概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（2×2）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布X～B(1，p)E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)二项分布X～B(n，p)E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)X～H(N，M，n)E(X)＝nMND(X)＝nMN⎝⎛⎭⎫1－MNN－nN－1n次独立重复试验恰好发生k次的概率为P n(k)＝C knp k(1－p)n－k超几何分布若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋bD(Y)＝a2D(X)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(⎺A)＝1－P(A)P(A B)＝P(A)·P(B)P(B | A)＝P(A B)P(A)第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。

对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ.()P A =AμμΩ。

五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ 。

2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。

()()1P A p A =- 。

3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示 题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算()A P A =包含基本事件数基本事件总数。

例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ，()()()1,2,1,3,1,4，()()()()2,1,2,2,2,3,2,4，()()()()3,1,3,2,3,3,3,4，()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。

（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得()(),12,10m m n ⋅--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。

故事件A 包含的基本事件有()2,1和()3,4，共2个，由古典概型概率计算公式得()21168P A == 。

评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时，必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。

变式1 电子钟一天显示的时间从00：00~23：59，每一时间都由4个数字组成，则一天中任取一时刻显示的4个数字之和为23的概率为（ ） A.1180 B. 1288 C.1360 D.1480变式2 连抛两次骰子的点数分别为,m n ，记向量(),a m n =，向量()1,1b =- ，a 与b 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ）A. 512B. 12C.712D. 56例13.2 （2012重庆理15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为____________（用数字作答）。

解析： 6节课随机安排，共有66720A =种不同的方法。

课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，有以下三种情况：①三门文化课间有2节艺术课：有32133272A A A =种方法； ②三门文化课间有1节艺术课：有31133323216A C A A =种方法；③三门文化课间有0节艺术课：有3434144A A =种方法。

共有72+216+144=432种符合题意的安排方法，故所求概率为4323=7205P =。

变式1 （2012上海理11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______________（结果用最简分数表示）。

变式2 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） A.136 B. 19 C. 536D. 16变式3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的3名火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A. 151 B. 168 C. 1306 D. 1408题型177 几何概型的计算思路提示首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A 包含区域数值 ，最后计算(A)A P =事件区域数值（长度、面积、体积或时间）基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间），解几何概型问题的关键是画图、求面积。

例13.3 （2012辽宁理10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别为线段AC,CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 23 D. 45解析： 设AC x =，则12CB x =-，且012x << ，所以()12x x -表示矩形的面积，令()1232x x -≤，解得：4x <或8x >，如图13-1所示，故所示的概率为442123P +== .故选C . 变式1 []22,log A t =，{}214240B x x x =-+≤ ，,x t R ∈ ，A B ⊆.（1）定义区间[],a b 的长度为b a -，A 的长度为3，则t =_________.（2）某函数()f x 的值域为B ，且()f x A ∈ 的概率不小于0.6，则t 的取值范围为_______. 例13.4 （2012福建理6）如图13-2所示，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B. 15 C. 16 D. 17解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数,y x y x ==围成的几何图形的面积，利用定积分可知： 1100=S xdx xdx -=⎰⎰阴影 3211200211326x x -= ，又OABC =1S 正方形，所以由几何概型知，所求的概率为16P = .故选C .评注：利用线性规划和积分知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法.变式1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_____________.变式 2 （2012北京石景山一模理13）如图13-3所示，圆O ：222x y π+=内正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则该点A落在区域M 内的概率是__________.变式3 （2012湖北理8）如图13-4所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 21π-B.112π- C.2π D. 1π例13.5 已知()[]2,,0,4f x x ax b a b =-+-∈ ,,a b R ∈，则()10f > 的概率为______.解析 几何概型{0404,0,a b A a b ≤≤≤≤Ω⊆Ω->：且-1+ 作出Ω，A 的区域图（如图13-5所示）.4416μΩ=⨯= ,193322A μ=⨯⨯= ,则()9921632A P A μμΩ===.变式1 =A {}10x x -≤≤ ，{}|210,02,13xB x ax b a b =+⋅-<≤≤≤≤（1）,a b N ∈，求A B ⋂≠∅ 的概率； （2）,a b R ∈ ，求=A B ⋂∅的概率.例13.6 甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。