2018.5镇海中学数学模拟卷
浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学试题(全WORD版)资料讲解
浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学试题(全W O R D版)宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x x x =--<，则A B =IA ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,42．已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i -B ．32iC ．32-D ． 323．已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4．使得3nx ⎛ ⎝（n N *∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．75．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种8．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A ．56 B ． 2033 C ． 1531 D ． 2029（第7题图）（第14题图）9．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是 A. 1(,1)2 B. )1,22(C. )2,1(D. )22,21( 10．已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为A. 2[,4]3B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9]二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213y x -=的离心率是 ，渐近线方程为 ． 12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ；动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为 ．13若2EX =，则a = ；DX = ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120o 的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ，该三棱锥的外接球体积为 ．15．已知数列{}n a 与2{}na n 均为等差数列（n N *∈），且12a =，则23321()))23n n a a a a n++++=L （（ ． 16．已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-，4abc =-.则c b a ++的最小值为 ．17．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+u u u u ru u u u r u u u u r(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1A（第17题18．（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求PD CP +的最小值．19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．（Ｉ）若12x =是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤恒成立，求b 的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB 的中点时，10AB = （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，1n a +=，121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A9．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数．所以sin cos )224a πθθθ+==+ ．因为(,)42θππ∈ ，3(,)424ππθπ∈+．所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()x y z ++的取值范围． 设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的距离， 可以利用等积法计算．因为O ABC A OBC V V --=，于是可以得到||6OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号； 另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．2，3y x =± 12．1-，223 13．0；5214．4315++，205π 15．221-+n16．6 17．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c ≤≤，由题设知0a <，且2b c a +=--，4bc a-=. 于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根， 24(2)40a a∆=++⨯≥， 3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤, 所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意. 故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1）若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，,,a b c 中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾. 2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则22826a b c a b c a ++=-++==--≥-= 当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故c b a ++的最小值为6. 17．答：118． 构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）1()4cos cos )12f x x x x =--2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，ND11B 1D 1A所以()f x 增区间为,,63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得 262B ππ-=，所以3π=B . …………8分 B C P C D C ''',,，作C 关于AB 的对称点'C , 连7)()('2'22'=⋅++=BC BD BC BD D C……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当D P C D C PD P C PD CP '='≥+'=+……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD = ∴BC BD ⊥ ··········2分 又//BC AE ∴AE BD ⊥ ··········4分从而,AE A BN M E N ⊥⊥ 所以AE MNB ⊥平面 ··········6分 ∴AE MB ⊥ ··········7分方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+ , 故CE ME ⊥，又CE BE ⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ，……………………2分 所以CE BM ⊥， ……………………3分 可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD ,EMBEC DC（第19题图）从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin hMCθ=，其中h 为C 到AME 面的距离. …………………9分 ∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133M ABE ABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分所以3ABE AEM S BM h S ∆∆==∴sin 15h MC θ== . ……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系，(0,2,0),2,0),A C -(0,0,E M则(0,2,2,0),AM AE =-=-u u u u r u u u r2,MC =--u u u u r设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =u r，由00m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，可取m =u r， …………………………12分sin cos ,15m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r ．.………………………15分20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()x ax f x x ++'=， 因为0x >．C（第21题图）由1'()02f =，得211()1022a ++= ，所以52a =- ,…………3分 此时51()ln 2f x x x x=-+-． 则222511(2)()22'()x x x x f x x x-+--==． 所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分 所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分 （Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥． ……………………………8分 ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=． 当0,2a x ==时取等号； ……………………………10分 ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，151()ln ln 2f x a x x x x x x =+-≤-+-． 由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数． 所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-． ……………………13分 因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2f x )= 于是min 32b =． ……………………15分 21．（本题满分15分） 解答：（Ⅰ）由题意设224a b =， …………………2分即椭圆2222:14x y C b b+=， 设1122(,),(,),A x y B x y3344(,),(,)C x y D x y 由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得， 1212()()x x x x -++ 12124()()0y y y y -+= 又∵(2,1)M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分 由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=．则12AB x =-==． 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．…………………6分 （Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x =++, 由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， 222(14)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=． 于是21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k -++-+=⋅=++．………………8分 ()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+- ∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x ---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14k k x x x x k +=-++++=+． …………………13分 同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k+---⋅+-=+． ∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++u u u r u u u r ， 2222220(1)161445()2k k k +≥=+++, 当1k =±时取等号． 综上，AD EB ⋅u u u r u u u r 的最小值为165． …………………15分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1n a >．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=， 得252=a ，显然成立； ⅱ）假设n k =时命题成立，即1k a >．则1n k =+时，1k a += ．于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->． 所以11k a +>，这就是说1n k =+时命题成立． 由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >． …………………3分 （Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+， 所以12n n b +=，从而21n n b =-． ………………5分 由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1n a >，所以，当2n ≥时，1n n a a +-=．因为2225(1)4(1)0nn n n a a a a -+-+=-<，所以1n n a a +<． 综上，当2n ≥时，11n n a a +<<． ………………7分 由11110a =-，1()*)(n n a f a n N +∈=，所以111110c a ==- ，235,22a a == 所以12331,1c c a c <=>>>L ，又11223115,,2102c a a c a ==-===． 从而存在集合[,]ab ，使得[,]nc a b ∈对任意*n N ∈成立， 当231112,10b c a a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=．……9分 （Ⅲ）当2n ≥时，1n a >， 所以21111n n n n a a a a ++++-= 即21111n n n n a a a a +++=+- ， 也即1111n n n a a a ++-=- ，…………11分11111121()n n n n n n n n n n b b b b b b b b c c a a a a a a a a +++++++--=-=-++-+-L （）（） 112111n n n b b b a a a ++++=++L （1-）（1-）（1-） 1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++L ）22n n nc ≤-． 即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426inn i n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑． 故232311226(*,2)22nn n n c n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．.……………15分。
宁波市镇海中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
宁波市镇海中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣32． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ） A ．{x|x ＞3} B ．{x|﹣1＜x ＜1} C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3} D ．{x|x ＜﹣1}3． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．4． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=6． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．27． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
高三数学-2018年镇海中学数学高考模拟试题集1 精品
2018年镇海中学数学高考模拟试题集1第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y 2－2>0}，全集I=R ，则A ∩C I B 为（ ）A.{x|x ≥2或x ≤－2}B.{x|x ≥－1或x ≤2}C.{x|－1≤x ≤2}D.{x|－2≤x ≤－1}2.不等式log 31(x －1)>－1的解集为（ ）A.{x|x>4}B.{x|x<4}C.{x|1<x<4}D.{x|1<x<32} 3.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A.若向量a =(x ，y)，向量b =(－y ，x)(x 、y ≠0)，则a ⊥bB.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC ，且|AB |=|AD |C.点G 是△ABC 的重心，则++=0D.△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A4.已知函数y=x 3－3x ，则它的单调增区间是（ ）A.(－∞，0)B.(0，+∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)及(1，+∞) 5.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，公比q ≠1，那么（ ）A.a 32+a 72>a 42+a 62B.a 32+a 72<a 42+a 62C.a 32+a 72=a 42+a 62D.大小不确定6.曲线y=x 3+x －2的一条切线平行于直线y=4x －1，则切点P 0的坐标为（ ）A.(0,－2)或(1,0)B.(1,0)或(－1,－4)C.(－1,－4)或(0,－2)D.(1,0)或(2,8) 7.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )A.y 轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称8.已知∞→x lim (1122++x x －ax+b)=2，则b 的值为( )A.0B.4C.－4D.不确定9.设f(x)、g(x)在［a ，b ］上可导，且f ′(x)＞g ′(x)，则当a ＜x ＜b 时，有( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)＜g(x)C.f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)＞g(x)+f(b)10.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.12.已知f(x)=|log 3x|，当0<a<2时，有f(a)>f(2)，则a 的取值范围是__________.13.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为__________. 14.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a ∥b ，a ⊥平面α，b ⊥平面β；③a 、b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β，且a ∥β，b ∥α；④平面α内距离为d 的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边. 已知tanA+tanB+3=tanA ²tanB ²3， (1)求∠C 的大小； (2)若c=27，△ABC 的面积S △ABC =233，求a+b 的值.16.(本小题满分13分)已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a－2b 垂直，求a 与b的夹角.17.(本小题满分13分)已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线L ：y=kx －1. (1)若L 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若L 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值.18.(本小题满分13分)如图，已知三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=3， AC=4，PB=PC=BC.(1)求三棱锥P —ABC 的体积V ；(2)作出点A 到平面PBC 的垂线段AE ，并求AE 的长；(3)求二面角A —PC —B 的大小.19.(本小题满分13分)某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P)，由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40小时；打开4孔泄洪闸，需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问：至少需打开几孔泄洪闸？20.(本小题满分15分)函数f(x)=log a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.参 考 答 案一、选择题:1.解析：由已知得A={x|x ≥－1}，B={y|y ＞2或y ＜－2}，C I B={y|－2≤y ≤2}，则A ∩C I B={x|－1≤x ≤2}，选C. 答案：C2.解析：由已知得⎩⎨⎧<->-.31,01x x 得1＜x ＜4，选C. 答案：C3.解析：若点G 是△ABC 的重心，则有++=0，而C 的结论是++=0，显然是不成立的，选C. 答案：C4.解析：由y=x 3－/2/所以函数y=x 3答案：D 5.解析：取特殊数列验证：根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q ＞1)，易证a 32+a 72>a 42+a 62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q ＜1＝，易证a 32+a 72>a 42+a 62，故选A. 答案：A 6.解析：由y=x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.∴切点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，选B. 答案：B 7.解析：根据对称关系验证D 正确，选D. 答案：D8..解析：1122++x x －ax+b=11222+++--+x b bx ax ax x =11)()2(2+++-+-x b x a b x a .∵∞→x lim (1122++x x －ax+b)=2， 得⎩⎨⎧=-=-.2,02a b a 得⎩⎨⎧==.4,2b a 选B. 答案：B 9.解析：令F(x)=f(x)－g(x)，x ∈［a ，b ］，则F / (x)=f / (x)－g / (x)＞0.∴F(x)在［a ，b ］上是增函数.又a ＜x ＜b ，得F(a)＜F(x)＜F(b)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)＜f(b)－g(b).得f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)，选C. 答案：C10.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C. 答案：C 二、填空题:11.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.答案：10 12.解析：由f(a)＞f(2)，得|log 3a|＞log 32. log 3a ＞log 32或log 3a ＜－log 32=log 321， 得a ＞2或0＜a ＜21，又0＜a ＜2，∴0＜a ＜21.答案：0＜a ＜21 13.解析：由已知S=q-12，得q=S S 2-.又－1＜q ＜0得－1＜S S 2-＜0.解之得1＜S ＜2.答案：1＜S ＜214.解析：答案：②③ 三、解答题:15.解：(1)tanC=－tan(A+B) =－B A B A tan tan 1tan tan ⋅-+=－BA B A tan tan 1)1tan (tan 3⋅--⋅⋅=3.∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.(2)由c=27及余弦定理，得a 2+b 2－2abcos60°=(27)2.又由S △ABC =21absin60°=233， 整理得⎪⎩⎪⎨⎧==-+.6,44922ab ab b a ∴(a+b)2=4121，即a+b=211 16.解：∵a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a +3b )²(7a －5b )=0，(a －4b )²(7a －2b ) =0.即⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=-⋅+.0||830||7 ,0||1516||72222b b a a b b a a 两式相减：a ²b =21|b |2，代入①得|a |2=|b |2.∴cos α=||||b a b a ⋅=21.∴α=60°，即a 与b 的夹角为60°.17.解：(1)曲线C 与直线L 有两个不同交点，则方程组⎩⎨⎧-==-1122kx y y x 有两个不同的解.代入整理得：(1－k 2)x 2+2kx －2=0.此方程必有两个不等的实根x 1，x 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-.0)1(84,01222k k k 解得－2＜k ＜2且k ≠±1时，曲线C 与直线L 有两个不同的交点.(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线L 与y 轴交于点D(0，－1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+.12,12221221k x x k k x x ∵S △OAB =S △OAD +S △OBD =21|x 1|+21|x 2|=21(|x 1|+|x 2|) (∵x 1x 2＜0)=21|x 1－x 2|=2， ∴(x 1－x 2)2=(22)2，即(212k k --)2+218k -=8.解得k=0或k=±26.∵－2＜k ＜2，∴k=0或k=±26时，△OAB 面积为2.18.解：(1)∵PA ⊥平面ABC ，PB=PC ，由射影定理得，AB=AC=4.∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC.在Rt △PAC 中，可求出PC=5，则PB=BC=5.取BC 中点D ，连AD.在等腰△ABC 中，求出底边上的高AD=239. ① ②∴V=31²21²5²239²3=4395.(2)连PD ，则PD ⊥BC ，又AD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAD.又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC.作AE ⊥PD 于E ，则AE ⊥平面PBC ，AE 为点A 到平面PBC 的垂线段. 在Rt △PAD 中，由PA ²AD=AE ²PD ，即3²239=AE ²235，求出AE=5133. (3)作AF ⊥PC 于F ，连EF ，由三垂线逆定理，得EF ∠AFE 为二面角A —PC —B 的平面角. 在Rt △PAC 中，由PA ²AC=PC ²AF ，即3²4=5²AF ，求出AF=512， ∴sinAFE=AF AE =5133²125=413.即二面角A —PC —B 为arcsin 413.19.解：设应打开n 孔泄洪闸，每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R ，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯<+⨯=+⨯=+.88,32,3160.88,6416,8040.88,41616,24040n R Q R PRQR P n R Q R P R Q R P R Q R PnR Q P R Q P R Q P ∴8n ＞31768=+R Q R P .从而n ＞322≈7.3. 答：至少要打开8孔泄洪闸. 20.解：(1)设P(x 0，y 0)是y=f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y=g(x)图象上的点，则⎩⎨⎧-=-=.,200y y a x x∴⎩⎨⎧-=+=.,200y y a x x ∴－y=log a (x+2a －3a).∴y=log a a x -1(x ＞a)，即y=g(x)=log a a x -1(x ＞a).(2)∵⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x ∴x ＞3a.∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a ＜a+2.∴0＜a ＜1. ∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立.∴⎩⎨⎧<<≤--≤-.10,1])2[(log 122a a a x a ⇔a ≤(x －2a)2－a 2≤a 1.对x ∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x －2a)2－a 2，其对称轴x=2a ，2a ＜2，2＜a+2，∴当x ∈［a+2，a+3］时，h(x)min =h(a+2)，h(x)max =h(a+3).∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤.691,44)(1,)(.max min a a a a x h ax h a 0＜a ≤12579-.。
2018-年5月宁波市模拟考-试题-数学试卷(含答案)
2018-年5月宁波市模拟考-试题-数学试卷(含答案)数学试卷6—2宁波市2018年高考模拟考试数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x xx =--<，数学试卷6—3A ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,42．已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i - B ．32i C ．32- D ．323．已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是 A ．若ml //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m 4．使得3nx ⎛+ ⎝（n N *∈）的展开式中含数学试卷6—4A ．4B ．5C ．65．记nS 为数列{}na 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0na>”是“{}nS 为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，数学试卷6—5则x y -的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种 8．设抛物线24yx=的焦点为F，过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF∆的面积之比BCF ACFSS∆∆=A ． 56B ． 2033C ． 1531D ． 20299．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x af x x ax a x a ⎧-+≥=⎨-++<⎩,（第7题图）数学试卷6—6若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是 A. 1(,1)2B. )1,22(C. )2,1(D.)22,21(10．已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为A.2[,4]3B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9]第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．双曲线2213y x -=的离心率是 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ．12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ▲ ；数学试卷6—7（第14题图）动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为 ▲ ．13．已知随机变量X 的分布列如下表：若2EX =，则a = ▲ ；DX =▲ ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120o的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ▲ ，该三棱锥的外接球体积为▲ ．15．已知数列{}na 与2{}na n 均为等差数列（n N *∈），且12a =，则数学试卷6—823321()))23n n a a a a n++++=L （（ ▲ ．16．已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-，4abc =-.则c b a ++的最小值为 ▲ ．17．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+u u u u r u u u u r u u u u r(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.1A A（第17题图）数学试卷6—9（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求PD CP +的最小值．19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME位置，使得MC =数学试卷6—10（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．C DC（第19题图）11（Ｉ）若12x =是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值；（Ⅱ）若不等式1ln a x b x x-≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤ 恒成立，求b的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C12相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB 的中点时，AB =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AD EB⋅u u u r u u u r的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，1n a +=，121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1na >； （Ⅱ）是否存在集合[,]ab ，使得[,]nc a b ∈对（第21题图）13任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C7．C 8．D 9．D 10．A149．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数． 所以sin cos 2sin()224a πθθθ+==+ ． 因为(,)42θππ∈ ，3(,)424ππθπ∈+． 所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()xy z ++的取值范围．设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的15距离，可以利用等积法计算．因为O ABC A OBCV V --=，于是可以得到||OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号； 另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每16题6分,单空题每题4分，共36分． 11．2，y = 12．1-， 13．0；5214．4++，3 15．221-+n16．6 17．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c≤≤，由题设知0a <， 且2b c a +=--，4bc a -=.于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根，24(2)40a a∆=++⨯≥， 3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤,所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意. 故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1） 若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，17,,a b c中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾.2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则22826a b c a b c a ++=-++==--≥-=当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故cb a ++的最小值为6.17．答：118． 构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）N DC 11B 1A18解答：（Ⅰ）31()4cos (sin cos )122f x x x x =-- 3sin 2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈， 所以()f x 增区间为,,63k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得 262B ππ-=，所以3π=B . …………8分 作C 关于AB 的对称点'C , 连B C P CD C ''',,，7)()('2'22'=⋅++=BC BD BC BD D C……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当D P C D C PD P C PD CP '='≥+'=+……………………14分1919．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算BD =∴BC BD⊥··········2分 又//BC AE∴AE BD⊥ ··········4分 从而,AE A BN M E N⊥⊥ 所以AE MNB ⊥平面 (6)分∴AE MB⊥ ··········7分M20方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+ , 故CE ME ⊥，又CE BE⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ， (2)分所以CE BM ⊥， ……………………3分可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD , 从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分⊥MB 平面ABE，所以AE MB ⊥. (7)分21（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin hMCθ=，其中h为C到AME面的距离. …………………9分∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133M ABE ABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分 所以3ABEAEMS BMh S ∆∆==∴sin 15h MC θ== . ……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系，(0,2,0),2,0),A C -22(0,0,E M则(0,2,2,0),AM AE =-=-u u u u r u u u r2,MC =--u u u u r设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =u r，由00m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，可取m =u r，…………………………12分sin cos ,m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r ．.………………………15分20．（本题满分15分） 解答：（Ｉ）221()x ax f x x ++'=， 因为0x >．由1'()02f =，得211()1022a ++= ，所以52a =-,…………3分此时51()ln 2f x x x x=-+-．23则222511(2)()22'()x x x x f x x x-+--==．所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分 所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分（Ⅱ）不等式1ln a x b x x -≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥． ……………………………8分 ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=．当0,2a x ==时取等号； ……………………………10分 ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，24151()ln ln 2f x a x x x x x x=+-≤-+-．由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数． 所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-． (13)分因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2fx )=于是min 32b =．……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224a b =， (2)分25xyED AMO B（第21题图）即椭圆2222:14x y C b b +=，设1122(,),(,),A x y B x y3344(,),(,)C x yD x y 由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，1212()()x x x x -++12124()()0y y y y -+=又∵(2,1)M -,即12124,2x xy y +=-+=，∴AB斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820xx b ++-=．则12AB x=-==解得23b=，于是椭圆C的方程为：221123x y+=．…………………6分（Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x=++, 由221123(2)1x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x得，222(14)8(21)4(21)120k x k k x k+++++-=．于是21212228(21)4(21)12,1414k k kx x x xk k-++-+=⋅=++．………………8分()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1) x y x y x y x y=---⋅+-+---⋅+-∵2112212 (2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14kk x x x xk+=-++++=+．…………2627………13分 同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k +---⋅+-=+． ∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++u u u r u u u r ，2222220(1)161445()2k k k +≥=+++, 当1k =±时取等号．综上，AD EB⋅u u u r u u u r 的最小值为165． (15)分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1na>．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=，得252=a，显然成立；ⅱ）假设n k =时命题成立，即1ka >．则1n k =+时，1k a+=．28于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->．所以11k a+>，这就是说1n k =+时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >． …………………3分（Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+，所以12nn b +=，从而21n n b =-． ………………5分由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1na >，所以，当2n ≥时，1n n a a +-=． 因为2225(1)4(1)0nn n n a a a a -+-+=-<，所以1n naa +<． 综上，当2n ≥时，11n na a +<<． ………………7分 由11110a=-，1()*)(n n af a n N +∈=，所以111110ca ==-，29235,22a a ==所以12331,1c c a c <=>>>L ，又11223115,,2102c a a c a ==-===．从而存在集合[,]a b ，使得[,]nca b ∈对任意*n N ∈成立，当231112,10b ca a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=．……9分（Ⅲ）当2n ≥时，1na >， 所以21111n n n n a a a a ++++-=即21111n n n n a a a a +++=+- ，也即1111n n n a a a ++-=-，…………11分11111121()n n n n n n n n n n b b b b b b b b c c a a a a a a a a +++++++--=-=-++-+-L （）（）112111n n n b b b a a a ++++=++L （1-）（1-）（1-）1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++L ）22nnnc ≤-．30即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426i nni n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑． 故232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．.……………15分。
镇海区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
分数__________
3 2
B. 1
C. 2
D. 3
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 2． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ A．1 个 ≈0.01 表示的意义是（ ） B．2 个 C．3 个 3． 独立性检验中，假设 H0：变量 X 与变量 Y 没有关系．则在 H0 成立的情况下，估算概率 P（ A．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 1% B．变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% C．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 99% D．变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99.9% 4． 复数 z= （m∈R，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） ） ） D．4 个 K2≥6.635
A． 2sin 2 cos 2 C. 3sin 3 cos 1
B． sin 3 cos 3 D． 2sin cos 1 ）
9． 若如图程序执行的结果是 10，则输入的 x 的值是（
A．0
B．10
C．﹣10 D．10 或﹣10
x
10．已知命题 p : f ( x) a ( a 0 且 a 1) 是单调增函数；命题 q : x ( 则下列命题为真命题的是（ A． p q 11． ） B． p q
a c b 。故选 B。
考点：指数式比较大小。 8． 【答案】A 【解析】 试题分析：利用余弦定理求出正方形面积 S1 1 1 - 2 cos 2 2 cos ；利用三角形知识得出四个等
2018-年5月宁波市模拟考-试题-数学试卷(含答案)
宁波市2018年高考模拟考试数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x x x =--<，则A B =IA ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,4 2．已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i - B ．32i C ．32-D ． 323．已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4．使得3nx x x ⎛+ ⎪⎝⎭（n N *∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．75．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A ．48种 B ．72种 C ．96种 D ．216种8．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A ．56 B ． 2033 C ． 1531 D ． 20299．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x af x x ax a x a⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是A. 1(,1)2B. )1,22(C. )2,1(D. )22,21( （第7题图）1223（第14题图）10．已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为A. 2[,4]3B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9]第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213y x -=的离心率是 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ． 12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ▲ ；动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为 ▲ ．13Xa23 4P13 b1614若2EX =，则a = ▲ ；DX = ▲ ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120o 的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ▲ ，该三棱锥的外接球体积为 ▲ ．15．已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列（n N *∈），且12a =，则23321()))23n n a a aa n++++=L （（ ▲ ．16．已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-，4abc =-.则c b a ++的最小值为 ▲ ．17．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+u u u u r u u u u r u u u u r(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求PD CP +的最小值．ECDC 1A 1B 1D 1AF （第17题图）19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =．（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．（Ｉ）若12x=是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤ 恒成立，求b 的最小值．AB BEC DC（第19题图）21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB 的中点时，10AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，21|1|25n n n n a a a a +-+-+=，121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．xyED AMO B（第21题图）宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A 9．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数．所以sin cos 2sin()224a πθθθ+==+ ．因为(,)42θππ∈ ，3(,)424ππθπ∈+．所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()x y z ++的取值范围．设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的距离，可以利用等积法计算．因为O ABC A OBC V V --=，于是可以得到||OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ 令tx y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t=，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16xy ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．2，y = 12．1-， 13．0；5214．4+ 15．221-+n 16．6 17．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c ≤≤，由题设知0a <，且2b c a +=--，4bc a-=. 于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根， 24(2)40a a∆=++⨯≥，3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤, 所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意. 故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1） 若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，,,a b c 中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾.2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则22826a b c a b c a ++=-++==--≥-=当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故c b a ++的最小值为6.17．答：118．构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 解答：（Ⅰ）31()4cos (sin cos )12f x x x x =-- 3sin 2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，所以()f x 增区间为,,63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得NCDC 1A 1B 1D 1A262B ππ-=，所以3π=B . …………8分 作C 关于AB 的对称点'C , 连B C P C D C ''',,，7)()('2'22'=⋅++=BC BD BC BD D C……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当D P C D C PD P C PD CP '='≥+'=+……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD =∴BC BD ⊥ ··········2分 又//BC AE ∴AE BD ⊥ ··········4分 从而,AE A BN M E N ⊥⊥ 所以AEMNB ⊥平面 ··········6分∴AE MB ⊥ ··········7分方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+ , 故CE ME ⊥，又CEBE ⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ，……………………2分AB BEC DC（第19题图）所以CE BM ⊥， ……………………3分 可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD ,从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin hMCθ=，其中h 为C 到AME 面的距离. …………………9分 ∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133M ABEABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分所以3ABE AEM S BM h S ∆∆==∴sin 15h MC θ== . ……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系，(0,2,0),2,0),A C -(0,0,E M则(0,2,2,0),AM AE =-=-u u u u r u u u r2,MC =--u u u u r设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =u r，由00m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，可取Cm =u r， …………………………12分sin cos ,m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r ．.………………………15分20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()x ax f x x ++'=， 因为0x >．由1'()02f =，得211()1022a ++= ，所以52a =- ,…………3分此时51()ln 2f x x x x=-+-． 则222511(2)()22'()x x x x f x x x -+--==． 所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分 （Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥． ……………………………8分 ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=．当0,2a x ==时取等号； ……………………………10分ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，151()ln ln 2f x a x x x x x x =+-≤-+-．由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数．所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-． ……………………13分xy ED AMO B（第21题图）因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2f x )=于是min 32b =． ……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224a b =， …………………2分即椭圆2222:14x y C b b+=，设1122(,),(,),A x y B x y3344(,),(,)C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，1212()()x x x x -++12124()()0y y y y -+=又∵(2,1)M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．消x 得，224820xx b ++-=．则2212111164(82)104AB kx b =+-=+--= 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．…………………6分（Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x =++, 由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， 222(14)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=．于是21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k-++-+=⋅=++．………………8分 ()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x ---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14k k x x x x k +=-++++=+． …………………13分同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k+---⋅+-=+． ∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++u u u r u u u r ，2222220(1)161445()2k k k +≥=+++, 当1k =±时取等号． 综上，AD EB ⋅u u u r u u u r 的最小值为165． …………………15分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1n a >．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=，得252=a ，显然成立； ⅱ）假设n k =时命题成立，即1k a >．则1n k =+时，1k a +=．于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->． 所以11k a +>，这就是说1n k =+时命题成立． 由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >．…………………3分（Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+，所以12nn b +=，从而21n n b =-． ………………5分由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1n a >，所以，当2n ≥时，1n n a a +-=．因为2225(1)4(1)0n n n n a a a a -+-+=-<，所以1n n a a +<．综上，当2n ≥时，11n n a a +<<． ………………7分由11110a =-，1()*)(n n a f a n N +∈=，所以111110c a ==- ，235,22a a == 所以12331,1c c a c <=>>>L ，又11223115,,2102c a a c a ==-===．从而存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立， 当231112,10b c a a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=． (9)分（Ⅲ）当2n ≥时，1n a >， 所以21111n n n n a a a a ++++-=即21111n n n n a a a a +++=+- ， 也即1111n n n a a a ++-=-，…………11分 11111121()n n n n n n n n n n b b b b b b b b c c a a a a a a a a +++++++--=-=-++-+-L （）（）112111n n n b b b a a a ++++=++L （1-）（1-）（1-）1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++L ）22nnnc ≤-．即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426inni n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑．故232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．.……………15分。
2018年浙江省宁波市镇海中学校高考数学模拟试卷和答案(5月份)
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．3π
B．
C．
D．
5．（4 分）记（2﹣x）7＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a7（1+x）7，则 a0+a1+a2+…a6 的值 为（ ）
A．1
B．2
C．129
D．2188
延长 BA 和 CD 交 MN 的延长线于不同的两点 P，Q，则
的值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（14 分）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
，
．
（1）求角 A 的大小；
（2）求 b+c 的取值范围．
A．
B．3
C．
D．4
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 6 分，共 36 分．
11 ．（ 6 分 ） 双 曲 线 C ： y2 ﹣ ＝ 1 的 渐 近 线 方 程 为
，设双曲线
经过点（4，1），且与 C 具有相同渐近线，则 C 的方程为
．
12．（6 分）设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．{an}的通项 an＝
﹣4a1 的最小值； （3）若{ }是“0 级梦数列”且 a1＝ ，设数列{
2}的前 n 项和为 Sn．证明：
（n∈N*）．
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2018 年浙江省宁波市镇海中学校高考数学模拟试卷（5 月份）
浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学精彩试题全WORD版
实用文档标准文案宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合??05Axx???，??2280Bxxx????，则AB? A．??2,4?B．??4,5C．??2,5?D．??0,42．已知复数z满足(1)2zii???（i为虚数单位），则z的虚部为A32i?B32i C32?D．323．已知直线l、m与平面?、?，??l，??m，则下列命题中正确的是A．若ml//，则必有??//B．若ml?，则必有???C．若??l，则必有???D．若???，则必有??m4．使得13n xxx???????（nN??）的展开式中含有常数项的最小的n为A．4B．5C．6D．75．记n S为数列{}n a的前n项和．“任意正整数n，均有0n a?”是“{}n S为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x，y满足不等式组2403480280xyxyxy??????????????，则xy?的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A．48种 B．72种 C．96种 D．216种8．设抛物线24yx?的焦点为F，过点(5,0)P的直线与抛物线相交于,AB两点，与抛物线的准线相交于C，若5BF?，则BCF?与ACF?的面积之比BCFACF SS??? A．56 B．2033C．1531 D．20299．已知a为正常数，2221,()321,xaxxafxxaxaxa???????????,若存在(,)42????，满足(sin)(cos)ff???，则实数a的取值范围是A. 1(,1)2B.)1,22(C.)2,1(D. )22,21(10．已知,xy均为非负实数，且1xy??，则22244(1)xyxy????的取值范围为（第7题图）实用文档标准文案23（第14题图）A. 2[,4]3 B．[1,4] C．[2,4]D．[2,9]二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213yx??的离心率是，渐近线方程为12．已知直线:1lmxy??．若直线l与直线10xmy???平行，则m的值为；动直线l被圆222240xxy????截得弦长的最小值为13．已知随机变量X的分布列如下表：X a234P13b1614若2EX?，则a?；DX?14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为，该三棱锥的外接球体积为15．已知数列{}n a与2{}n an均为等差数列（nN??），且12a?，则23321()))23nn aaaan?????（（16．已知实数,,abc满足：2a bc????，4abc??.则cba??的最小值为17．已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD?中，E为侧面11BBCC中心，F在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P满足111DPxDFyDE??(0,0)xy??，则所有满足条件的P点构成图形的面积为三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数()4cossin16fxxx???????????. （Ⅰ）求函数()fx 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC?中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足()0fB?，2a?，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求PDCP?的最小值．ECBDC1A1B1D1AF（第17题图）实用文档标准文案19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，，∥???60,CCDAB点E在线段CD上，满足BECD?,且124CEABCD???，现将ADE?沿AE翻折到AME位置，使得210MC?．（Ⅰ）证明：AEMB?;（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()lnfxaxxx???，其中a为实常数．（Ｉ）若12x?是()fx的极大值点，求(fx）的极小值；（Ⅱ）若不等式1lnaxbxx???对任意502a???，122x??恒成立，求b的最小值．实用文档标准文案21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab????的离心率为32，点(2,1)M?是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,ll，设1l与椭圆C相交于点,AB，2l与椭圆C相交于点,DE．当M恰好为线段AB的中点时，10AB?．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ADEB?的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{}nnn abc，，满足11110a??，11b?，21|1|252nnnn aaaa??????，121nn bb???，,*n nb caNn??．（Ⅰ）证明：当2n?时，1n a?；（Ⅱ）是否存在集合[,]ab，使得[,]n cab?对任意*nN?成立，若存在，求出ba?的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nnnn cnNnccc??????????．实用文档标准文案宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A9．()fx关于直线xa?对称，且在[,)a??上为增函数．所以sincos2sin()224a????????因为(,)42????，3(,)424??????．所以2sin(12()2)242a?????，．10．简解：1()2xyz???，则试题等价于21xyz???，满足,,0xyz?，求2224()xyz??的取值范围．设点1(0,0,)2A，(1,0,0)B，(0,1,0)C，点(,,)Pxyz可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点，则2222||OP xyz???，于是问题可以转化为||OP的取值范围．显然||1OP?，||OP的最小值为O到平面ABC的距离，可以利用等积法计算．因为OABCAOBC VV???，于是可以得到1||6OP?．所以21||[,1]6OP?，即2224[]xyz??2[,4]3?．另解：因为,0xy?，所以2222()()2xyxyxy?????实用文档标准文案令txy??，则01t??22222244(1)4(1)5214xyxytttt???????????．当0xy?且1t?，即0,1xy??或1,0xy??时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213xyxytttt???????????当16xy??时取等号．所以222244(1)[,4]3xyxy?????．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．2，3yx?? 12．1?，223 13．0；52144315??，2053? 15．221??n16．6 1711816．简解：不妨设a是,,abc中的最小者，即,abac??，由题设知0a?，且2bca????，4bca??. 于是,bc是一元二次方程24(2)0xaxa????的两实根，24(2)40aa??????，3244160aaa????，2(4)(4)0aa???, 所以4a??.又当4a??,1bc??时，满足题意. 故,,abc中最小者的最大值为4?.因为,,0abc?，所以,,abc为全小于0或一负二正.1）若,,abc为全小于0，则由（1）知，,,abc中的最小者不大于4?，这与2abc????矛盾. 2）若,,abc为一负二正，设0,0,0abc???，则22826abcabca?????????????当4a??,1bc??时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故cba??的最小值为6.17．答：118．构成的图形，如图所示．记BC中点为N，所求图形为直角梯形ABND、BNE?、NCBDC1A1B1D1A．实用文档标准文案1DAD?．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）31()4cos(sincos)122fxxxx???3sin2cos222sin(2)26xxx???????……………………4分由于222,262kxkkZ????????????，所以()fx增区间为,,63kkkZ?????????????．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206fBB?????得262B????，所以3??B. …………8分作C关于AB的对称点'C, 连BCPCDC''',,，7)()('2'22'?????BCBDBCBDDC……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当DPCDCPDPCPDCP????????……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD交AE于N，由条件易算43BD?∴BCBD?··········2分又//BCAE∴AEBD?··········4分从而,AEABNMEN??所以AEMNB?平面··········6分∴AEMB?··········7分方法二：由102,2,6????MCCEDEME，得A ABEMBECDC（第19题图）实用文档标准文案222MCCEME?? , 故CEME?，又CEBE?，所以CEBEM?平面，……………………2分所以CEBM?，……………………3分可得BMAB?，计算得62,72???MBAMAD,从而222BEMBME??,BMBE?……………………5分?MB平面ABE，所以AEMB?. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM与面AME所成角为?，则sin hMC??，其中h为C到AME面的距离. …………………9分∵AEBC∥∴C到AME面的距离即B到AME面的距离.由1133MABEABEBAMEAEM VSBMVSh???????．…………………12分所以263ABEAEM SBMhS????∴15sin15hMC??? . ……………………………………………15分方法二：由MBABCE?面，如图建系，(0,2,0),(23,2,0),AC?(23,,0),(0,0,26),EM则(0,2,26),(23,2,0),AMAE????(23,2,26)MC???设平面AME的法向量为(,,)mxyz?，由00m AM mAE?????????，可取(2,6,1)m?， (12)分15sincos,15mMCmMCmMC?????????．.………………………15分zyAMBECx实用文档标准文案xyEDAMO B（第21题图）20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()xax fxx????，因为0x?．由1'()02f?，得211()1022a???，所以52a?? ,…………3分此时51()ln2fxxxx????．则222511(2)()22'()xxxxfxxx??????．所以()fx在1[,2]2上为减函数，在[2,)??上为增函数．…………5分所以2x?为极小值点，极小值35ln2(2)22f??．. …………6分（Ⅱ）不等式1lnaxbxx???即为()fxb?．所以max()bfx?．……………………………8分ⅰ）若12x??，则ln0x?，1113()ln222fxaxxxxx????????当0,2ax??时取等号；……………………………10分ⅱ）若112x??，则ln0x?，151()lnln2fxaxxxxxx???????．由（Ｉ）可知51()ln2gxxxx????在1[,1]2上为减函数．所以当112x??时，153()()ln2222gxg???．……………………13分因为53533ln2122222?????．所以max3(2fx)=于是min32b?．……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224ab?，…………………2分即椭圆2222:14xyCbb??，设1122(,),(,),AxyBxy3344(,),(,)CxyDxy由22211222224444xybxyb???????作差得，实用文档标准文案1212()()xxxx???12124()()0yyyy???又∵(2,1)M?,即12124,2xxyy?????，∴AB斜率121212yykxx????．…………………………4分由222214122xybbyx???????????．消x得，224820xxb????．则2212111164(82)104ABkxxb????????．解得23b?，于是椭圆C的方程为：221123xy??．…………………6分（Ⅱ）设直线:(2)1ABykx???, 由221123(2)1xyykx??????????消x得，222(14)8(21)4(21)120kxkkxk???????．于是21212228(21)4(21)12,1414kkkxxxxkk??????????． (8)分()()ADEBAMMDEMMBAMMBEMMD????????? 11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)xyxyxyxy??????????????∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)xyxykxx???????????22121224(1)(1)[42()]14kkxxxxk?????????．…………………13分同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4kxyxyk?????????．∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)kADEBkkkkk??????????，2222220(1)161445()2kkk??????, 当1k??时取等号．综上，ADEB?的最小值为165．…………………15分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n?时，1n a?．实用文档标准文案ⅰ）当2n?时，由11110a??，21|1|252nnnn aaaa??????，得252?a，显然成立；ⅱ）假设nk?时命题成立，即1k a?．则1nk??时，211252kkkk aaaa??????于是2132512kkkk aaaa???????．因为222(25)(3)4(1)0kkkk aaaa???????．所以11k a??，这就是说1nk??时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当2n?时，1n a?．…………………3分（Ⅱ）由1121,1nn bbb????，得112(1)nn bb????，所以12nn b??，从而21nn b??．………………5分由（Ⅰ）知，当2n?时，1n a?，所以，当2n?时，2125(1)2nnnnn aaaaa???????．因为2225(1)4(1)0nnnn aaaa???????，所以1nn aa??．综上，当2n?时，11nn aa???．………………7分由11110a??，1()*)(nn afanN???，所以111110ca???，235,22aa??所以12331,1ccac?????，又11223115,,2102caaca??????．从而存在集合[,]ab，使得[,]n cab?对任意*nN?成立，当231112,10bcaac??????时,ba?的最小值为213110cc??．……9分（Ⅲ）当2n?时，1n a?，所以21111nnnn aaaa??????即21111nnnn aaaa??????，也即1111nnn aaa?????，…………11分实用文档标准文案11111121()nnnnnnnn nnbbbbbbbb ccaaaaaaaa??????????????????（）（）111nnn bbb aaa???????（1-）（1-）（1-）112111()(nnn nnbbb bb aaa??????????）22nnn c?-．1112即122nnnnn ccc????(2)n?,．??．于是11112122i2(2)2426inninniinnii c ccccc?????????????????故232311226(*,2)22nnnn cnNnccc??????????．.……………15分。
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一、选择题1．已知全集U R =,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ) A ．{|1}x x < B ．{|01}x x << C ．{|0}x x ≤ D ．R 答案： A解答：∵{|0}A x x =>，∴{|0}U C A x x =≤. ∵{|0}U C A x x =≤，{|01}B a x =<<. ∴(){|1}U C A B x x =< .2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 答案： C解答： ∵，∴的共轭复数为.3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ) A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 答案： B解答：推不出，当时，也可能平行于； 根据线面垂直的性质定理，由于，所以；由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者的必要而不充分条件.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ． 3πB ． 83πC ．103πD ． 113π答案： C解答：该几何体是由圆柱的四分之一和圆锥的一半组合而成的立体图形，则5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++ ，则0126a a a a +++ 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．129 D ．2188 答案： C解答：6．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩ 表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,1]- B ．1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-答案： A解答：及其之间位置时均与题意相符．当在黑色线a 位置时，将点(1,2)-代入即可求出2m =-；当在黑色线b 位置时，将点(1,1)代入即可求出1m =，所以实数m 的取之范围为[2,1]-．7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种 答案： D解答：可先选取2人作为一组,这样4人被分为三组,分到三个景点,减去甲在A 景点的方法数2332243332()24C A A C A-+=种.8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，2FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.[]23 B.3C.[1]2D.1,1)答案： A解答：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形，所以2AB FF c '==，设AF n '=，AF m =，则在直角ABF ∆中，2m n a +=，2224m n c +=，得22m n b =，整理得222m n c n m b +=，令mt n =，得2212c t t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[1,2]mt n =∈，所以22125[2,]2c t t b +=∈，所以离心率的取值范围是[]23.9．已知函数1ln(1),1()21,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 答案： B解答：令()t f x =,则方程3(())2[()]04f f x f x -+=等价于3()202f t t --=，在同一平面直角坐标系中作出()f x 与直线322y x =+的图象，由图象可得有两个交点，且3()202f t t --=的两根分别为10t =和212t <<，当1()0t f x ==时，解得2x =；当2()(1,2)t f x =∈时，()f x 有3个不等实根.综上所述，方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4.10．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ) A ． 2 B ． 4C ．D ． 答案： D解答：建立直角坐标系如图，点M 在侧棱1AA 上，设(0,1,)M a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设(0,1,)Q c ，则,)MN b a =- ，1,)QN b c =--.因为MNQ ∆为直角三角形，所以0MN QN ⋅=，所以()()20b a b c --+=，斜边MQ ====，当a b b c -=-时取等号. 二、填空题11．双曲线:C 2214x y -=(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为．答案：2xy =±；221123x y -=. 解答：12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= ．{}n a 的通项n a =，数列的{}21na n +前n 项和是．答案：221n -； 221nn +. 解答：由题知123(21)2n a a n a n +++-= ①，当2n ≥时，有1213[2(1)1]2(1)n a a n a n -+++--=- ②， 由①-②得：(21)22(1)n n a n n -=--，则2(2)21n a n n =≥-.当1n =时，有12a =，也满足221n a n =-， 所以数列{}n a 的通项221n a n =-. 令21nn a b n =+，由（1）可得211(21)(21)2121n b n n n n ==--+-+，故其前n 项和1111112(1)()()133521212121n nS n n n n =-+-++-=-=-+++ . 13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则(1)P X ==，方差的最大值是． 答案：23； 23. 解答：由题意知，1a b c ++=，且,,[0,1]a b c ∈.① ∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+，② 联立①②，得13b =，23a c +=. ∴2(1)(1)(1)3P X P X P X a c ===-+==+=. ∵，∴方差的最大值是.14．函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ=，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左 平移个单位．答案：6π-；3π. 解答：15．若实数,x y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是． 答案： (2,4]. 解答：∵2244(22)222222xyxy xyxys +=+-⋅=-⋅，故原式变形为22222x y s s -⋅=， 即22222x y s s ⋅=-.号.解得24s <≤，故答案为(2,4].16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为． 答案：2.解答：由题意知，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，当斜率k 存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y .由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，整理得：2222(24)0k x k x k -++=. 则212224k x x k ++=，121x x =，则211x x =. 根据抛物线性质可知，11AF x =+，21BF x =+，2111112112122(1)(1),0111x x AF x x x BF x x x +-=+-=+-=>+++.设21(),01x f x x x +=>+，求导2221()(1)x x f x x +-'=+，令()0f x '=，则2210x x +-=，解得1x =.当1)x ∈，()0f x '<，当1,)x ∈+∞，()0f x '>. ∴()f x在1)单调递减，在1,)+∞单调递增.∴当1x =，()f x 取得最小值，最小值为2，∴2AF BF-最小值为2. 17．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为．答案： 0. 解答：利用特例法解决，令四边形为等腰梯形，则两点重合，∴，∴.三、解答题18.已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =sin sin sin B A b cC a b --=+．（1）求角A 的大小；（2）求b c +的取值范围．答案： （1）3π； （2）. 解答： （1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以2221cos 2a b c bc A =+-⇒=，3A π=. （2）a = 3A π=，所以2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，22(sin sin )2[sin sin()])33b c B C B B B ππ+=+=+-=-， ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为(,)62ππ，则(,)366B πππ-∈-，∴cos()3B π-的取值范围是，∴b c +∈.19.在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==2AC =．（1）求证：BD AC ⊥； （2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC = ，求直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值． 答案： （1）略；（2）7. 解答：（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，∵2AB AD BD ===，又E 为BD 中点，∴AE BD ⊥. 同理可得：CE BD ⊥.又AE CE E = ，∴BD ⊥平面ACE ， 又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥． （2）∵2AB AD BD ===，BC DC ==∴BCD ∆为直角三角形，且AE=1CE =，∴222AE EC AC +=，2AEC π∠=，即AE EC ⊥.又AE BD ⊥，所以AE ⊥平面BCD ， ∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．∴()010B -,,，()010D ,,，()100C ,,，(00A ,， 设()000,P x y z ,，(01)AP AC λλ=≤≤，(1,0,AC =，(000AP x y z =,,，∴000(,,(1,0,(,0,)x y z λλ==，∴0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴()0P λ,，()=BP λ，(0DA =-，，(1,1,0)DC =-，设111(,,)n x y z =是平面ACD 的法向量，∴11110000n DA y x y n DC ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令11x =，得11y =，13z =，∴(1,1,3n =，∴sin cos ,n BPn BP n BPθ⋅====⋅由01λ≤≤，可知2723228λλ≤-+≤，∴sin 77θ≤≤，∴sin θ的最大值为．3AP PC =，即34λ=时，sin θ. 20．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 答案：（1）()f x 在1(,ln ]a -∞上为减函数，在1[ln ,)a+∞上为增函数； （2）01a <<. 解答：（1）()(21)(1)xxf x e a e '=+⋅-.若0a ≤时，()(21)(1)0x xf x e a e '=+⋅-<，所以()f x 在R 上为减函数.若0a >时，()(21)(1)0x xf x e a e '=+⋅-=，则1ln()x a=.则()f x 在1(,ln ]a-∞上为减函数，1[ln ,)a+∞上为增函数. （2）1(ln )0f a <即可得2111111(ln )()(2)ln 1ln 0f a a a a a a a a =+--=--<.令1t a =，()1ln g t t t =--在(0,)+∞上为减函数，又因为(1)0g =，所以1t >，所以11a>，所以a 的取值范围为01a <<．21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，P在椭圆上，离心率e =，左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式．答案：（1）2212x y +=； （2）略. 解答： （1）由P 在椭圆上，可得221112a b +=，a =， 又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．（2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线001:1x MD x y y +=-，代入22:12x C y +=，得222200000[(1)2]2(1)0x y y x y y y ++-+-=. 因为220012x y +=，代入化简得()()22000021320x y x y y y -+-=+.设()11,D x y ，()22,E x y ，则201023y y y x -+=，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-. 直线001:1x NE x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-. 所以()12121200001212121212000000121111DE y y y y y y k x x x x y y y y x x y y y y y y y y y y y y ---====+-++---++⋅- 00000013341()6y k x xx y y ==⋅=+⋅-. 22．我们称满足：21(1)()()k n n n a k a a n N *+-=--∈的数列{}n a 为“k 级梦数列”．（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =．求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++= ，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}na 的前n 项和为n S ．证明：11()2(2)2(1)n S n N n n n *≤≤∈++．答案： （1）13，17；（2）72-； （3）略. 解答：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以211()n n n a a a +-=--，当2,3,4n =时，代入可求得23111113a a -=--，43111117a a -=--； （2）由条件可得：111111n n n a a a +=---， ∴1220171201811111211a a a a a +++=-=-- . 解得12018112111322232a a a a -==+⨯--.∴()2018111111174232626223222a a a a -=+⨯+--≥+-=--，当且仅当154a =时取等号.（3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-①又由21n n n a a a +=-得[]11111,2n n n n a a a a ++-=∈ 累加得：11112n n n a a +≤-≤，所以 ()111212n a n n +≤≤++②由①②得()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++。