奥数专题：方阵
【奥数专项】人教版小学数学奥数思维拓展四年级上册方阵问题(试题)含答案与解析
奥数专项——方阵问题（试题）一．选择题（共8小题）1．在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种（）棵．A．20B．28C．16D．152．一个方阵每边站20人，（四个顶点都有人），那么这个方阵一共有（）人．A．400B．76C．361D．803．一个方阵共有49人，那么这个方阵最外层有（）A．28人B．24人C．30人D．36人4．用花盆摆一个方阵，最外层共有60盆花，方阵最外层每边有（）盆花．A．14B．13C．15D．165．同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有（）人．A．72B．76C．806．学校要美化校园，要在正方形水池四周摆花，四个角都摆一盆，每边都摆5盆，那么一共要准备（）盆花．A．16B．20C．24D．267．同学们做操，站成7行，每行6人，现在要求站成方队，最少要去掉（）人．A．5B．6C．78．在一个正方形的操场上四周植树，要求4个角各植1棵，每边都植12棵，一共要植树（）棵．A．40B．44C．48二．填空题（共7小题）9．为美化校园，同学们在学校正方形花圃四周摆放菊花，如果每边摆5盆，至少要准备盆。
10．团体操方阵表演，最外层每边15人，最外层一共有人，这个方阵一共有人。
11．小芳用黑棋在围棋盘的左上方和右下方各摆了一个方阵，每个方阵每行摆5粒，摆5行，再在每个方阵的最外面摆一圈白棋。
白棋一共摆了粒，黑棋一共摆了粒。
12．儿童节前夕，学校后勤人员在童话广场用盆花摆出了一个8×8的方阵，外三层用的是蝴蝶兰，里面用的是大叶海棠．蝴蝶兰要准备盆，大叶海棠要准备盆．13．运动会开幕式上，“花环”队同学在操场上排成方队表演，每行7人，有7行，“花环”方队最外边一圈有人。
14．同学们排成一个正方形方阵，这个方阵的最外层每边都有10人，最外层一共有人。
15．四年级同学举行队列表演，共组成8个方队。
每个方队排成5行，每行5人。
奥数-14方阵问题+答案
方阵问题方阵是古代军队作战时采用的一种队形，方阵平面一般呈现“回”字形状，是把军队在野外开阔地上排列成方形阵式。
数学中的方阵是指行数与列数一样多的矩阵。
n×n阶矩阵被称为n阶方阵。
将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总数，求每条边个数或层数等，这类问题就叫做方阵问题。
1.方阵每边人数相邻两层物体总数相差8，每边相差2。
每边人数＝一层总数÷4＋1 或一层总数＝（每边人数－1）×42.方阵总人数①实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数②空心方阵：总人数＝外边方阵人数－内边方阵人数内边人数＝外边人数－层数×2若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：空心方阵总人数＝（外边人数－层数）×层数×43.方阵问题思维方法：①重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；②逆向法思维：如已知空心方阵的总数求外层每条边的数目，可逆用求总数公式：外边人数＝空心方阵总人数÷4÷层数＋层数。
【例1】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：22×22＝484（人）练习一1、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？2、同学们做早操，排成一个方阵，从前、后、左、右数，王强都是第5个，这个方阵共有多少人？3、花坛最外层一条边上有18盆花，最外层有多少盆花？【例2】有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：100÷4＋1＝26（人），因此方阵中一共有26×26＝676（人）。
练习二1、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？2、某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？3、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？4、五年级有4个班级，每个班级有36人，要组成一个方阵，最外层有几个人？【例3】121人的方阵，现要增加1行1列，需要增加多少人？解析：因为11×11＝121，所以现有的方阵每条边是11人。
数学专项复习小升初典型奥数之方阵问题
数学专项复习小升初典型奥数之方阵问题在小升初的数学考试中，方阵问题是一个常考的知识点，也是奥数中的典型题型。
对于即将面临小升初的同学们来说，掌握方阵问题的解题方法和技巧至关重要。
接下来，让我们一起来深入了解方阵问题。
首先，我们要明白什么是方阵。
方阵就是行数和列数相等的正方形队列。
比如，一个 5 行 5 列的队列就是一个方阵。
方阵问题主要包括以下几个方面：一、方阵的基本特点1、方阵不论在哪一层，每边上的数量都相等。
每向里一层，每边上的数量就减少 2。
2、每层数量相差 8（除了最里层）。
3、实心方阵的总数＝每边数量×每边数量二、方阵的层数、每层数量与总数的关系假设一个方阵有 n 层，最外层每边有 a 个，那么从外往里第二层每边数量为 a 2，第三层每边数量为 a 4，以此类推。
每层数量＝每边数量×4 4总数＝最外层每边数量×最外层每边数量三、常见的方阵问题类型及解题方法1、已知方阵总数，求每边数量比如，一个实心方阵的总数是 64 人，求每边有多少人？我们知道实心方阵的总数＝每边数量×每边数量，因为8×8 ＝64，所以每边有 8 人。
2、已知每边数量，求方阵总数若一个方阵每边有 9 人，求这个方阵的总人数。
总数＝ 9×9 ＝ 81（人）3、求方阵的层数及每层的数量例如，一个方阵总数为 144 人，最外层每边有 12 人，求方阵的层数和每层的数量。
首先，最外层数量＝ 12×4 4 ＝ 44（人）因为每层数量相差 8，所以从外往里第二层数量为 44 8 ＝ 36（人），第三层为 36 8 ＝ 28（人），第四层为 28 8 ＝ 20（人），第五层为 20 8 ＝ 12（人）。
所以这个方阵一共有 5 层。
四、解题技巧和注意事项1、画图辅助理解在解决方阵问题时，通过画图可以更直观地看出方阵的结构和数量关系，有助于我们找到解题的思路。
2、找准关键信息认真审题，确定题目中给出的是方阵总数、每边数量还是其他相关信息，根据已知条件选择合适的公式进行计算。
三年级奥数---方 阵 问 题(答案)
训练点24——方阵问题方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4★1、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？思路分析:棋子排成每边8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可见棋子总数是8个8粒,即8×8=64粒,最外层的棋子数可按公式:一周总点数=每边粒数×4-4求得.解:8×8=64(粒)8×4-4=32-4=28(粒)答:棋子共有64粒,最外层有28粒.2、为了绿化小区，在一块正方形的地四周种树，四个角都种一棵，每边种13棵，这块地的四周共有多少棵树？解：（13-1）×4=48（棵）……四周共种的3、有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？思路分析:已知方阵最外层人数为12人,可见五层每边人数分别是12人﹑10人﹑8人﹑6人和4人,中间空心部分为每边2人的方阵.解:12×12-2×2=144-4=140(人)答:共有学生140人.4、学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？解：（23+1）÷2=12（人）12×12=144（人）或（23-1）÷2+1=12（人）12×12=144(人)……高年级人数★★5、仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？解：（66+8）÷2=36（人） 36+8=44(人) 增加人数或 64÷4÷2+2=10(人) (10+2)×4-4=44(人)6、某班抽出一些学生参加节日活动队表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？解:(1)原来每边多少人?(7+4-1)÷2=10÷2=5(人)(2)共抽出多少学生?5×5+7=25+7=32(人)或6×6-4=36-4=32(人)综合算式:[(7+4-1)÷2]2+7=[10÷2]2+7=52+7=25+7=32(人)答:共抽出32个学生.7、用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？24×24=576（粒）解:576÷4÷3+3=48+3=51(粒)答:最外层每边棋子数为51粒.8、有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？解：60÷4+1=16（人）……最外每边人数16×16=256（人）……实心方阵总人数28÷4+1=8（人）……最里层每边人数（8-2）×（8-2）=36（人）……最里实心方阵256-36=220（人）……总人数9、一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？解：（1）44÷4+1=12（人）（2）12×12=144（人）（3）28÷4+1=8（人）（4）（8-2）×（8-2）=36（人）（5）144-36=108（人）……空心方阵人数★★★10、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？思路分析:可利用公式:“中空方阵最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数”求得。
小学奥数关于方阵问题的计算公式
【导语】让学⽣体会到数学源于⽣活、⽤于⽣活的同时，更应该让学⽣体会到数学⾼于⽣活，体会到数学可以带动社会的发展，带动⽣活质量的提⾼，这样更能激发学⽣学好数学。
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⽅阵问题公式
（1）实⼼⽅阵：（外层每边⼈数）2=总⼈数。
（2）空⼼⽅阵：
（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2=中空⽅阵的⼈数。
或者是
（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。
总⼈数÷4÷层数+层数=外层每边⼈数。
例如，有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？
解⼀先看作实⼼⽅阵，则总⼈数有
10×10=100（⼈）
再算空⼼部分的⽅阵⼈数。
从外往⾥，每进⼀层，每边⼈数少2，则进到第四层，每边⼈数是
10-2×3=4（⼈）
所以，空⼼部分⽅阵⼈数有
4×4=16（⼈）
故这个空⼼⽅阵的⼈数是
100-16=84（⼈）
解⼆直接运⽤公式。
根据空⼼⽅阵总⼈数公式得
（10-3）×3×4=84（⼈）。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
六年级下小升初典型奥数之方阵问题
六年级下小升初典型奥数之方阵问题在六年级下册的小升初奥数中，方阵问题是一个较为常见且重要的知识点。
对于即将面临小升初的同学们来说，掌握方阵问题不仅能够提升数学思维能力，还能在考试中应对自如。
什么是方阵呢？简单来说，方阵就是行数和列数相等的正方形队列。
比如，一个 5 行 5 列的队列就是一个方阵。
方阵问题中有几个关键的概念需要我们理解。
首先是“最外层人数”，它指的是方阵最外层一周的人数。
其次是“方阵总人数”，也就是整个方阵包含的人数。
还有“相邻两层人数差”，相邻两层每边人数相差 2，所以相邻两层人数相差 8（四个角的人数会重复计算）。
我们先来看一个简单的例子。
一个方阵最外层每边有 6 个人，那么这个方阵的最外层人数是多少呢？我们可以这样计算：每边有6 个人，四条边就有 6×4 ＝ 24 个人。
但是这样计算的话，四个角的人都被重复计算了一次，所以要减去 4，即 24 4 ＝ 20 人。
所以这个方阵的最外层人数是 20 人。
那方阵的总人数怎么计算呢？如果方阵每边有 n 个人，那么总人数就是 n×n ，也就是 n 的平方。
比如一个每边有 8 个人的方阵，总人数就是 8×8 ＝ 64 人。
接下来我们再深入探讨一些稍微复杂的情况。
如果在一个方阵中，去掉一行一列，那么去掉的人数怎么计算呢？假设原来方阵每边有 n个人，去掉一行一列，就去掉了 2n 1 个人。
比如一个每边有 7 个人的方阵，去掉一行一列，就去掉了 2×7 1 ＝ 13 个人。
还有一种情况，如果在方阵的外层增加一层，那么增加的人数是多少呢？我们知道相邻两层人数相差 8，所以增加一层就增加 8 个人。
为了更好地理解方阵问题，我们再来看几个具体的例题。
例 1：学校举行团体操表演，五年级学生排成一个方阵，最外层每边站 15 人。
请问这个方阵最外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？最外层人数：15×4 4 ＝ 56（人）方阵总人数：15×15 ＝ 225（人）例 2：一个正方形花坛，原来摆成一个 9 行 9 列的实心方阵。
三年级奥数方阵问题
方阵问题知识结构一、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例题精讲【例 1】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和，我们只要在3050～的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是66=36⨯人或77=49⨯人，又因为=++++⋯+=++++⋯++，所以总人数是36人．，361234849123494【答案】36人【巩固】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50100～之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．【答案】大方阵有64人，小方阵有36人【例 2】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】带领学生画图求解．一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5317+-=（列）一共有多少人？列式：11777⨯=（人）【答案】77人【巩固】一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）一共有多少只猴子？11999⨯=（只）．【答案】99人【例 3】四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列．还剩多少同学？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8864⨯＝（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过同样的方法得出总人数为：77=49⨯（人）．【答案】8行8列的实心方阵人数为64人，去掉一行一列后，还剩49人。
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方阵
1、有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
2、一个实心方阵，最外层一共有20人.请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
3、若干名同学站成一个15×15的实心方阵.请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少人？
4、一个实心方阵，最外层共有44人.请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？
5、海军某部排成一个方阵，最外层人数为48，则该方阵共有多少人？
6、有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，这个方阵共有多少人？
7、一个团体操方队，共有15层，最内层每边20人.这个方队共有多少人？
8、参加小学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行一列，则要减少33人.参加团体操表演的运动员原来有多少人？
9、小明用围棋子摆一个方阵，这个方阵的横、竖各一列的棋子之和为21枚.他摆这个方阵共用多少枚棋子？
10、红领巾小学四年级有120名学生.他们排成一个三层的空心方阵.请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
11、五（1）班的学生进行队列训练，排成两层空心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多少人？
12、用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗，求这个方阵共有棋子多少颗？
13、有120朵花，排成一个三层的方阵花坛.这个花坛的最外层每边应排多少朵花？
14、六一儿童节，120人排成一个空心方阵，这个方阵最外层每边有13人.求空心方阵的层数?
15、用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……这样依次铺下去，一共使用了400块瓷砖.请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
16、有一队学生，排成一个空心方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，求这队学生共多少人？
17、有120朵花，排成一个三层的方阵花坛.这个花坛的最外层每边应排多少朵花？
18、同学们排一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外两层又是女同学.已知方阵中男同学108人，女同学有多少人
19、公园原计划栽种一个实心方阵，每边24棵.现要留出中间的地方修一个小亭.如果再增加24棵，想种成5层的空心方阵，最内层种多少棵?
20、刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵.那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
21、观察右边各图的规律，则第100个图中，小黑圆点共有多少个？
22、如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成.现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花.请问：整个绿地一共要种多少朵花
23、如图，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米.现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？
24、在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似.从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学.已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人
25、昊昊用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去28个棋子，使得图形变成一个三层的空心方阵.开始时昊昊可能摆了多少个棋子？
26、阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等.已知方阵最外面一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生……如此下去直到最里面.如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学生多少人？。