB PC ⋅=15.已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极 点。
X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2，则圆C 上的点到 直线l 的距离最小值是{}=-≤>≤+-a x x a x a x 则实数的解集其中不等式,1)0(03.16三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指 定的方框内,必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分13分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a -+=，),(b c a -=,且n m ⊥。
(1)求角C 的大小；CO BA(2)若向量)1,0(-=s,)2cos2,(cos2BAt=,试求ts+的取值范围。
18.（本小题满分13分）一位游客计划游览重庆市的白公馆、朝天门、解放碑、园博园4个旅游景点，此客人游览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
(1)求ξ＝0对应的事件的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望。
19.（本小题满分13分）已知()f x=1xnx ke+在点(1,(1))f处的切线与y轴垂直,()()xF x xe f x'=．（1）求k的值及()F x的单调区间；（2）已知函数2()2g x x ax=-+(a为正实数),若对于任意2[0,1]x∈，总存在1(0,)x∈+∞，使得21()()g x F x<，求实数a的取值范围。
20.（本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD。
(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；(2) 求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小。
21. （本小题满分12分）设F是椭圆22221,(0)x ya ba b+=>>的左焦点，直线l方程为cax2-=，直线l与x轴交于P点，M、N分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN，且- 4 -MFPM2=。
(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过点P的直线交椭圆于A、B两点，求三角形ABF面积的最大值。
22.（本小题满分12分）设函数2()(1)nnf x x x=-在1[,1]2上的最大值为n a（1,2,3,n=L）．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求证：对任何正整数(2)n n≥，都有21(2)nan≤+成立；（3）设数列{}na的前n项和为nS，求证：对任意正整数n，都有716nS<成立。
命题人：黄勇庆审题人：王明2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考数学答案（理科）2013.3一.选择题.(每小题5分,共50分)二.填空题.(每小题5分,共25分)11.247-；12. 102；13. 223n-⋅；14. 12；15. 222-；16.2三.解答题.(共75分)17.解：(1)由题意得),)(,(222=-+-=--+=⋅abbcabcaabcanm，- 5 -- 6 - 即ab b a c -+=222.由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ,3,0ππ=∴<<C C Θ. （2）∵)cos ,(cos )12cos 2,(cos 2B A BA =-=+，)32(cos cos cos cos 2222A A B A -+=+=+π1)62sin(21+--=πA .∵320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA .∴4521<+≤，故2522<+≤. 18解：(1)分别记“该客人游览白公馆景点”，“该客人游览朝天门景点”，“该客人游览解放碑景点”，“该客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4.由题意，知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4.故P(ξ＝0)＝P(A 1A 2A3A4)＋P(A 1A2A 3A4)＋P(A 1A2A3A 4)＋P(A1A 2A 3A4)＋P(A1A 2A3A 4)＋P(A1A2A 3A 4)＝0.38.(2)P(ξ＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A 1A 2A 3A 4)＝0.12. P(ξ＝0)＝0.38，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝4)＝0.5. 所以ξ的分布列为:Eξ＝0×0.38＋2×0.5＋4×0.12＝19解：（1）由已知可得()xe kInx x x f --='1，所以1(1)0k f e -'==，∴1k = ∴()()xF x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x =--=--所以()ln 2F x x '=-- ，由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤，由21()ln 20F x x x e '=--≤⇒≥- 7 -()F x ∴的增区间为21(0,]e ，减区间为21[,)e +∞（2）Q 对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，∴max max()()g x F x <由（1）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e =+.对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e <+，从而01a <≤。
当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e <<+。
综上可知：21012a e <<+。
20.解 (1) 证明:∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥CD ∵CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∵CD ⊂平面PCD ∴平面PCD ⊥平面PAD 。
（2） 如图以D 为原点,以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 为方向向量建立空间直角坐标系D －xyz.则有关点及向量的坐标为:G （1，2，0）,E （0，1，1），F （0，0，1）EF u u u r=（0，－1，0），EG u u u r =（1，1，－1）设平面EFG 的法向量为n r=（x ，y ，z ）∴00.000n EF y x z x y z y n EG ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩r u u u r r u u ur取n r =(1,0,1) 平面PCD 的一个法向量, DA u u u r=(1,0,0)。