17.4.1复数三角形式的乘除法与棣莫弗定理
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
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教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
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15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
复数的棣莫弗定理
复数的棣莫弗定理1. 嘿，你知道复数的棣莫弗定理吗？它就像一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘。
想象一下，复数就像是一群在数学世界里跳舞的小精灵，而棣莫弗定理就是它们的舞蹈规则。
有一次我和同学一起讨论数学问题，提到了这个定理，我同学一脸疑惑地问：“这啥定理啊？听都没听过。
”我就笑着说：“别急，听我给你讲讲，你会发现它超级有趣的！”你是不是也很好奇呢？2. 哇哦！复数的棣莫弗定理可厉害了。
它就像一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
比如说，当我们遇到一些关于复数幂运算的问题时，这个定理就派上用场了。
有个学霸在给我们讲题的时候就用到了棣莫弗定理，他说：“你们看，用这个定理，一下子就能把这个复杂的复数幂运算简化了，就像变魔术一样。
”我们都惊讶地看着他，心里想：这定理也太神奇了吧！你觉得它像不像一个魔法工具呢？3. 嘿呀！复数的棣莫弗定理还和三角函数有密切的关系哦。
它就像一座桥梁，连接着复数和三角函数两个不同的世界。
你知道吗？通过这个定理，我们可以用三角函数来表示复数的幂。
我在学习的时候，一开始总是搞不清楚它们之间的关系，后来老师给我画了个图，解释说：“你看，就像两条不同的道路，通过棣莫弗定理，它们就交汇在一起了。
”你能想象出那个画面吗？4. 哇！理解复数的棣莫弗定理，就像是在解开一个神秘的密码。
当你真正掌握了它，那种成就感简直爆棚。
我记得有一次做数学作业，遇到一道很难的复数题，我绞尽脑汁都做不出来。
突然我想到了棣莫弗定理，试着用它去解题，结果还真做出来了。
我兴奋地对自己说：“我居然做到了，棣莫弗定理真是太好用了！”你有没有过这种通过努力掌握一个知识后的喜悦呢？5. 嘿，朋友们！复数的棣莫弗定理在物理学中也有应用哦。
它就像一个隐形的助手，默默地帮助物理学家解决问题。
比如说在研究振动、波动这些现象的时候，复数和棣莫弗定理就发挥了很大的作用。
我听一个物理大神说：“要是没有复数的棣莫弗定理，很多物理问题的研究可就没那么容易了。
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式
备课组别
数学
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授课
教师
课题：
17.4-1棣莫弗定理与欧拉公式
教学
目标
1. 理解复数三角形式乘除法公式.
2..能根据复数三角形式乘除法公式进行计算。
重点
复数三角形式乘除法；
难点
利用复数三角形式乘除法公式进行计算
教法
讲练结合数形结合
教学设备
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.
二 巩固数学
例1
解
由此可见，复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
例2计算：
解：
例3若 那么 与 的值分别为多少？
解:
三 理解数学
计算：
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【思考提升】
1.深入理解复数三角形式的乘除法运算法则.
2.体会在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简便.
三、 小结
通过本节课的学习，我们进一步学习了复数三角形式
的乘除法运算，在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简
便.
四 、作业
P77练习
板
书
设
计
教后札记
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内ห้องสมุดไป่ตู้
容
【课堂导学】
复数的代数形式 可以进行加、减、乘、除等运算.
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
证明：
6、复数指数形式乘方法则：
若 则
证明：
7、复数的极坐标形式：
表示模为，辐角为的复数。即 =
复数的极坐标形式的运算法则：
（1） =
（2） （其中 ）
（3）
例题讲解
例2、将下列复数化为指数形式：
（1） （2）
（3） （4）
（4）（5） （6） （7） （8）0
将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：
课题序号
授课班级
养殖班/艺术班
授课课时
2
授课形式
讲授式
授课章节
名称
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
使用教具
黑板、PPT
教学目的
1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
第一课时一、知识链接：1 Nhomakorabea若 ， ，则
因此，复数的积的模等于，积的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
2、若 ， ，则
因此，复数的商的模等于，商的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。
2、例题讲解
例1、利用复数的三角形式计算下列各式：
（1）
（2）
（3）（3）
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
3、棣莫弗定理
若 ，则
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
《三角形式下复数的乘除运算》 讲义
《三角形式下复数的乘除运算》讲义一、复数的三角形式在深入探讨三角形式下复数的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是复数的三角形式。
对于一个复数\（z ＝ a ＋ bi\），其中\（a\）为实部，＼（b\）为虚部。
它的三角形式可以表示为\（z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），称为复数的模，＼（＼theta\）称为复数的辐角。
例如，对于复数\（z ＝ 1 ＋＼sqrt{3}i\），我们可以计算其模\（r ＝＼sqrt{1^2 ＋（＼sqrt{3}）＾2} ＝ 2\），辐角\（＼theta ＝＼arctan(＼frac{＼sqrt{3}｝｛1}）＝＼frac{＼pi}｛3}＼），所以其三角形式为\（z ＝ 2(＼cos\frac{＼pi}｛3} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛3}）＼）。
二、复数三角形式的乘法当两个复数都以三角形式表示时，乘法运算变得相对简单。
设\（z_1 ＝ r_1(＼cos\theta_1 ＋ i\sin\theta_1)＼），＼（z_2 ＝r_2(＼cos\theta_2 ＋ i\sin\theta_2)＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ r_1r_2(＼cos(＼theta_1 ＋＼theta_2) ＋i\sin(＼theta_1 ＋＼theta_2)）＼）简单来说，两个复数相乘，其模相乘，辐角相加。
为了更好地理解这一运算规则，我们来看一个具体的例子。
假设\（z_1 ＝2(＼cos\frac{＼pi}｛4} ＋i\sin\frac{＼pi}｛4}）＼），＼（z_2 ＝ 3(＼cos\frac{＼pi}｛6} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛6}）＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ 2×3(＼cos(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}）＋ i\sin(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}））＼）＼＼begin{align}＆＝6(＼cos(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}）＋ i\sin(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}））＼＼＆＝6(＼cos\frac{5\pi}｛12} ＋ i\sin\frac{5\pi}｛12}）＼end{align}＼通过这个例子，我们可以清晰地看到，在三角形式下进行复数乘法，能够直观地得到乘积的模和辐角。
数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式
备注§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式教学目标：1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。
教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。
教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。
新课讲授：棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。
二、探究设复数z 1= 2(cos6π+isin6π)，z 2= 4(cos3π+isin3π)，则z 1 ·z 2等于多少？三、知识链接(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。
(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有21z z = 21r r[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。
四、典型例题 例1、计算 （1）3（cos6π+isin6π）·4（cos12π+isin12π）（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）例2、计算：[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]若3（cos6π+isin6π），那么z 2与z 3的值分别为多少？练习1.计算： （1）2（cos6π+isin6π）·2（ cos12π+isin12π）（2）2（cos83π+isin83π）·3（ 1+i ）（3）2（cos6π-isin6π）÷2（ cos12π+isin12π）课内练习：P77练习一、复习导入学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。
高中数学竞赛讲义复数
高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos n θ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
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计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的和．
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
复数及其应用
§16.4.1复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
P77 T（1）
P78 T(1)
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
计算：（ 3 cos
（ 1 ） 2 (cos50 i sin 50 ) 3(cos40 i sin 40 )
（ 2） （ 计算： 4 cos120 isin120）
3(cos30 isin 30).
复数的除法运算！ 设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). z2 z2 z1 则 z1 z1 z1 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1[cos(1 ) i sin(1 )] 2 z1 z2 r2 [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] z1 r1
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos
5
i sin
5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
2、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
复数的代数形式
复数的三角形式
z a bi z r (cos isin )
三角形式 有哪些特征？
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
6(cos 50 i sin 50） 计算： . 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos
i sin )，求z 2与z 3的值. 6 6 2 2 解：z z z ( 3) [cos( ) i sin( )] 6 6 6 6 3 3 3 3(cos i sin ) i 3 3 2 2 3 3 z z z z ( 3) [cos( 3) i sin( 3)] 6 6 3 3(cos i sin ) 3 3i 2 2