§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是数学中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关，被广泛应用于数学和物理之中。
棣莫弗—拉普拉斯定理提供了一种求解函数的近似值的方法，特别适用于当自变量趋向于无穷大时。
下面我将详细阐述并证明这一定理。
假设我们有一个函数f(x)，它在实数轴上连续，并且在某个区间上存在高阶导数。
设a是实数，考虑函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n! + ...(1)其中f^(n)(a)表示f(x)的n次导数在x=a处的值。
棣莫弗—拉普拉斯定理是指，当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)可以用它的泰勒级数展开的前几项来近似表示。
具体来说，如果我们只保留泰勒级数展开的前n项，并且在其中每一项的指数幂都是x的二次项及以上时，那么我们可以得到以下近似表达式：f(x) ≈f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n!(2)其中≈表示“近似等于”。
棣莫弗—拉普拉斯定理的基本思想是，当x趋向于无穷大时，泰勒级数展开中的高次项在整体上变得可以忽略不计，而低次项的贡献逐渐占主导地位，从而可以用前n项来近似表示函数f(x)。
这一近似成立的条件是，函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开存在，且高次项在x趋向于无穷大时趋向于0。
要证明棣莫弗—拉普拉斯定理，我们可以考虑泰勒级数展开式中的误差项，即余项。
根据泰勒中值定理，对于x=a+h（其中h>0），函数f(x)在[a,a+h]上至少有一个点ξ，使得余项等于f^(n+1)(ξ)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!。
当x趋向于无穷大时，假设ξ趋向于无穷大，我们可以猜测余项的渐近表达式为O(xⁿ⁺¹)，其中O表示“同阶无穷小”。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
欧拉公式解析
欧拉公式解析欧拉公式，那可是数学世界里超级厉害的一个存在！咱们先来说说欧拉公式是啥。
欧拉公式是e^(iθ) = cosθ + i*sinθ 。
这看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
就拿咱们生活中的一个例子来说吧，比如说你在公园里转圈圈。
想象一下，你站在圆心，每转一个角度，就相当于在这个数学的“圆”里移动了一段“距离”。
这个“距离”可以用欧拉公式来描述。
咱们先看看 e 这个数，它可是个神奇的常数，在很多数学和科学的地方都出现。
就像你总是能在熟悉的地方碰到熟悉的朋友一样，e 也是数学世界里的“常客”。
再说说 i ，这个虚数单位，一开始接触的时候，可能会觉得它有点奇怪。
但其实啊，它就像是给数学打开了一扇新的窗户，让我们能看到更多奇妙的景象。
而θ 呢，就是咱们转的那个角度。
cosθ 和sinθ 大家应该比较熟悉啦，它们能告诉我们在某个角度上，水平和垂直方向的“分量”是多少。
比如说，当θ = 0 的时候，欧拉公式就变成了 e^(i*0) = cos0 + i*sin0 ，也就是 1 = 1 + 0i ，这是不是很简单明了？再比如，当θ = π/2 的时候，就变成了 e^(i*π/2) = cos(π/2) +i*sin(π/2) ，也就是 i = 0 + i ，是不是很有趣？那欧拉公式到底有啥用呢？这用处可大了去了！在物理学里，研究交流电的时候，欧拉公式就能大显身手。
还有在信号处理、控制理论等好多领域，欧拉公式都是非常重要的工具。
记得有一次，我和一个朋友讨论一个物理问题，涉及到电磁波的传播。
我们一开始被那些复杂的公式和计算搞得晕头转向。
后来突然想到了欧拉公式，就像在黑暗中找到了一盏明灯。
用欧拉公式一化简，那些原本让人头疼的式子一下子变得清晰起来，问题也迎刃而解。
那一刻，我真真切切地感受到了欧拉公式的强大魅力。
总之，欧拉公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解，去探索，就能发现它背后隐藏的美妙和神奇。
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），则:Z1Z2=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi。
于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量。
如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcoθ,rinθ（r=√a^2+b^2）。
所以，复数Z可以表示为Z=r(coθ+iinθ）。
这里θ称为复数Z的辐角。
因为Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），所以Z1Z2=r1r2(coθ1+iinθ1）（coθ2+iinθ2）=r1r2(coθ1coθ2+icoθ1inθ2+iinθ1coθ2-inθ1inθ2）=r1r2[(coθ1coθ2-inθ1inθ2）+i(coθ1inθ2+inθ1coθ2）]=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），。
Zn=rn(coθn+iinθn），则：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]。
4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=coθ+iinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，。
Zn=rne^iθn,Z1Z2。
Zn=r1r2。
rne^i（θ1+θ2+。
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
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教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
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15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
欧拉公式的启发性推导
欧拉公式的启发性推导
以瑞士著名数学家欧拉命名的公式定理不胜枚举，平面几何，拓扑，复变函数，数论等等各个数学领域内均有欧拉大神的插旗。
本文所指的欧拉公式是比较广为人知的，联系三角函数与复指数的公式: 预备知识：
(1)自然对数的底
以及相应的推广：对任意a
(2)极限
(3)棣莫弗公式
对复数
有
备注：棣莫弗公式比欧拉早，当时他还没有认识到复数的指数形式。
另外简单介绍一下，棣莫弗De Moivre（1667-1754），法国数学家，一生未婚。
87岁时患上了“嗜眠症”，每天睡觉20小时。
当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世。
接下来是推导。
根据棣莫弗公式，对任意n，都有
令n趋于无穷，根据预备知识（2），则
于是
根据预备知识（1）第二个公式，n趋于无穷时，有
由n的任意性，趋于可改为等号，从而
就得到了欧拉公式。
当然，以上过程并不严谨，严谨的证明需要用泰勒级数，但可以加深对欧拉公式的理解。
也许欧拉一开始也是这么想的，无聊的时候，对着棣莫弗公式一顿操作，突然，Eureka！发现了这一公式，然后才进一步通过其他严谨的方法证明了这一公式。
从无到有的第一步最为艰难，道生一，一生二，二生三，三生万物。
大部分时候，差的就是“道生一”的关键一步。
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
棣莫弗公式
棣莫弗公式复数乘方用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)n∈N.复数开方也用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：(n次根号r){cos[(θ+2kπ)n]+isin[(θ+2kπ)n](k=0,1,2,......). n∈N.这两条公式叫做棣莫弗公式[编辑本段]证明棣莫弗公式证明先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……sint = t - t^33!+t^55!-t^77!+……-……cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……将t = ix 代入以上三式，可得欧拉公式应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)另外一种证法：根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')则ZZ'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)[编辑本段]在三角问题中的应用在r=1时：（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)有这个公式可以得到一个特别重要的结果。
我们可以令n=3为例，此时（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)而等式左边根据二项式定理展开得到（cosx＋isinx）^3 =cos^3 x+3cos^2 x isinx+3cosx i^2 sin^2 x+i^3 sin^3 x =cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)最后根据右边得到cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)=cos(3x)+isin(3x)这相当于实数间的一对等式，因为复数相等的条件是实部和虚部分别相等，所以cos(3x)=cos^3 x-3cos x sin^2 xsin(3x)=3cos^2 x sin x-sin^3 x再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得cos 3x=4cos^3 x-3cos xsin 3x=-4sin^3 x+3sin x以此类推，对于n∈N，可以用sin x 和 cos x的幂分别表示sin nx 和cos nx.棣美弗定理[编辑本段]定理法国数学家亚伯拉罕·棣·美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)于1707年创立该定理，并与1730年发表。
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计算：（ 3 cos
பைடு நூலகம்
（） 1
2(cos50 i sin 50 ) 3(cos 40 i sin 40 )；
2
计算： （ 4 cos120 isin120） 3(cos30 isin 30).
复数的除法运算！ 设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). z2 z2 z1 则 z1 z1 z1 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1[cos(1 ) i sin(1 )] 2 z1 z2 r2 [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] z1 r1
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
作业
P82 习题1.1 — 6
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
复数及其应用
§17.4.1复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
复数的代数形式
复数的三角形式
z a bi z r (cos isin )
三角形式 有哪些特征？
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
6(cos 50 i sin 50） 计算： . 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos
i sin )，求z 2与z 3的值. 6 6 2 2 解：z z z ( 3) [cos( ) i sin( )] 6 6 6 6 3 3 3 3(cos i sin ) i 3 3 2 2 3 3 z z z z ( 3) [cos( 3) i sin( 3)] 6 6 3 3(cos i sin ) 3 3i 2 2
复数的积的辐角等于辐角的 和 ．
复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ． 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
除法：
乘方：
计算：
1
3+4i
2 3i
2
;
2
2 2 2i 3 4i
2
3
;
1 2i 3 3 2 2 3i 3 3i 3i i 4
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的 和 ．
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos
5
i sin
5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2