17.4棣莫弗定理及欧拉公式复习过程
§17.4.棣莫弗定理与欧拉公式
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos
5
i sin
5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
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教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
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15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
棣莫弗—拉普拉斯定理证明 -回复
棣莫弗—拉普拉斯定理证明-回复什么是棣莫弗—拉普拉斯定理？棣莫弗—拉普拉斯定理是微积分中的一个重要定理，通过它可以将一个函数的复杂积分转化为由函数的导数组成的级数进行计算。
这个定理在数学分析和物理学的许多领域都有广泛的应用。
定理的表述如下：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，其导数在开区间(a, b)上也连续，则对于区间[a, b]上的任意点x0，函数f(x)在点x0的傅里叶级数的和可以通过棣莫弗—拉普拉斯公式来表示，即：f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{L})]其中，a_0 为常数项，a_n 和b_n 分别为该傅里叶级数的余弦系数和正弦系数，L为[a, b]区间的长度。
那么，我们接下来将一步一步来证明这个定理。
首先，我们需要证明傅里叶级数的和公式（如上所述）可以收敛于f(x)，即该级数在[a, b]区间上逐点收敛于f(x)。
为了证明这一点，我们将使用微积分中的连续函数逼近定理。
根据连续函数逼近定理，对于任意一个连续函数f(x)，我们可以选择一个多项式函数P(x)来逼近它。
也就是说，对于任意的ε> 0，存在一个多项式函数P(x)，使得在[a, b]区间上有f(x) - P(x) < ε成立。
我们现在来构造一个多项式函数P(x)使得它逼近f(x)。
首先，我们选择多项式的常数项为a_0 / 2。
然后，我们选择一个一次多项式为P_1(x) = a_1 cos(\frac{\pi x}{L}) + b_1 sin(\frac{\pi x}{L})，其中a_1和b_1是待定系数。
在第一次选择之后，我们可以设置多项式P_1(x)与f(x)的误差小于ε/2。
接下来，我们选择一个二次多项式P_2(x) = P_1(x) + a_2 cos(\frac{2\pi x}{L}) + b_2 sin(\frac{2\pi x}{L})，同样地，我们要求多项式P_2(x)与f(x)的误差小于ε/4。
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式 欧拉公式
备课组别
数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课题：
17.4-3棣莫弗定理与欧拉公式 欧拉公式
教学
目标
1. 进一步理解复数三角形式乘除法公式；
2.掌握并应用欧拉公式；
3.理解复数的指数形式。
重点
复数的指数形式及运算；
难点
理解欧拉公式。
教法
讲练结合
教学设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【课堂导学】
复数的代数形式 在进行加、减运算时较为容易.
复数的三角形式为 在进行乘法、除法及乘方运算时较为容易.
复数三角形式 的共轭复数为 .
复数三角形式的乘除法：
若 则
若 则
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
棣莫弗定理：
一、新授
（一）我们先来了解一个史上最具数学魅力的等式
教学
环节
学
内
容
这些都与前面用复数三角形式得到的结论一致，但运算要方便得多。
二 、例题数学
例1 计算：
解
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
三、 巩固练习
计算：
[学生完成]
四、小结
本节课主要学习欧拉公式，在计算复数的乘法与乘方运算时，
应用指数形式要简便的多.
五、作业
P78练习
板
书
设
计
教后札记
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数的泰勒级数在其收敛区间内的收敛性。
在这篇文章中，我们将围绕着棣莫弗—拉普拉斯定理展开讨论，一步步回答中括号内的问题。
首先，让我们来了解一下棣莫弗—拉普拉斯定理的内容。
它的全称是“棣莫弗—拉普拉斯定理”，有时也称为“拉普拉斯方法”。
这个定理是由法国数学家棣莫弗和拉普拉斯在18世纪末独立提出的，它主要用于估计含有大参数的定积分。
棣莫弗—拉普拉斯定理的核心思想是利用函数的极大值点来近似估计定积分的值。
现在，让我们开始证明这个定理。
首先，我们来回答第一个问题：为什么要利用函数的极大值点来近似估计定积分的值？原因在于，对于一个充分光滑的函数，它在极大值点附近的函数值将会迅速变化。
因此，我们可以利用这个特点来近似估计定积分的值。
具体来说，我们可以将函数在极大值点的邻域内进行泰勒展开，然后取其中的高阶项来进行近似。
接下来，让我们进行具体的证明。
首先，我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且有n+1阶连续导数。
我们要证明的是：\[I = \int_{a}^{b} e^{nf(x)} dx = e^{nf(x^*)}\int_{a}^{b}e^{-\frac{1}{2}n[f''(x^*)]^2(x-x^*)^2} dx + O(n^{-\frac{1}{2}})\]其中，x^*是f(x)的极大值点。
为了证明这个定理，我们首先对积分I进行换元。
令t = x - x^*，我们可以将积分I转化为：\[I = e^{nf(x^*)}\int_{a-x^*}^{b-x^*} e^{-\frac{1}{2}n[f''(x^*)]^2t^2} dt\]然后，我们将积分区间进行扩展。
我们假设M是使得f''(x)在区间[a, b]上的绝对值的最大值，即M = max f''(x) 。
棣美弗定理
棣美弗定理
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复平面上的立方根等于1.
棣美弗定理是一个关于复数的定理。
历史
法国数学家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立了棣美弗定理，并于1730年发表。
定理
当一个复数z以极坐标形式表达，即z = cosθ+ isinθ时，其n次方(cosθ+ isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)，其中n属于任何整数。
证明
证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。
正整数情形
用数学归纳法，
设命题
n为1时，式左
式右。
因此 P(1)成立。
假设P(k)成立，即
(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)
当n = k + 1时，
因此P(k + 1)也成立。
由数学归纳法可知，，P(n)成立。
整数情形
只需运用恒等式：
即可。
用棣美弗定理求根
此定理可用来求单位复数的 n 次方根。
设 | z | = 1，表为
z = cosθ + isinθ
若 w n = z，则 w 也可以表成 w = cosφ + isinφ。
根据棣美弗定理：
于是得到
nφ = θ + 2kπ（其中）
也就是：
当 k 取，我们得到 n 个不同的根。
有理数情形
注意到，将θ换为 mθ就有：
因此
这样就证明了有理数的情形。
欧拉公式
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授课班级
养殖班/艺术班
授课课时
2
授课形式
讲授式
授课章节
名称
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
使用教具
黑板、PPT
教学目的
1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
（1）
（2）
大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。据调查统计，有50%的同学曾经购买过DIY饰品，有90%的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。
若 ，则 ； 。
证明：
6、复数指数形式乘方法则：
若 则
证明：
7、复数的极坐标形式：
表示模为，辐角为的复数。即 =
复数的极坐标形式的运算法则：
（1） =
（2） （其中 ）
（3）
例题讲解
例3、将下列复数化为指数形式：
（1） （2）
（3） （4）
（4）（5） （6） （7） （8）0
将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：
调研课题：课堂教学安排
教学过程
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示主要教学内容及步骤
400-500元1326%
3、棣莫弗定理
我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。若 ，则
（3）
（4）4．WWW。google。com。cn。大学生政策2004年3月23日（3）
而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。更能让学生家长所接受。
2、例题讲解
例1、
例2、“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。利用复数的三角形式计算下列各式：
（1） （2） （3）
例4、计算：
（1） （2） （3）
例5、将下列复数化为复数的极坐标形式：
（1） （2） （3）
课外作业
教学后记
证明：
为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。因此，复数的 次幂的模等于，辐角等于
例题讲解
（1）
（2）（4）牌子响 （2）
（3）
第二课时
4、复数的指数形式：
欧拉公式：
欧拉公式表示复数： （复数的指数形式）
5、复数指数形式乘除法则：
教学重点
棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。
复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
教学难点
复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
复数在电工学中的应用。
更新、补
充、删节
内容
无
板书设计
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
1、复数三角形式的乘除法 3、棣莫弗定理 5、欧拉公式
2、例题讲解 4、例题讲解 6、例题讲解
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
第一课时
一、知识链接：
1、若 ， ，则
因此，复数的积的模等于，积的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
2、若 ， ，则
因此，复数的商的模等于，商的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。