7.1不等式及其基本性质(1)
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不等式及其基本性质安徽省合肥润安公学 韩卫华一、教学目标１．通过实际问题中数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系存在，不等关系是其中的一种。
２．了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系。
３．掌握不等式的基本性质１和２，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形。
４．培养学生从实际生活实例中抽象出数学问题的能力，进一步培养学生观察、思考、探究、交流、比较、概括、归纳的能力，引导学生运用数学思想方法探求新知，感受数学知识间的内在联系。
５．从学生的生活实际问题出发，让学生感受数学就在我们的身边。
通过观察、思考、探究、交流的学习过程，让学生体验数学发现的乐趣。
二、重点难点１．教学重点：不等式的概念和不等式的基本性质。
２．教学难点：正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。
三、教材分析事物之间的数量关系有两种：相等关系和不等关系。
以前通过一次方程（组）对相等关系进行了探讨，从本节开始将研究不等关系。
教材从生活实际出发，让学生通过观察、思考、探究等活动，了解到现实世界中除了相等现象外，还存在着许多的不等关系，要想合理地解释这些现象，就需要对不等关系进行讨论，而不等式的概念和不等式的基本性质又是研究一元一次不等式（组）的前提和基础。
由于学生已经掌握了研究相等关系的方法，教材在研究不等式的基本性质时，通过与等式的基本性质类比的方式，利用知识的正向迁移，引导学生归纳不等式的基本性质。
其中，分析实际问题中的不等关系并用不等式表示是学生认知理解上的难点，教学中采取学生讨论交流、教师分析的师生互动形四、教学过程（一）创设情景，导入新课１．投影：显示跷跷板、倾斜天平图片后，提问：跷跷板两端的人或天平左右两边的砝码质量相等吗？你能分别比较它们质量的大小吗？【设计意图】通过学生熟知的实例，让学生发现数学，使学生感受到在现实生活中的数量关系除了相等之外，还存在大量的不等关系。
不等关系广泛应用在日常生活实际当中，教师再举出如下两个实际问题。
7.1不等式及其基本性质教案+学案
7.1不等式及其基本性质(1)一、教学目标：1.通过实际问题中数量关系的分析,体会到现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系是其中的一种。
2.了解不等式及其概念;会用不等式表示数量之间的不等关系。
二、教学重、难点：1.本节课的重点是不等式的概念。
2.本节课的难点是正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。
三、教具准备:多媒体课件四、学情分析：对于等量关系是学生比较熟悉的,会用等式(方程)进行.表达不等关系虽然大量存在,但用数学方法表达学生还比较陌生.需要引导学生通过对实际问题的认真观察,仔细分析,抓住反映不等关系的关键词语(如多于、少于、不高于、不低于、最多、最少等)，结合已有的数的大小比较、方程等知识，用不等式正确反映实际问题中的不等关系。
五、教学过程：1.回顾与提问:什么是等式？你能举个表示等式关系的例子吗？等式用什么符号连接？2.情境引入：[问题1]用适当的符号表示下列关系：（1）2x与3的和不大于-6；（2）x 的5倍与1的差小于x 的3倍；（3）a与b的差是负数。
[问题2]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。
设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？[问题3]一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25g，分3次服用”。
设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足怎样的关系？通过两个实际问题：太阳表面温度和药品问题让学生体会到实际生活中广泛存在的不等关系。
3.新课讲解:（1）不等式的定义：用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式注意：不大于，即小于或等于，用“≤”表示（“≤” 也可以说成“至多”“不多于”；不小于，即大于或等于，用“≥”表示(“≥”也可以说成“至少”“不少于”）。
（2）知识巩固:判断下列式子是不是不等式：（1）3>0；（2）4x+3y=0；（3）x=3；（4） x-1；（5）x+2 ≤3；（6）a≠54.深化提高例1：列不等式(1)x的5倍与y的一半的差不大于1(2)x的4倍不大于x的3倍与7的差(3)代数式2y-3的值至少比y-2大3例2：爆破施工时导火索的燃烧速度是0.06米/秒，人离开的速度是4.8米/秒。
(沪教版七年级)7.1不等式及其基本性质
x <- — .
3
2
随堂练习
1、将下列不等式化成“ x > a” 或“x < a”的形式：
（1）x – 1 > 2 ; (2) -x ﹤ 5 ；（3）1 x 3
6
2
解:（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，
得 x > 2 + 1 ，即 x > 3 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -1，得
cc
不等式的基本性质 3 ：
不等式的两边都பைடு நூலகம்以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变.
即a ： b ， 若 ac 则 bc, abc0
cc
在上一节课中，我们猜想，无论绳长l取何值，
圆的面积总大于正方形的面积，即
l2 l2
4 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质
解释这一结论吗？
4 16
(1)如果在不等式8>0的两边都乘以―8可得到
-64 < 0
(2)如果-3x>9，那么两边都除以―3可得到
x < -3
(3)设m>n,用“>”或“<”填空：
m-5 > n-5（根据不等式的性质 1 ） -6m < -6n（根据不等式的性质 3 ）
我是最棒的☞
• 例１ 利用不等式的性质 解下列不等式用数轴表示 解集．
• (1) x-７＞26
0
33
解：根据不等式性质1，得
X-7+7>26+7
X>33
(2) -4x﹥3
解：根据不等式性质3，得
4x 3 4 4
3
X<― 4
7.1 不等式的基本性质、基本不等式
7.1 不等式的基本性质、基本不等式【考纲要求】1.掌握不等式的性质及应用，明确各性质中结论成立的前提条件，2.了解基本不等式的证明过程，能够利用基本不等式求函数的最值，3.用不等式的性质判断不等式是否成立，比较大小，利用基本不等式求函数的最值、限值范围，利用基本不等式解决实际问题【命题规律】对于不等式性质的考查，多以填空题为主，题目比较简单，而基本不等式是高考的重点主要考查命题的判定，不等式的证明及求最值等问题，尤其是应用基本不等式求最值的问题，更是高考的重点，此类问题常与实际问题相结合，以解答题形式出现，另处，不等式的证明经常与数列、函数等知识综合考查，难度一般较大。
【考点梳理】 一.不等式的性质1.实数比较大小的方法 （1）求差比较法：0ab a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<.（2）作商比较法：若,0a b >，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1aa b b=⇔=.2.不等式的性质（1）对称性：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
（2）传递性：若a b >，且b c >，则a c >；a b b c a c <<<且，则。
（3）加法法则：若ab >，则ac b c +>+.（不等式的两边都加上同一个实数，不等式方向不变）推论1:移项法则：若a b c +>,则a c b >-.（不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边） 推论2:同向可加性：若a b c d >>且，则a c b d +>+说明：①推广:任意有限个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;②同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式. （4）乘法法则：若b a>且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <.推论1：同向可乘性：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >.推论2：乘方法则：如果0>>b a ， 那么nn b a > )1(>∈n N n 且. 推论3：开方法则：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且.说明：①不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；②两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；③推论1可以推广：两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
§7.1 不等式的概念及性质、一元二次不等式
b m
b <⑦ a m ; b > b m (b-m>0);
a
a am
a m
a > a m ; a <⑧ b m (b-m>0).
b bm b
4
考向突破
考向 利用不等式性质比较大小
例1 (2017山东烟台模拟,9)若a,b为非零实数,且a<b,则下列判断正确的
是 ( )
解析 原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,x≤-1.
②当a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
当a>0时,x≥ 2 或x≤-1.
a
当a<0时,由于 2 -(-1)= a 2 ,
a
a
于是,当-2<a<0时, 2 ≤x≤-1;
a
当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤ 2 .
ab2 a2b
ab
答案 C
5
考点二 一元二次不等式
考向基础 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
6
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不 等式的性质,将二次项系数转化为正数,再对照上表求解. 2.含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项含有参数,则应先讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后 整理不等式. (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式Δ与0的关系,判断相应一元二次 方程的根的个数. (3)确定无根时直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两根的大 小关系,从而确定解集的形式.
a
9
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为
7.1+不等式及其基本性质++同步练习++2023—2024+学年沪科版七年级数学下册+
7.1 不等式及其基本性质一、单选题 1．若x y +□5是不等式，则符号“□”不能是( )A ．-B ．≠C ．>D ．≤2．下列结论中正确的有( )①若a b >，且c d =，则ac bd >①若0a b ->，0c ≠，则ac bc >①若0ab <，则,a b 异号 ①若22ac bc >，则a b >A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．a −1<b −1B ．2a <2bC ．−a 3>−b3 D ．a 2<b 24. 2 月 1 日某市最高气温是 8∘C ，最低气温是 −2∘C ，则当天该市气温 t (∘C ) 的变化范围为 ( ) A ． t >8 B ． t <2 C ． −2<t <8 D ． −2≤t ≤8 5．下列四个数轴上的点A 表示的数都是a ，其中一定满足2a ->的是（ ）A ．（1）（3）B ．（2）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4）6. 不等式−2x +1≤4的最小整数解是( )A. 1B. 2C. −1D. −27．若a >b ，则下列不等式中，错误的是（ ）A ．3a >3bB ．−a 3<−b3 C ．4a −3>4b −3 D ．ac 2>bc 28．满足m >|√10−1|的整数m 的值可能是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题1．用不等式表示x 减去y 大于2-： ．2．若x >y ，且(a +3)x <(a +3)y ，求a 的取值范围______．3．已知(|x +1|+|x +3|)+(|y −2|+|y +3|)=20，则x +y 的最大值与最小值的差为__________．4．用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________．5．若a >0 > b >c ，a +b +c =−1，M =b+c a ，N =a+c b ，P =a+b c ，则M 、N 、P 之间的大小关系是________．三、解答题 1．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．(1)x y +；(2)37x >；(3)523x =+；(4)20x >；(5)231x y -=；(6)52；(7)23<．2．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a ﹣b ＞0，则a ＞b ；若a ﹣b ＝0，则a ＝b ；若a ﹣b ＜0，则a ＜b ，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．(1)试比较代数式5m 2﹣4m +2与4m 2﹣4m ﹣7的值之间的大小关系；(2)已知A ＝5m 2﹣4（74m ﹣12），B ＝7（m 2﹣m ）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A 与B 的大小．(3)比较3a +2b 与2a +3b 的大小．3．已知y =ax 2+bx +2，当x =1时，y =4；当x =-2 时，y =-8．（1）求a 、b 的值．（2）若p =m(1−m)−6，当x=m 时，y=n ，且m ＜-4，试比较n 与p 的大小，请说明理由． 4已知关于x 的不等式(1−x )x >2两边都除以1−x ，得x <21−x ，试化简：|x −1|+|x +2|． 5根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x >x ”或“x <x ”的形式．(1)5x −1<−6;(2)−12x >−1;(3)3x +5>4−x ．。
沪科版数学七年级下册7.1《不等式及其基本性质》教学设计
沪科版数学七年级下册7.1《不等式及其基本性质》教学设计一. 教材分析《不等式及其基本性质》是沪科版数学七年级下册第七章的第一节内容。
本节主要介绍不等式的概念、不等式的性质以及不等式的运算。
教材通过生活实例引入不等式的概念，让学生感受不等式在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
同时，通过探究不等式的性质，使学生掌握不等式的基本运算方法，为学生后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整数、实数的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。
但他们对不等式的认识尚浅，对不等式的性质和运算方法较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，循序渐进地引导学生掌握不等式的基本概念和性质，培养学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2.学会不等式的基本运算方法，能运用不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用意识。
四. 教学重难点1.不等式的概念及其性质。
2.不等式的基本运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入不等式概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生探究不等式的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，掌握不等式的基本运算方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的概念、性质和运算方法。
2.练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。
3.教学道具：准备一些实物道具，辅助讲解不等式的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如身高、体重等，引导学生认识不等式。
让学生体会不等式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的含义。
通过示例，让学生了解不等式的基本性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，探究不等式的性质。
每组选择一个实例，进行操作验证，总结不等式的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生运用所学知识解决问题。
7.1不等式及其基本性质(第1课时)沪科版七年级数学下册优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置具有针对性的课后作业，让学生巩固所学知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2.要求学生认真完成作业，并进行批改和反馈，及时了解学生的学习情况，为下一步教学做好准备。
3.鼓励学生进行作业总结，让他们在总结中提高自己的学习方法和策略。
7.1不等式及其基本性质（第1课时）沪科版七年级数学下册优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是沪科版七年级数学下册的“7.1不等式及其基本性质（第1课时）”。不等式是初中数学中的重要概念，也是学生容易混淆的知识点。在实际教学中，我发现很多学生在理解不等式时存在困难，主要是因为他们没有真正掌握不等式的基本性质。因此，我制定了本节优秀教学案例，旨在通过生动的教学方式和实用的教学内容，帮助学生深入理解不等式的基本性质，提高他们的数学素养。
2.引导学生运用不等式的基本性质，共同解决小组内的数学问题，提高他们的团队协作能力。
3.选取小组的优秀解题方法进行全班分享，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）总结归纳
1.让学生自主总结不等式的基本性质和解题方法，培养他们的自主学习能力和总结归纳能力。
2.教师对学生的学习情况进行评价，关注他们的学习进步和个体差异，给予及时的反馈和指导。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过生活实例引入不等式概念，使学生能够直观地感受到不等式在实际生活中的应用，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向：教师引导学生提出问题，激发学生的思考，使学生在解决问题的过程中深入理解不等式的基本性质，提高了学生的思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作，培养了学生的团队协作能力和自主学习能力，使学生在交流和讨论中更好地理解和掌握不等式的基本性质。
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课题：第7章一元一次不等式与不等式组
7.1 不等式及其基本性质
主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年2月日
年级班姓名：
学习目标：
1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种；
2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系；
3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形；学习重点：
不等式的概念和不等式的性质
学习难点：
不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。
一、学前准备
（一）自学提纲
1.认真看书24-26页内容
2.举出生活中一个不等量关系的例子。
3.填空:
（1）不等式：；（2）不等式的基本性质：
①
②
③
④
⑤
（二）自学检测
1.用不等式表示下列关系
①亮亮的年龄（记为x）不到14岁。
_________ ____
②七年级（1）班的男生数（记为y）不超过30人。
_______
③某饮料中果汁的含量（记为x）不低于20％.________
2.试一试选择适当的不等号填空：
(1) 2____3 (2) - 2 ____-3 （3）2a
____ 0
(4) a2+b2 ____ 0 (5) 若x≠y,则 -x____-y
二、探究活动
（一）探究性质1
1．明确定义
2.不等式的意义：表示生活中量与量之间不等关系的式子。
例题：1.“神七”速度v超过11200米/秒,才能脱离地球引力,飞入太空,怎样表示v和11200之间的关系?
3.想一想：（1）如果a＜b，用不等号连接下列各式的两边.
① a + 2 b + 2 ② a – 5 b – 5
（2）如果2x-8≥3 ,那么2x 11.
4.小结：不等式性质1：
即
（二）探究性质2和性质3
1.用不等号填空：
①已知5＜8，则5×3 8×3；5×（-3） 8×（-3）
②已知 -5＞-8，则-5×3 -8×3；-5×（-3） -8×（-3）
归纳：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向；
不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向。
2.用不等号填空：
①已知6＜8，那么6÷2 8÷2；6÷(-2) 8÷(-2)
②已知-6＞-8，那么-6÷2 -8÷2；6÷(-2) -8÷(-2)
归纳：不等式两边同时除以一个正数，不等号方向 ；
不等式两边同时除以一个负数，不等号方向 。
3.归纳不等式性质
性质2：
性质3
（三）例题分析
例1.（1）若x+1＞3，则x_____________.根据___________ __.
（2）2x ＞－6， 则x_____________.根据_______ _____.
（3）-3y ≤5，则y .根据 。
例2.如果m > n 。
判断下列不等式是否正确
（1）m+7 < n+7 （ ） （2）m －2 < n －2 （ ）
（3）3m < 3n （ ） （4）99n
m
> （ ）
例3.利用不等式的基本性质，将下列各不等式化为“x a >”或“x a <”的形式.
（1）546x x <- （2）5621x x -+<+
（四）课堂练习
1. 用代数式表示：比x 的5倍大1的数不小于x 的
21与4的差_____________. 2.若a>b.下列各不等式中正确的是（ ） A.a-1<b-1 B.b a 81
81
-<- C.8a<8b D.-a+1<-b-1
3.下列四个命题中，正确的有 。
①若a>b,则a+1>b+1 ② 若a>b,则a-1>b-1
③若a>b,则-2a<-2b ④ 若a>b,则2a<2b
三、自我测试
1.如果a ＜b ，用不等号连接下列各式的两边。
（1）4a___4b （2）a-10___b-10 （3） a 31 ___ b 31
（4）-2a -2b 2.若2x ->，则下列各式错误的是( )
A 、2x >-
B 、2x <-
C 、13x -+>
D 、24x ->
3. 利用不等式的基本性质，将下列各不等式化为“x a >”或“x a <”的形式.
（1）x-1<3 （2）53
<x （3）-4x>3
四、应用与拓展
1.已知32y -<<，化简：|2||3||39||24|y y y y -++-+--。