基本不等式的性质以及初步应用

如 果 a , b R , 那 么 ab
4 .如 果 ab 0 , 那 么 b a
2
a b
2
2
, ab (
ab 2
)
2
2
a b
2
2(当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2
5 .结 论
2(a b ) (a b )
二、讲解范例：
例1.已知x、y都是正数，求证：
基本不等式的应用
一、复习引入：
1.重要不等式：
如 果 a , b R , 那 么 a b 2 ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2 2
2.定理：
如 果 a , b R ,那 么
+
ab 2

ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 ).
3.公式的等价变形：
· 2
2 b c· a c
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
xy f ( d ) 是 减 函 数
例.
x 0, y 0 (1) 如 果 x y 1 0, 那 么 xy _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x (2 ) 如 果 xy 1 0, 那 么 x y _ __2_ _10_ _ f ( d ) 是 增 函 数 _ _ _ _ y
A
B G D A F
2.

B
C E C N
3.
D
M
A
B
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y x 那么： y x y 4 a
2 2
(2)所以面积 S
4a x y
1 2
xy
2 2
x y
2
xy
2
xy
xy 2 2
1
0
∵ x0，∴ x+1>0，
y ( x 1) 1 x 1
1 21 1
由x+1=
1 x 1
得x=0
1 x 1
∴当x=0时y= x
(x0)有最小值，最小值是y=1
例4.求函数 y
2

6 x 1
2
x 4
2
的最大值
2
解： y
6 x 1 x 4
1 3
)的最大值．
2求函数 y
x x 1
2
( x 0)
的最大值
3．求函数 y 2 x 25 x 2 (0 x 5) 的最大值
例3. 求函数y= x 解：y x
1
1 x 1
(x>0)的最小值，并求相应的x的值
1 x 1 1
x 1
x 1
( x 1)
(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y 那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
x y 2 a 2
2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2. 基本步骤：
(1)设某线段长为x (求出其它线段长) (2)建立目标函数w=f(x) (用基本不等式求出最值) (1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0) (2)建立函数w=g(x,y)
S 2 , xy
1 4
S
2
上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 S 2
4
1
结论:利用均值定理求最值
(1)两个正数的和为定值，其积有最大值. (2)两个正数的积为定值，其和有最小值. 但应注意三个方面： 一正，二定，三相等 ⅰ)函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值
1 4 S .
2
证明：因为x,y都是正数，所以
(1)积xy为定值P时，有
x y 2
x y 2 P

xy
x y 2 P
上式当 x=y 时，取“=”号， 因此，当 x=y时，和 x+y有最小值 2 P (2)和x+y为定值S时，有 xy
2 2 2
2
例2.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值 解：∵x2+y22xy，
∴2(x2+y2)(x+y)2
x y
2 2
( x y) 2
2
∵x+y=2，
∴x2+y22
即x2+y2的最小值为2
当且仅当x=y=1时取得最小值
练习
1．求函数y=(13x)x (0<x<
ⅲ)等号成立条件必须存在.
1 求 函 数 y= x + （ x < 0 ） 的 最 值 x
变 式 ： 求 函 数 y= x +
1 x 1 x
1 x
的最值
转化： = + y
x +
2 ， 故 y 2 或 y -2
已 知 x >0， y>0， 且
1 x
+
2 y 1 x
= 1 ， 求 x y的 最 小 值 ，
25
一正；二定； 三相等.
最值定理： (1)和定 - -积最大. (2)积定 - -和最小.
你还有什么 例5.有一根长4a的铁丝,如果围成一个矩形; 不同的方法吗？
求:围成图形面积最大值： 解:(1)设矩形的长为x, (2)面积S=x(2a-x) 那么宽为2a-x
2
x 2a x 2 a 2
设1个？还是设2个？为什么？
O
A
变式:(1)求 O A O B 的最小值;
(2)求 A M B 的最小值. M
B
y
例7.
A
x
O
P
已知点A(0,4),B(0,6),P在x轴正方向上 求：使∠APB最大的点P的坐标.
(用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
1.
E
H F D
G
长方体，体积是4800m3, 高为3m.
C
常用方法：
(1)设MN=x (2)设AB=x,CD=y 两个矩形(如图所示) (3)设∠ABC=x AB=5,AD=3 矩形ABCD中(如图所示) AB=10,AD=6,M为CD的中点， MN∥AD.

2 a
2

S 4 (3 2 2 ) a
2(2 2 )a (3)当x=y=_______时，面积最大= 4(3 2
2)a
2
例6.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴 的正方向分别交于A,B,O为原点. 求：△ OAB面积的最小值.
y B
如何设未知数？
M (3, 2 )
x
变 式 ： 已 知 x >0， y>0， 且
+
2 y
= 1 ， 求 x + y的 最 大 值 ，
已 知 ： a + b 1, x y 1, 求 ax + b y 的 最 大 值
2 2 2
2
变 式 ： 已 知 a + b 1, x y 2, 求 ax + b y 的 最 大 值
随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：
ab 2

ab
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 b ＋ c≥2 b c
＞
ab
>0 =8abc
c＋a≥2 a c ＞0
ab
0 ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2
xy
3 3
>0
x2＋y2≥2
x y
2
2
>0
x3＋y3≥2
x y
>0（当且仅当x=y时，式中取等号）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy · x 2 y 2 · x 3 y 3 2 2 ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
2

6 x 1 ( x 1) 3
2

2
6 x 1 3 x 1
2
∵
x 1
2
3 x 1
2
2 3
y
6 2 3

3
3 x 1
2
当且仅当 x 1
2
即x 2, x 2
2
时取得最大值
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2