高中数学 欧拉公式与闭曲面的分类 曲面三角剖分 主讲老师张涛
国家高中数学课程标准正在研究的15个课题
国家高中数学课程标准正在研究的15个课题编者按：国家高中数学课程标准正在制订。
一个以“课程标准”为主题的高级研讨班己在南京举行。
为了集思广益，我们征得有关方面同意，将正在研究的15个课题内容在此发表，供关心中国未来课程发展的同志参考。
1、高中数学的选择性高中数学课程是否要有选择性，意见差异很大。
一种意见是应当文理兼通，数学不分文理。
前几年高考数学文理分卷的做法被认为不合适，某些地方己决定文理全卷。
另一种意见则相反，高中阶段应当有更大的选择空间。
一部分喜欢数学的学生，应该学得比现在课程中的数学多得多，而另一部分需要数学相对少的专业，则不必学得那么多（例如某些艺术类、高等职业类）。
文科类、一般理工类、数理科学类的学生，所要求的数学不应该是一样的。
从国际比较来看，绝大多数国家的高中数学都设置了多种选修系列。
日本高中实行学分制。
学生毕业的数学学分，从3学分到18不等，差异很大。
2、信息技术在高中课程中的位置及其作用众所周知，中国要想在科学技术领域与当今世界发达国家一较高下，必须充分发展信息技术。
这使得信息技术进入整个高中数学课程己是必然。
如何依据国家的相关需求与发展趋势，明确信息技术在未来高中数学课程中的地位与作用，将是该课题研究的主要任务。
具体内容凶手：从学生数学学习的角度不看，信息技术的意义究竟是什么；哪些信息技术可以（必须）进入高中数学课堂；科学计算器、图形计算器和CBL、计算机、网络？由于相关信息技术的介入，函数、几何、微积分、数据处理等内容将做相应的调整，有哪些需要调整、如何调整？更进一步，信息技术的介入，特别是一网以后将对学生学数学和教师教数学的方式产生什么样的影响？3、算法内容的设计与安排算法，是古代中国数学的一大特色，也是现代数学发展的一个重要方向随着计算机技术的迅猛发展，诸如排序算法、图论中的算法、无限的迭代算法等等，己为当代数学教育所密切关注。
遗憾的是，中国数学教育对此尚缺乏应有的重视。
欧拉公式和球
花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
(完整word版)球面三角形的面积与欧拉公式
§6 球面三角形的面积与欧拉公式问题提出1.如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别？2.如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？3.如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？6.1球面二角形与三角形的面积我们知道，若球面半径为R ，则球面面积为24S R π=，现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。
如图所示，大圆半周PAP '和PBP '所围成的阴影部分就是一个球面二角形。
显然P 和P '是对径点，大圆半周'PAP 和'PBP 称为球面二角形的边。
球面角P P '∠=∠称为球面二角形的夹角。
如果大圆弧AB 以P 和P '为极点，AB 所对的球心角为α，则P P '∠=∠=α。
例1 计算地球上一个时区所占有的面积。
解 如图所示，设O 为地心，N 、S 为北极点和南极点，A 、B 为赤道上两点，且15AOB ∠=，地球半径为R=6400km ，根据地理知识，地球共分为24个时区，一个时区跨越地球表面15，所以由经线NAS 与经线NBS 围成的二角形就是一个时区，它所占面积为地球表面积的15136024=， 即 22241640021446605.85246R km ππ=⨯⨯≈ 如何计算一般球面二角形的面积？1． 二角形的夹角α，就是平面PA P '与PB P '所夹的二面角的平面角；2． 这个二角形可以看成半个大圆PAP '绕直径P P '旋转α角所生成；3． 球面二角形的面积与其夹角成比例。
设这个二角形得面积为U ，则42U αππ=即 2U α=抽象概括：球面上，夹角为α的二角形的面积为2U α=。
如何计算球面三角形的面积？设()S ABC 表示球面三角形ABC 的面积，1． 对球面三角形ABC ，分别画出三条边所在的大圆。
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
欧拉公式与闭曲面的分类[1]
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边缘曲面
环柄 圆盘是个有边缘的曲面，开了若干个圆空的曲面也是边缘曲面，如 果在环面上开一个空，则就得到一个有边缘的曲面，叫做环柄。
麦比乌斯带
麦比乌斯带
（是一个有边缘的曲面）
麦比乌斯带
麦比乌斯带
麦比乌斯带上存在着这样的闭道路（闭路），曲面的法向 量沿这道路变动能达到与原来位置方向相反的位置。
麦比乌斯带
带k个麦比乌斯带的曲面系列
现在我们可以写出关于曲面分类的麦比乌 斯—约当定理的后一半，那就是列举不可定向 的闭曲面的所有拓扑不同的类型。我们用Np 表示从球面开q个孔且全部用麦比乌斯带封起 来而得到的曲面。可以证明，曲面 N1, N2 , ……Nq , …… 给出不可定向的闭曲面的完全的拓扑分类。
现在不难进行所需要的粘合图（e）。我们看到，沿线割开麦比乌斯带给出同胚 于平环的图形。在图（e）上用相同字母表示的点处在对径点的位置。相反的粘合 重新把平环变成麦比乌斯带。因此，如果把平环的一个圆周上的每两个对径点都粘 合起来，则就得到麦比乌斯带。
现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周 线。环绕空l从曲面割下狭长条（平 环），且用l’表示这平环的外部周线 （如左图）于是得到一个同胚于Q平 面（只不过有稍大的孔l’）和单独的 平环。现在在割下的平环的周线l上把 每两个对径点都粘起来：那么平环就 变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯 带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q （确切地说是也它同胚的曲面）上粘 了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割 开曲面并反过来把割开的地方粘起来 等于什么也没有做，因而简单地说是 在周线l上把每两个对径点都粘起来。 总之，在圆孔的周线l上把每两个对径 点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦 比乌斯带。
用麦比乌斯带封合一个孔还 可以换个说法。沿中位线把麦 比乌斯带割开。为此我们需要 先把矩形的侧边粘起来（为了 得到麦比乌斯带要扭转一下）， 然后沿mnp线割开图（a）。 但可以按相反的顺序来完成： 先沿mnp线把矩形割开图 （b），然后再把两侧线段粘 合（按箭头所指的方向）。为 了粘合，我们把矩形的下半部 翻转图（c），并把两半放在 图（d）那样的位置。
高中数学(人民教育出版社出版的图书)
必修五
数列 解三角形
不等式
（约8课时） （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量 问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（约12课时） （1）数列的概念和简单表示法 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 （2）等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念。 ②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 ④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
（约8课时） （1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率 的区别。 （2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。 （3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率。 （4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概 型的意义（参见例3）。 （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
必修四
平面向量
三角函数
三角恒等变换
（约16课时） （1）任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周 期性。 ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点 等）。 ④理解同角三角函数的基本关系式： ⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的 影响。
欧拉公式与闭曲面的分类[1]
麦比乌斯带的边缘同胚于圆周，所以可以把麦比乌斯带沿其边缘粘到从某个 曲面开出的孔的边缘上。在图（ a）上画着麦比乌斯带（扭转了的平环），而在 图（b ）上画的是开过孔的曲面Q的一部分。如果把曲面Q的内部的“螺旋桨页 片”“摊开”，则容易看出图（c）在它上面开了个同胚于圆盘的孔。因为画在 图（a）和（b）上的曲面有同样的边缘，所以可以把它们的边缘粘起来，即把 麦比乌斯带粘到在曲面Q上开出的圆孔上。当然，这时麦比乌斯带显然要与曲面 相交，但是我们认为，相交只是由于曲面在空间的“不利的”位置。
谢谢大家!
两个同胚曲面
映射f: A B说是同胚映射(或同胚),是指它既是一一对 应的,又是双方连续的,即不仅映射f连续,而且逆映射f-1也 连续.
三 曲面
在“三页册”中点 x,y,z邻近有不同结构， 点y邻域是半圆形，且y 在它的边界上，称点y在 图形的边缘，点z的邻域 由沿公共直径相连接的 三个半圆组成，这时称 图形在这地方分叉，点x 有圆盘形域，且点x在圆 盘内部，图形在这里没 有边缘也没有分叉。每 个点x都有同胚于圆盘的 邻域（点x在其内部）的 图形叫做曲面，曲面没 有边缘和分叉，球面和 环面都是曲面，也可以 讨论有边缘的曲面，他 们有边缘但没有分叉。
带k个麦比乌斯带的曲面系列
现在我们可以写出关于曲面分类的麦比乌 斯—约当定理的后一半，那就是列举不可定向 的闭曲面的所有拓扑不同的类型。我们用Np 表示从球面开q个孔且全部用麦比乌斯带封起 来而得到的曲面。可以证明，曲面 N1, N2 , ……Nq , …… 给出不可定向的闭曲面的完全的
曲面系列p0 , p1, p2……pk ……两两不同胚， 因为他们有不同的欧拉示性数，我们可以证明 任何可定向的闭曲面总同胚于曲面系列p0 , p1, p2……pk ……中的一个。
高中新课标ppt课件
• 建立与新课程相配套的评价机制，
改进校内评价，推行学生学业成 绩与成长记录相结合的综合评价 方式，探索建立课程实施质量的 监督和调控机制；
• 赋予学校合理而充分的课程自主
权，为学校创造性地实施国家课 程、因地制宜地开发学校课程和 学生有效选择课程提供保障。
3. 普通高中教育的定位和培养目标
普通高中教育是在九年 义务教育基础上进一步提高 国民素质、面向大众的基础 教育，普通高中教育应为学 生的终身发展奠定基础。
普通高中教育应全面落实 《国务院关于基础教育改革与 发展的决定》，全面实现《基 础教育课程改革纲要（试行）》 所确定的培养目标。
在高中阶段特别强调：
➢ 初步形成正确的世界观、人生观、 价值观；
➢ 热爱社会主义祖国，热爱中国共 产党，自觉维护国家尊严和利益， 继承中华民族的优秀传统，弘扬 民族精神，有为民族振兴和社会 进步作贡献的强烈愿望；
1. 课程改革的指导思想
➢ 以“三个代表”重要思想和邓小平 同志关于教育“三个面向”的指示 为指导，贯彻落实《中共中央国务 院关于深化教育改革全面推进素质 教育的决定》和《国务院关于基础 教育改革与发展的决定》；
➢ 全面贯彻党的教育方针，全面实 施素质教育，大力推进教育创新， 构建具有中国特色、充满活力的 普通高中新课程体系，为造就数 以亿计的高素质劳动者、数以千 万计的专门人才和一大批拔尖创 新人才奠定基础。
（二）普通高中新课程的研制
组织了一千多名课程和学科专家认真 学习《中共中央国务院关于深化教育改 革全面推进素质教育的决定》和《国务 院关于基础教育改革发展的决定》以及 《基础教育课程改革纲要（试行）》。 采取集中与分散相结合，边研究、边论 证、边征求意见、边修改完善的工作方 式，在近两年的时间内，召开了十三次 大型工作会议，完成了高中新课程方案 和15个学科课程标准的送审稿。
欧拉公式和球(201912)
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
球的直径：
连接球面上的两点并
A
且经过球心的线段叫
做球的直径。如直径
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
O C
BA
α
D
性质2：球心到截面的距离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
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古怪离奇。 这些朋友有的交往时间长，完全是职务或客观情势所强加的，"因为一个人永远不可能认识自己，历史实际上是对历史的一次次涂改，记得我当初带着行李从山村到这个省会城市来念大学,失去了双脚，
普通高中新课程数学教学指导
普通高中新课程数学教学指导目录第一章高中数学新课程的设计思路——整体把握课程第一节高中数学新课程的结构框架高中数学课程由三部分组成。
第一部分是必修课程，由五个模块组成。
每个模块要学习36个课时，这是每个学生都要学习的内容。
第二部分是选修1、2系列课程，这部分内容可以选择。
对于希望在人文社科方面发展的学生，可以选择选修1系列课程，该系列有两个模块，72个课时；对于希望在理工等方面发展的学生，可以选择选修2系列课程，该系列有三个模块，108个课时。
第三部分是选修3、4系列课程。
这部分内容，学生可以根据自己的兴趣和需求选择，其功能将在后面介绍。
高中数学课程的整体结构如下框图所示。
1.2 高中数学课程的框图说明选择性是这次高中数学课程的重要变化，理解选择性是认识课程结构的基础。
必修课程必修系列课程由5个模块组成。
数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。
选修课程选修课程由选修1，选修2，选修3，选修4等四个系列课程组成。
◆选修1系列课程：由两个模块组成。
选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
◆选修2系列课程：由三个模块组成。
选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；选修2-3：计数原理、统计案例、概率。
◆选修3系列课程：由六个专题组成。
选修3-1：数学史选讲；选修3-2：信息安全与密码；选修3-3：球面上的几何；选修3-4：对称与群；选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；选修3-6：三等分角与数域扩充。
◆选修4系列课程：由十个专题组成。
选修4-1：几何证明选讲；选修4-2：矩阵与变换；选修4-3：数列与差分；选修4-4：坐标系与参数方程；选修4-5：不等式选讲；选修4-6：初等数论初步；选修4-7：优选法与试验设计初步；选修4-8：统筹法与图论初步；选修4-9：风险与决策；选修4-10：开关电路与布尔代数。
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曲面三角剖分
主讲教师：张涛
激趣进入
有一个中国地图的教具，把全国各省、直辖市、自治区等行 政区分成了一些小块，然后让学生凭记忆各省的形状拼出中 国地图，今天我们学习曲面的剖分。
什么是三角剖分
以曲面为例， 我们把曲面剖开成一块块碎片，要求满足下面 条件： （1）每块碎片都是曲边三角形； （2）曲面上任何两个这样的曲边三角形，要么不相交，要么 恰好相交于一条公共边（不能同时交两条或两条以上的边）
2 .面化或体化时是否要考虑到面内或体内空洞的问题？ 也就是是否考虑内部空白区的判断，如果要考虑的话， 内部空白区的边界点要跟问题1同等考虑。
欧拉示性数
• 假设曲面上有一个三角剖分， 我们把所有三角形的顶点总 个数记为p(公共顶点只看成一个，下同),边数记为l,三角形 的个数记为n,则e=p-l+n是曲面的拓扑不变量！ 也就是说不 管是什么剖分， e总是得到相同的数值。 e被称为称为欧拉 示性数
欧拉示性数
• 假设g是曲面上洞眼的个数（比如球面没有洞，故g=0;又如 环面有一个洞，故g=1），那么e=2-2g。
g也是拓扑不变量，称为曲面的亏格(genus)。 因此在平面上，e=2=p-l&#是球面S上的任意一个三角剖分，则 V-E+F=2。 即球面上的欧拉公式为： V-E+F=2 。
欧拉示性数练习
亏格(g) 0
示性数(χ) 关系
2
2=2-2*0
图例
1
0
0=2-2*1
2
-2
-2=2-2*2
g
2-2g
2-2g=2-2*g
课堂小结
1.了解三角剖分的定义 2.会计算常见曲面欧拉示性数计算。
内容
描述
知识点名称 曲面三角剖分
课程内容
(1).理解曲面三角剖分的概念。 (2).会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数.
教学设计
激趣导入：由中国行政地图教具引入新课。
知识新授：通过曲面三角剖分，了解剖分的原则，要解决的问题。 练习巩固：练习计算常见曲面的欧拉示性数。
课堂小结：三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导 学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程，使 学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分思想方法。
两个原则：
1.产生的三角形不相重叠。（如果重叠，那么其中的一个三 角形岂不是多余了）
2. 不产生新的顶点。（如果产生新的顶点了，那么这个顶点 的值我们可以确认它符合于原始模型吗？），不过这条原则 很难完全保证不产生。
两个问题要解决：
• 1 .面化或体化时是否要考虑到边界的问题？也就是是否考 虑边界离散点的凹凸判断，如果要考虑的话，所有边界点 依次相连就行，如果不用考虑的话，所有凸点边界点依次 相连就行。一般来说是要考虑的。