2020_2021学年新教材高中数学1.2.3直线与平面的夹角课件新人教B版选择性必修第一册
新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
人教B版选修2-1高中数学第三章3.2.3直线与平面的夹角教学课件
cosθ A1B1 AB
B A
α
A1
B1
新课导入
下面的直线与平面有什么关系？
那下面的直线与平面的关系又是什么呢？
下面的直线与平面的关 系还可以像以上那样描 述它们的关系吗？
水
桌面
面
3.2.3 直线与平面的夹角
教学目标
知识与能力
知道斜线与平面的夹角含义， 体会夹角定义的唯一性与合理性。
过程与方法
理解并会推导cosθ= cosθ1
cosθ2的证明过程。
情感态度与价值观
培养同学们视察生活并从中提出 问题的能力以及利用数学解决实际问 题的能力。
教学重难点
重点
直线与平面的夹角的定义理解
难点
公式推导过程的应用
研讨
A 看下图：
α
O θ1 m θ2
θ B
M
已知OA是平面α的斜线段，
O是斜足，线段AB垂直于α，B
为垂足，则线段OB是斜线OA
在平面α内的正射影。
所以 OOOAAA***mmmOOOBBB***mmmBBBAAA***mmm
A
因此 OOAA**mmOOBB**mm
即
α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA cosθ OB cosθ2
OB cosθ OA cosθ2
A
又
OB cosθ1 α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA
所以 cosθ= cosθ1*cosθ2
上,因此是L与P1的交点.
M• P1
L
•
• M1
P
解 过M作平行于 平面 P 的一个点P1
P1: 6( x 1) 2( y 2) 3(z 3) 0
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.3 直线与平面的夹角
第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角高中数学选修2-1·精品课件引入课题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.复习回顾直线的方向向量与平面的法向量lab anα知识点一：直线与平面所成的角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，规定这条直线与平面的夹角为0°.(3)平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？如图，已知OA 是平面α的斜线段，O 是斜足，线段AB 垂直于α，B 是垂足，则直线OB 是斜线OA 在平面α内的正射影。
设OM 是α内通过点O 的任一直线，OA 与OB 所成的角为θ1，OB 与OM 所成的角为θ2，OA 与OM 所成的角为θ，用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系.θ2θ1θmMBO Aα在直线OM上取单位向量m，则BA⊥m，即BA·m=0，∵OA=OB+BA，∴OA·m=OB·m+BA·m，因此OA·m=OB·m，即|OA|cosθ=|OB|cosθ2，得cosθ=|OB||OA|cosθ2，又因为|OB||OA|=cosθ1，∴cosθ=cosθ1·cosθ2，θ2θ1θm MBOAα在上述公式中，因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.则：斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面的夹角).θ2θ1θmMBO Aα知识点二：向量法求直线与平面所成的角如何用向量表示直线与平面所成的角？向量的夹角就是直线与平面所成的角吗？设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量a ,α的法向量为naθn αlθ=90°－<a ,b >或θ=<a ,b >－90°⇒sin θ=±cos<a ,b >⇒sin θ=|cos<a ,b >|例1 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ．C 1CA BA 1B 1zyx建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C 1(－32a ，a2，2a )，∴AC 1=(－32a ，a 2，2a )，xyABCa32a a 2解：易求法向量求坐标非常关键C (－32a ，a2，0)，显然可取面ABBA1的一个法向量为n=(1,0,0)，1a，则|AC1|=3a，AC1·n=－32，∴cos<AC1，n>=−12即sinθ=1，2又θ∈(0°，90°)，∴θ=30°.1.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．C 1CA A 1B 1z y x B O M解：取AC 的中点O ，如图建立坐标系，则A (a 2,0,0),C 1(-a 2,0,2a ),B (0,32a ,0)，A 1(a 2,0,2a ),B 1(0,32a ,2a )，∵M 为A 1B 1的中点，∴M (a 4,34a ,2a )，∴AM =(a 4,34a,2a ),AC 1=−a,0,2a ，BC 1=(-a 2, -32a ,2a ).则BC1·n=(-a2, -32a,2a)·(4, -43, 22)=8a，又|BC1|=3a，|n|=62，∴cos<BC1,n>=8a3a×62=269，∴所求角的正弦值为269.设面AMC1的法向量为n=(x,y,z)由AM·n=0，AC1·n=0，得a4x+34a y+2az=0，-ax+2az=0，即x4+34y+2z=0，-x+2z=0，令z=22，得x=4，y=-43，∴n=(4, -43, 22)，典例分析例2 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a.∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．同理，△BOC也为等腰直角三角形．过A作AH⊥α于H，连OH，则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．∵AO＝AB＝AC，∴OH＝BH＝CH，H为△BOC的外心，∴H在BC上，且H为BC的中点．∵在Rt△AOH中，AH＝22a，∴sin∠AOH＝AHAO ＝22，∴∠AOH＝45°，∴OA与平面α所成角的大小为45°.跟踪训练2.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，直角边AB，AC分别和α成30°和45°角．求斜边BC上的高AD与平面α所成角的大小．解：如图，作AO⊥α，O为垂足，连接OB，OC，OD，则∠ABO，∠ACO，∠ADO分别为AB，AC，AD与α所成的角，则∠ABO＝30°，∠ACO＝45°.设AO＝h，则AC＝2h，AB＝2h.∴BC＝6h，∴AD＝AC∙ABBC ＝23h.∴Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD ＝32，∠ADO＝60°.∴AD与平面α所成角的大小为60°.归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）再见。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
.
解析:以 D 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空
间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 1,则
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴1 =(1,0,1),=(1,1,0),1 =(-1,0,1).
得=(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),由 ·=0, ·1 =0,
知为平面 BB1D1D 的一个法向量.
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,
则 sin θ= cos
依题意有
π
-
2
2
2+2 ×
2
=
=
|·|
角;
π
④直线与平面的夹角的范围是 0, 2 .
(2)斜线与平面所成角的性质
①如图,OA'是OA在平面α内的射影,OM⊂α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA
与OA'所成的角,θ2是OA'与OM所成的角,则cos θ=cos θ1cos θ2.
②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最
2
5
2
在 Rt△OAE 中,∵AE= + 2 = 2 a,
AO=
2
2
+
5
2
2
6
= 2 a,
6
∴sin∠OAE= = .
6
答案:C
二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系
1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向
量,<v,u>和l与α所成的角θ有什么关系?
高中数学 2.5直线与平面的夹角课件 新人教B版选修2-1
设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)，
B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z)
A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
如图,直线OA与平面所成的角为1,平
面内一条直线OM与OA的射影OB所
成的角为2,设∠AOM为 求证:cos= cos 1 ×cos 2
A
O
M
B
若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与
平面内的直线所成的一切角中最小的角为
，
最大的60角°为
。 90°
如图，ACB=90，S为平面 ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ACB所成的角
A
13
6
2
所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6
6
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为
5 5
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
定义:
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
1.2.2直线与平面平行的判定定理课件人教新课标B版
B
C
对应线段成比例也是证明 线线平行的常用方法．
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
EF//平面BCD.
1．如图，长方体 ABCD ABCD中，
（1）与AB平行的平面是 平面
平面
；
（2）与 AA平行的平面是平面
（3）与AD平行的平面是 平面
平面
；
平面
；
D A
D A
C B
C B
2.如图,四棱锥A—DBCE中,
图形语言
a
b
注意隐藏的 数学思想方法.
符号语言
∵ a , b , a ∥b
∴ a∥
a
b
a
//
a // b
线（平面外）线（平面内）平行 线面平行
直线与平面平行（空间）
化归
直线平行（平面）
四、实践应用
a d
bc
五 定理运用 形成技能
例1．如图，四棱柱ABCD— A1B1C1D1 中，
B C 与直AA线1 A( A1 平行) 平的面平B面B1有C1（C
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
EF//平面BCD.
已知：空间四边形ABCD中，
EE，，F分F别分是A别B，AADB上，的A点D，且的中点． AE AF
. . AB AD A
求证：EF//平面BCD．
EF
证明：连接BD.
D
因为 AAEE=EBA, F AAFB=FDA, D
所以 EF // BD
. .A
EF
D
分析:求(证1)文：字证E明F题//平应先面依B题C意D画出．图形
B
C
然证后明写出：已连知、接求B证D，最. 后写出证明心过得程: 。 如何在平面内找一条线与
2021学年新教材高中数学1.2.3直线与平面的夹角课时作业含解析人教B版必修一
课时作业(六) 直线与平面的夹角一、选择题1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )A．∠C1BB1 B．∠C1BDC．∠C1BD1 D．∠C1BO2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.363．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 24．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12B.2626C.63D.33二、填空题5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．9.如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：AC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．课时作业(六) 直线与平面的夹角1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B1(1,1,1)．A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，A1B1→＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎨⎧n·A1E→＝0，n·A1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为63. 答案：B 4．解析：如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ， ∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ， 即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°，∴cos∠APO ＝33.答案：D5．解析：cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216. 答案：2166．解析：连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a .易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 答案：30° 7．解析：以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°8．解析：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，则AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量．∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0.∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a 23a ·32a ＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.9．解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得m＝122m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.。
1.2.3直线与平面的夹角(同步课件)高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
C1
D1
A
x
C
D
y
M
， =3, 则x=2, y=3，则n=(2,3,3)
取z
3 22
22
3 22
设直线CD与平面MCA1所成角为θ，所以sinθ=|cos<，n>|=
22
B
当堂练习
1.判断
(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.
(
×)
SA=AB=BC=1，AD= ，求CS与平面ABCD所成的角的正弦值.
课堂小结
人教B版选择性必修第一册
感谢聆听
主讲：
根据前面的结论有
P
B
M
A
C
复习回顾
如何用空间向量求两条直线的夹角
OA e1 , OB e2 , OC e3
？
• 两条直线l1，l2夹角的范围：
• 两个向量，夹角的范围：
探究与发现
如何用空间向量求直线与平面的夹角？
l
l
l
l
探究与发现
如何用空间向量求直线与平面的夹角？
l
成角的大小.
解：以D方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)
所以，1 = (0,1, −1)，11 = (−1,0,0)，11 = (1,1,0)
人教B版选择性必修第一册
第1章
空间向量
1.2.3 直线与平面的夹角
主讲：
日常生活中，很多场景中都有直线与平面
成一定角度的形象。
人教B版高中数学选修直线与平面的夹角课件
[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正 方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所 成的角．
[解析]
∵PADB⊂⊥平平面面AABBCCDD⇒
PD⊥AB DA⊥AB PD∩DA＝D
⇒AABB⊥ ⊂平 平面 面PPADBA⇒平面 PAD⊥平面 PAB. 取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD， ∵PD＝DC＝DA，
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
[解析] (1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB. 所以，PA∥平面EDB. (2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF. 设正方形ABCD的边长为a， ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.
A(0,0,0) ， B(a,0,0) ， A1(0,0 ， 2 a) ， C112a， 23a， 2a，则C→1A＝－12a，－ 23a，－ 2a，
∵平面 AB1 的法向量 n＝(0,1,0)， 且 cos〈C→1A，n〉＝|CC→→11AA|··n|n|＝－12. ∴〈C→1A，n〉＝120°. ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 60°或 120°.
4．求法步骤： (1)求平面法向量 n； (2)在平面 α 内任取一点 A，求，A→B； (3)线面角 α，满足 sinα＝|nn|··A|→A→BB|.
1．如图：
cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．
人教b版选择性必修第一册123直线与平面的夹角课件
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=
,
所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
.
因为 =(0,1,0),所以 sin θ=
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针对训练:如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥底面ABCD,
易证∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角,
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cos∠C1AD=
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·
(, , )·(,, )
= ,
→
→
×
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=
又因为∠C1AD∈[0, ],
所以∠C1AD= .
答案:
当 a 趋近于 0 时,cos β=0,当 a 趋近于无穷大时,cos β= ,
又 a≠0,且 a 取不到无穷大,故 0<sin θ< .
故选 C.
针对训练:(2021·广西南宁期中)如图,在四面体V-ABC中,已知VA⊥平面
VBC,VA与平面ABC所成的角为45°,D是BC上一动点,设直线VD与平面ABC所
求最值与范围问题常用的方法:
(1)找到动点的运动轨迹,分析动点在何位置时取最大值和最小值.
(2)设参数,转化为函数或不等式求解.
当堂检测
1.平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的取值范围是( D
A.(0,π)
C.(0, ]
B.[0, ]
D.(0, )
解析:由斜线与平面所成角的定义可知,0<θ< .故选 D.