§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是数学中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关，被广泛应用于数学和物理之中。
棣莫弗—拉普拉斯定理提供了一种求解函数的近似值的方法，特别适用于当自变量趋向于无穷大时。
下面我将详细阐述并证明这一定理。
假设我们有一个函数f(x)，它在实数轴上连续，并且在某个区间上存在高阶导数。
设a是实数，考虑函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n! + ...(1)其中f^(n)(a)表示f(x)的n次导数在x=a处的值。
棣莫弗—拉普拉斯定理是指，当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)可以用它的泰勒级数展开的前几项来近似表示。
具体来说，如果我们只保留泰勒级数展开的前n项，并且在其中每一项的指数幂都是x的二次项及以上时，那么我们可以得到以下近似表达式：f(x) ≈f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n!(2)其中≈表示“近似等于”。
棣莫弗—拉普拉斯定理的基本思想是，当x趋向于无穷大时，泰勒级数展开中的高次项在整体上变得可以忽略不计，而低次项的贡献逐渐占主导地位，从而可以用前n项来近似表示函数f(x)。
这一近似成立的条件是，函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开存在，且高次项在x趋向于无穷大时趋向于0。
要证明棣莫弗—拉普拉斯定理，我们可以考虑泰勒级数展开式中的误差项，即余项。
根据泰勒中值定理，对于x=a+h（其中h>0），函数f(x)在[a,a+h]上至少有一个点ξ，使得余项等于f^(n+1)(ξ)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!。
当x趋向于无穷大时，假设ξ趋向于无穷大，我们可以猜测余项的渐近表达式为O(xⁿ⁺¹)，其中O表示“同阶无穷小”。
棣莫弗公式
棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则: Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的可加性一致.在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.5简介棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感．1684年1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆（Ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来．正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销．随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦．但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏．据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
隶莫佛拉普拉斯定理
隶莫佛拉普拉斯定理
摘要：
1.隶莫佛拉普拉斯定理的概述
2.隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法
3.隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域
4.隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响
正文：
隶莫佛拉普拉斯定理，是数学领域中的一个重要定理。
这个定理的全称是“隶莫佛- 拉普拉斯定理”，它是由法国数学家皮埃尔- 西蒙·拉普拉斯和瑞士数学家约瑟夫- 路易·拉格朗日共同提出的。
隶莫佛拉普拉斯定理的概述是：如果一个函数在某一闭曲面上的积分为零，那么这个函数在这个闭曲面上的切向场的旋度也为零。
简单来说，就是这个定理说明了一个向量场的旋度在曲面上的积分和该向量场在曲面上的切向场的积分是相等的。
隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法相对复杂，它需要涉及到一些高级的数学概念，如向量场、旋度、切向场、积分等等。
具体的证明过程需要用到一些复杂的数学工具和方法，不适合在这里详细展开。
隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域非常广泛，它被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
在物理学中，这个定理被用来研究电场、磁场等物理场的性质；在工程学中，这个定理被用来解决一些流体力学、热力学等问题；在计算机科学中，这个定理被用来设计一些高效的算法，如求解电磁场问题的快速算法等。
隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响非常深远。
它不仅丰富了数学领域的理论体系，也为实际应用提供了强大的工具。
同时，这个定理的证明方法和应用方法也为数学家们提供了研究其他数学问题的思路和方法。
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
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教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
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授课
日期
班级
15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式
备课组别
数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课题：
17.4-1棣莫弗定理与欧拉公式
教学
目标
1. 理解复数三角形式乘除法公式.
2..能根据复数三角形式乘除法公式进行计算。
重点
复数三角形式乘除法；
难点
利用复数三角形式乘除法公式进行计算
教法
讲练结合数形结合
教学设备
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.
二 巩固数学
例1
解
由此可见，复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
例2计算：
解：
例3若 那么 与 的值分别为多少？
解:
三 理解数学
计算：
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【思考提升】
1.深入理解复数三角形式的乘除法运算法则.
2.体会在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简便.
三、 小结
通过本节课的学习，我们进一步学习了复数三角形式
的乘除法运算，在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简
便.
四 、作业
P77练习
板
书
设
计
教后札记
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内ห้องสมุดไป่ตู้
容
【课堂导学】
复数的代数形式 可以进行加、减、乘、除等运算.
辗转相除法棣莫弗(de Moivre)定理
辗转相除法设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。
若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零余数即为(a，b)。
原理及其详细证明在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a ±b)也能被c整除因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h －t)c所以：(a±b)也能被c整除推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。
其理论如下:如果q 和r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的: 设a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)证明：∵a为m,n的最大公约数，∴m能被a整除，且n也能被a整除，∴由推论1得：qn也能被a整除，∴由推论2得：m-qn也能被a整除，又∵m-qn=r，∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数）∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数∴a≤b，设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其实该定理可以推广为一般形式:圆排列从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
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计算： 6(cos 50 i sin 50）. 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos i sin )，求z2与z3的值.
6 解：z2 z z (
3
6 )2[cos(
复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n rn (cos n i sin n ).
计算：(1)(cos 40o i sin 40o)9; (2)(1 3i)2012.
解：(1)原式 cos 360o i sin 360o 1
则 z2 z2 z1 z1 z1 z1
r2
(cos2
i
sin2 )
r1[cos(1)
z1 2
i
sin(1)]
z2 z1
r2 r1
[cos(2
1) i sin(2
1 )]
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的差．
计算：[6(cos 70o isin 70o)][3(cos 40o isin 40o)]. 解：原式 2[ cos(70o 40o) i sin(70o 40o)]
(3) z4 2i;
(4)
z5
1 2
3 i. 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ). 则z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
17.4 复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
2、理解、掌握复数三角形式的乘方法则， 即棣莫弗定理； 3、能熟练地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
r1r2 (cos1 i sin1)(cos2 i sin2 ) r1r2 (cos1 cos2 i cos1 sin2
i sin1 cos2 i2 sin1 sin2 ) r1r2[cos1 cos2 sin1 sin2
i( cos1 sin2 sin1 cos2 )] z1 z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
4
4
2 6 2 6i.
（1） 2(cos 50 i sin 50) • 3(cos 40 i sin 40) （计2）算：（4 cos 20 i sin 20） 3(cos 40 i sin 40).
复数的除法运算！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ).
2、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
➢复数的代数形式 z a bi
➢复数的三角形式 z r(cos isin )
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
三角形式 有哪些特征？
➢确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角
➢两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
1.指出下列复数的模和辐角：
(1) cos 210o i sin 210o;
(2) （ 2 cos i sin ）;
5
5
2.将下列复数的代数形式化成三角形式：
(1) z1 5; (2)z2 1 i;
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的和．
计算：（3 cos i sin ） 4(cos i sin ).
6
6
12 12
解：原式 4 3[ cos( ) i sin( )]
4
3(cos
6
12 i sin
)
6 12Βιβλιοθήκη ) i sin(
)]
66
66
3(cos i sin ) 3 3 3 i
3 z3 z z z (
3 3)3[cos(
2
2 3)
i sin(
3)]
6
6
3 3(cos i sin ) 3 3i
2
2
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂，
本节课
学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 何处还需要注意？
P77 T（1） P78 T(1)
(2)原式 [2(cos i sin )]2012
3
3
22012 (cos 2012 i sin 2012 )
3
3
22012 (cos 2 i sin 2 )
3
3
22012 ( 1 3 i) 22011 22011 3i 22
计算：(1)(cos 5o i sin 5o)6; (2)( 3 1 i)4. 22