完美数(完全数)
完美数教学文档
完美数无论在外在的物质世界里，还是在内在的精神世界里，都不能没有数学。
最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯；而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。
其中举世闻名的“完美数”(perfect number，又称“完全数”和“完满数”)就是他们首先发现的。
所谓完美数，就是“除其本身以外全部因数之和等于本身”的数。
例如，前两个完美数分别是：6，28。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
”不过，有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。
有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字；他们指出，创造世界花了6天，28天则是月亮绕地球一周的天数。
这使得完美数充满了神秘的色彩，所以有些书籍称之为“上帝之数”。
法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。
”可见这种数既优美又稀少。
由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力，2500多年来一直吸引着众多的数学家和业余数学爱好者对它进行探究。
迄今为止，人类仅发现47个完美数，而且都是偶完美数。
至于偶完美数是否无穷和有没有奇完美数，至今没有定论；这已成为数学中的著名难题。
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完美数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。
瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完美数都有这种形式。
因此，人们只要找到2^P-1型素数，就可以发现偶完美数了。
数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。
梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
完全数的公式定律
完全数的公式定律完全数是指它的所有真因数之和等于它本身的正整数。
换句话说，一个完全数的真因数之和等于它本身，真因数是指除了自身以外的因数。
完全数的研究可以追溯到古希腊时期，而现在已经发现的完全数不多。
目前为止，人们已经发现的完全数只有四个，分别是6、28、496和8128、这四个完全数的因式分解如下：-6=1+2+3-28=1+2+4+7+14-496=1+2+4+8+16+31+62+124+248-8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064事实上，人们还在持续更大的完全数。
截至目前，最大的已知完全数是2^77,232,917 − 1，它由GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search）计算得出。
1. 欧几里德第一定理（Euclid's First Theorem）：如果2^p − 1是一个素数，那么它对应的完全数为 (2^p − 1) × 2^(p−1)。
这个定理由欧几里德在公元前300年左右提出，并被证明是正确的。
它揭示了完全数与梅森素数的关系，但并没有涵盖所有的完全数。
2. 欧几里德第二定理（Euclid's Second Theorem）：如果(2^p − 1) 是素数，那么 p 也必须是一个素数。
这个定理由欧几里德提出，但直到数学家费马的时代才被证明是正确的。
它在寻找完全数时提供了一个较小的空间。
3. 五重定理（Pentagon Theorem）：如果 p 是一个奇质数，那么2^(p−1) × (2^p − 1) 必须是一个完全数。
这个定理由数学家费马提出，但直到19世纪中叶才被证明是正确的。
它成为了寻找大型完全数的一个重要判据。
除了这些定理外，数学家还提出了其他一些关于完全数的猜想，但它们仍然是未解决的问题。
例如：1. 偶完全数猜想（Even Perfect Numbers Conjecture）：所有的完全数都是偶数。
完美数
完美数（Perfect number）任何一个自然数的因数中都有1和它本身，我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真因数。
如6的所有真因数是1、2、3，而且6=1＋2＋3。
像这样，一个数所有真因数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数或完备数。
古希腊人非常重视完美数。
毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。
也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了48个完美数，而且都是偶完美数。
前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。
完美数有许多有趣的性质：1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+1272.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=23.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
例如: 28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。
例如:6=2^1+2^228=2^2+2^3+2^4496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^88128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^1233550336=2^12+2^13+……+2^245.完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。
)6.各位数字辗转式相加个位数是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。
完美数的知识点总结
完美数的知识点总结6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248完美数一直以来都是数学研究的一个重要课题，它们具有很多有趣的特性和性质。
在本文中，我们将对完美数的相关知识进行总结和介绍。
完美数的历史完美数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家尤凯里德（Euclid）认为完美数是神圣和完美的，并在他的《几何原本》中对完美数进行了讨论。
在古希腊时期，古罗马数学家提奥菲卢斯（Theophylus）也对完美数进行了相关研究。
随着数学的发展，完美数的研究逐渐深入，一些著名的数学家如费马、欧几里得、欧拉等人都对完美数进行了研究。
其中，欧拉在18世纪对完美数的性质做出了重要的贡献，他提出了许多关于完美数的猜想和定理。
直到今天，完美数仍然是数学研究的一个重要课题，许多数学家致力于发现新的完美数以及完美数之间的关系和性质。
完美数的性质完美数有许多有趣的性质，下面我们将逐一介绍。
完美数的定义一个正整数如果等于它的所有真因子之和，则称其为完美数。
其中，真因子是除了自身以外的所有正因子。
例如，6的真因子为1、2、3，它们的和为6，所以6是一个完美数。
完美数的表述完美数可以用数学符号表示为：Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中n是一个素数。
这个公式是由欧拉提出的，其中2^(n-1)是一个偶数，(2^n - 1)是一个素数。
因此，所有的完美数都可以表示为一个偶数乘以一个素数。
完美数的特征从定义和表述可以看出，完美数具有以下几个特征：1. 完美数必须是偶数。
因为假设P是一个奇数完美数，那么它的所有真因子中至少包含1和P本身，但P本身是奇数，所以P的真因子之和必定是一个偶数，这与完美数的定义相矛盾。
2. 完美数的素因子分解中一定有重复。
由表述可以得知，Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中2^(n-1)和(2^n - 1)都是Pn素因子分解中的一部分，由于n是素数，所以2^(n-1)和(2^n - 1)构成一对相异素数。
五年级下册数学课件-完全数 (共19张PPT) 人教版
数学宝库中的一颗璀璨明珠
哇！ 好漂亮啊！
我们一起去 看看吧!
数学宝库中的一颗璀 璨的明珠—完全数（也叫 完美数）
完全数？数还有 “完全”和“不
完全” ？
入口1: 什么是完全数？
入口2: 有不完全数吗？
欢迎来到“完全数的世界”！
入口3: 完全数有多少？
入口4: 完全数的特性？
一 什么是完全数？
神秘的完全数
完美数这颗数学宝库中的璀璨明 珠正以其独特魅力，吸引着更多的有 志者去探寻和研究。
神秘的完全数
人无完人，但数有完美数，它就 在那里静静等着我们去发现，你能发 现下一个完美数吗？
未来已来，让我 们一起努力！
谢谢观看！
主题：《完全数》 教材：人教版教材 年段：五年级下册
亏数：“4”这个数，它的因数有1， 2，4。而1+2<4，像这样的自然数叫做亏数；
所以，完全数就是既不盈余，也不亏 欠的自然数。
三 完全数知多少？
28也是完全数。
入口3: 完全数有多少？
1+2+4+7+14=28
公元6世纪的毕达哥拉斯是最早研 研究完全数的人，他已经知道6和28就是完 全数。在中国文化里有：六谷、六畜、六 国、六常、二十八星宿等，6和28在中国历 史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它们 是完全数。可见，中国发现完全数比西方 还早呢。
请输入6的因数！
咦， 还要输入密码？
入口1: 什么是完全数？
6的因数有： 1 ，2 ，3 ，6。
完全数（Perfect number）， 又称完美数或完备数，是一些特殊 的自然数。它所有的真因数（小于 它本身的因数）的和，恰好等于它 本身。这样的数称为“完全数”。
完全数
完全数完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。
它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。
第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。
后面的完全数还有8128、33550336等等。
1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+1272.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=23.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
例如:28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。
完美数
完美数究竟人类从何时开始研究完美数，我们并不知道。
但埃及人，已经很自然的用它来计算了。
而毕达哥拉斯〈Pythagoras〉和他的门徒研究完美数的神秘色彩却多于数的理论性质。
比较早对完美数的定义是关于整除的部份，当某数等于其所有因子和时，它即是完美数。
例如 1=10/10，2=10/5，5=10/2但是 10≠1+2+5，所以 10不是完美数。
而最早找出的四个完美数是 6，28，496和8128，发现者已无法考证。
6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+2488128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064公元前300年，在欧几理得几何原本是数学史上最早有关于完美数的记录。
因它是记录在几何原本中，所以让人感到相当惊讶！其记录在几何原本第九册性质36，叙述如下：从1开始一直2倍的相加，直到总和为质数时，此质数再乘以最后相加的数，即为完美数。
例如：1+2+4=7，因为7是质数，所以〈总和〉‧〈最后一个数〉=7*4=28，28就是完美数。
又如1+2+4+8+16=31，因为31是质数，所以31*16=496，496就是完美数。
因此综合得公式如下：1+2+4+8+……+2k-1 =2k–1若k>1，2k–1是质数时，则2k-1(2k–1)就是完美数。
于公元100年，希腊的Nicomachus是第二位严谨地讨论完美数者，在他的名著Introductio Arithmetica中，将数分成三类─第一类：过剩的数─整除部分的和超过自己。
第二类：不足的数─整除部分的和小于自己。
第三类：完美的数─整除部分的和等于自己。
后来Nicomachus虽未经证明，仍推论出关于完美数的部分性质。
以现代的定义叙述如下─(1)第n个完美数有n位数。
(2)所有完美数皆为偶数。
(3)所有完美数的尾数都是6或8这二数交替。
(4)以欧几里得生成完美数之公式，即可得所有完美数。
完美数的公式
完美数的公式完美数，这玩意儿听起来是不是有点神秘兮兮的？其实在数学的世界里，它可是个特别有趣的存在。
咱先来说说啥是完美数。
简单说，一个数如果它的真因子（就是除了自身以外的约数）之和等于它本身，那这个数就是完美数。
比如说 6 这个数，它的真因子是 1、2、3，而 1 + 2 + 3 恰好等于 6，所以 6 就是一个完美数。
那有没有啥公式能找出完美数呢？还真有！古希腊的数学家欧几里得就发现了一个找完美数的公式。
这公式是：如果2^p - 1 是一个质数，那么 2^(p - 1) × (2^p - 1) 就是一个完美数。
我给您举个例子哈。
比如说当 p = 2 时，2^2 - 1 = 3，3 是质数。
那按照公式，2^(2 - 1) × (2^2 - 1) = 2 × 3 = 6，嘿，这不就是咱刚刚说的那个完美数 6 嘛！再比如说当 p = 3 时，2^3 - 1 = 7，7 也是质数。
那 2^(3 - 1) × (2^3 -1) = 4 × 7 = 28，28 也是个完美数，它的真因子是 1、2、4、7、14，1 +2 + 4 + 7 + 14 = 28，一点儿没错！不过您可别觉得有了这个公式，找完美数就像从树上摘果子那么容易。
实际上，要判断 2^p - 1 是不是质数可不容易，得费不少功夫呢。
记得有一次，我给班上的孩子们讲完美数的公式。
有个小家伙特别较真儿，非得自己动手算几个试试。
他算得满头大汗，嘴里还念念有词。
我就在旁边看着，心里偷着乐。
最后他算出了一个结果，兴奋得跳了起来，那股子认真劲儿，真让人觉得可爱。
这完美数的公式虽然厉害，但到现在为止，人们发现的完美数还是少得可怜。
数学的世界就是这么奇妙，一个小小的公式，能引出这么多的思考和探索。
也许未来的某一天，会有更厉害的公式或者方法，让我们能更容易地找到更多的完美数。
但不管怎样，就现在这个公式，也已经让我们在数学的海洋里畅游了一番，感受到了其中的乐趣和奥秘。
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本组组员： 曹慧婷 邬皓婷 秦苑嘉
乌世杰
完全数
本组组员： 曹慧婷 邬皓婷 秦苑嘉
乌世杰
什么是完全数？
完全数பைடு நூலகம்特征
完全数都是以6或8结尾的
本组组员为大家找到的8个完全数
6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128
完全数的历史
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全 数 毕达哥拉斯。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽， 因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来 人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时 所用的基本数字，他们指出，上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕 地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝 造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天 之内把一切事物都造好了。 完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很 久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了 地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成 员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样， 正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的 数论、坏的东西 却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。 但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位 数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾 巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远 是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多， 直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。 电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言： “能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。” 时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成 为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需 要满足一系列苛刻的条件。