概率统计 6-2.2

20 2
定理6.3 统计量 T =
X −µ ÷ σ n
X −µ S n
~ t(n −1 )
其实
X −µ (n −1 S 2 ) = S σ2 (n −1 ) n
P178 例6.9
, 例6 设总体 X ~ N(0,1) , X1,L X6 为总体 X的样本,
Y = ( X1 + X2 + X3 ) + ( X4 + X5 + X6 ) 试确定常数 c , 使 cY 服从
1 n ( Xi − X )2 则样本方差 S = ∑ n +1 i=1
2
)，
S 2 与 X 相互独立
Xi − X 则 = ∑ n −1) ~χ ( 2 σ σ i=1 2 χ2 分布的性质,有 D[(n −1)S ] = 2(n −1) 由 2
(n−1)S
2
n
2
2
例2 从正态总体 X ~ N(µ,σ ) 中，抽取了n = 20的样本 ( X1, X2 ,L, X20 )
正态总体样本的线性函数的分布 正态总体样本的线性函数的分布 定理6.1 设总体 X ~ N(µ , σ 2 ),样本为(
n i=1
)，
n n nLeabharlann i =1则统计量 U = ∑ai Xi 的分布仍为正态分布，且 E(U) = µ∑ai
D(U) = σ 2 ∑ai2
i=1 n
即
U = ∑ai Xi ~ N(µ∑ai ,σ 2 ∑ai2 )
因此
~ χ2 (2)
c =1/3.
作业 P. 180 习题六 11 15
ch6-49
2 2
ch6-48
χ 2分布.
解
X1 + X2 + X3 ~ N(0,3) ,
2
X4 + X5 + X6 ~ N(0,3)
2
1 ( X1 + X2 + X3 ) , 1 ( X4 + X5 + X6 ) ~ N(0,1) 3 3
1 ( X + X + X ) + 1 ( X + X + X ) = 1Y 故 2 3 5 6 3 1 3 4 3
2
查表 2 2 1 20 1 20 = P 2 ∑( Xi − X ) ≥ 7.4 − P 2 ∑( Xi − X ) ≥ 35.2 = 0.99 − 0.01= 0.98 σ i=1 σ i=1
X −µ 2 Xi − µ (2) ∴ ∑ i ~ χ (20) Q ~ N(0,1 ) σ 1 i= σ 2 20 1 20 2 Xi − µ 2 2 故 P0.37σ ≤ ∑( Xi − µ) ≤1.76σ = P 7.4 ≤ ∑ ≤ 35.2 20 i=1 σ i= 1 20 Xi − µ 2 20 Xi − µ 2 ∑ − P∑ = P ≥ 7.4 ≥ 35.2 = 0.995 − 0.025 = 0.97 i=1 σ i=1 σ
n
例1设 X ~ N(72 ,100) ,为使样本均值大于70的概率不小于90%,则样 本容量至少取多少? 100 X ~ N(72, ) 解 设样本容量为 n , 则
即 n ≥ 41.6025所以取 n = 42
正态总体样本方差 正态总体样本方差 S2 的分布 定理6.2 设总体 X ~ N(µ , σ 2 ),样本为(
2
σ
2 4 D(S ) = σ n −1
2
1 20 2 2 P0.37 σ ≤ ∑( Xi − X ) ≤1.76σ 2 (1) 求 20 i=1
(2) 求 P0.37 2 ≤ 1 σ
20 i=1 (n −1)S2 解 (1) ~ χ 2 (n −1) 2
( Xi − µ)2 ≤1.76σ 2 ∑
20

σ 2 i=1 i 20 0.37σ 2 ≤ 1 20 ( X − X )2 ≤1.76 2 = P7.4 ≤ 1 ( Xi − X )2 ≤ 35.2 P σ 故 ∑ i 2∑ 20 i=1 σ i=1
σ
即
19S2
σ2
=
1
∑(X
2 0
− X ) ~ χ2 ( ) 19
i=1 n
i=1 i=1
n
1 特别地， 特别地，对样本均值 X = ∑Xi 有 n i=1 2
X ~ N(µ,
σ
n
)
⇒
X −µ
σ
~ N(0, ) 1
n
70 − 72 故 P(X > 70) =1− P(X ≤ 70) =1− Φ =Φ(0.2 n) 10 n 令 Φ(0.2 n) ≥ 0.9得 0.2 n ≥1.29