关于奇完全数的研究
本文主要讨论的是奇完全数的存在性问题
英文摘要 (1)中文摘要 (2)梅森数的性质 (3)引理 1.1 (3)引理 1.2 (3)引理 1.3 (4)引理 1.4 (5)完全数与Euler定理 (5)定理 2.1 (5)奇完全数不是完全数的命题 (5)命题 3.1 (6)命题 3.2 (7)命题 3.3 (8)推论 3.4 (8)命题 3.5 (9)命题 3.6 (9)命题3.7 (10)奇完全数的两个充分必要条件 (10)定理4.1 (10)定理 4.2 (12)参考文献 (13)In this paper. We mainly discuss the existence of the odd perfect numbers. As a matter of fact, It is a very difficult problem to find an odd perfect number. It is an international puzzle. Nevertheless, We find 5criterions of an odd perfect number being not a an perfect number. Meanwhile we also find 2 necessary and sufficient conditions of the odd perfect numbers. At the same time, We cited the conclusions about the correspondence between the odd perfect number and the Mersenne’s prime, and we also prove the Euler Theorem of perfect number in our context.Key words: perfect number Mensenne’s prime odd perfect numberNumber theory摘要本文主要讨论的是奇完全数的存在性问题，但是直截回答奇完全数存在与否是非常困难的，它是一个世界性的难题。
数海探奇(精)
数海探奇数字海洋是一个绚丽多彩的万花筒。
它浩瀚无垠，深不知底，广不见岸。
其中蕴藏着无穷奥秘。
在这个海洋里，几千年来，人类一直在不停地探索、研究，虽然已经揭开它的部分面纱，但是背后隐藏的奥妙，还深邃莫测。
当数字中蕴含的某些奇妙特性被揭示出来，当运算中发现了某种奇异现象，惊诧赞叹之感便油然而生。
那些规律性的运算现象，那些象形性的数字排列，更激发了人们研究探索的热情。
人们已经发现各种各样非常奇特的数：音乐数、奇异数、魔术数……还发现运算中出现的数字山、数字塔、数字黑洞、数字旋涡……走进数海便如同进入魔宫，那五彩缤纷绚丽多姿的数字奇景，令人目不暇接，留连忘返。
数字奇观，是人类在数海遨游中发现的奇特风景，它仅仅是数学海洋这个奇妙世界的一小部分。
毫无疑问那些隐藏在数海深处的秘密，还有待于后来者进一步地探索、发现。
然而，仅这些已发现的数字奇景，也足以令人惊诧叫绝。
1.对称数文学作品有“回文诗”，如“山连海来海连山”，不论你顺读，还是倒过来读，它都完全一样。
有趣的是，数学王国中，也有类似于“回文”的对称数！先看下面的算式：11×11=121111×111=123211111×1111=1234321……由此推论下去，12345678987654321这个十七位数，是由哪两数相乘得到的，也便不言而喻了！瞧，这些数的排列多么像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齐有序。
还有一些数，如：9461649，虽高低交错，却也左右对称。
假如以中间的一个数为对称轴，数字的排列方式，简直就是个对称图形了！因此，这类数被称作“对称数”。
对称数排列有序，整齐美观，形象动人。
那么，怎样能够得到对称数呢？经研究，除了上述11、111、1111……自乘的积是对称数外，把某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数。
如：47515851便是对称数。
再如：7234对称数也出现了：1136311。
对“完全数”的思考
对“完全数”的思考作者：暂无来源：《发明与创新·中学生》 2015年第11期文长沙市长郡中学1307班曾峻爵完全数又称完美数，指的是某数所有真约数（除了该数本身之外的约数）之和为该数本身（如6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14）。
在完全数简洁特性的背后，有着丰富的内涵与无穷的吸引力。
一、希腊人的错误从6、28、496与8128四个连续的完全数中，富于想象力的希腊人看到了一些有趣的现象：它们分别为1、2、3、4位数，而且尾数为6或8交替出现。
由此希腊人推断出，第n个完全数将是n位数，而且尾数是6或8，并交替出现。
遗憾的是，更多的完全数被发现，这两个猜测也不攻自破。
例如，第五个完全数是33550336，是8位数（而不是5位），接下来的三个完全数分别为8589869056（10位）、137438691328（12位）、 2305843008139952128（19位）。
可以看到，完全数的位数在增多，而第30个完全数赫然是个13万位数的庞然大物。
同时假设二也不成立，第5、6个完全数的尾数都是6，并非以6、8交替出现。
二、完全数的特点1.每个完全数都可用从1开始的连续奇数个正整数的和表示，如6=1+2+3。
2.除6之外，所有完全数都可用从1开始的连续奇数的立方和表示，如28=13+33。
3.一个完全数的所有约数的倒数和等于2。
欧几里得对完全数进行了一番研究，得出以下定理：若 2p-1为素数，则（2p-1）2p-1是完全数，公式为（2n-1）2n-1，当n分别取2、3、5、7时，可分别得出6、28、496和8128 （前4个完全数）。
三、问题的提出仔细审视上述公式发现：当得出前4个完全数时，n的值全是素数，而此时的2n-1分别为3、7、31、127，也全为素数。
在2000年后的18世纪，瑞士数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数。
于是人们不禁产生两个疑问：1.是否存在奇数完全数？奇数完全数猜想：到目前为止，人们所知道的完全数都是偶数，且都形如2p-1。
数字之间的规律
数字之间的规律数字之间有着丰富的规律和关系，它们是数学中的重要研究对象。
以下将介绍一些数字之间常见的规律。
一、自然数的规律自然数从1开始，依次递增，每个自然数都可以通过前一个自然数加1得到。
例如，2是1加1得到，3是2加1得到，以此类推。
这是最基本的自然数规律。
二、奇数和偶数的规律自然数中，可以被2整除的数字称为偶数，不能被2整除的数字称为奇数。
奇数和偶数之间交替出现，例如1是奇数，2是偶数，3又是奇数，4又是偶数，以此类推。
三、素数的规律素数是指只能被1和自身整除的自然数，除了1以外的最小素数是2。
素数的规律是不可预测的，它们在自然数中分布随机而稀疏。
例如，2、3、5、7、11、13等都是素数。
四、完全数的规律完全数是指除自身外所有因子的和等于自身的自然数。
最小的完全数是6，因为6的因子1、2、3的和等于6。
完全数的规律非常罕见，目前只知道少数几个完全数，如6、28、496等。
五、斐波那契数列的规律斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21等。
斐波那契数列的规律在自然界中广泛存在，如植物的叶子排列、兔子繁殖等。
六、等差数列的规律等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差相等。
例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的规律可以用一个通项公式来表示，如第n项为a+(n-1)d，其中a为首项，d 为公差。
七、等比数列的规律等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比相等。
例如，1、2、4、8、16就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的规律可以用一个通项公式来表示，如第n项为a*r^(n-1)，其中a为首项，r 为公比。
八、黄金分割的规律黄金分割是指将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长的比等于另一部分与这部分的比。
黄金分割的比例约为1:1.618。
黄金分割在艺术、建筑等领域被广泛应用，被认为是一种美学上的最佳比例。
世界近代三大数学难题之一-哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
魅力无穷的完全数探因
魅力无穷的完全数探因公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。
他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数（也称完美数）。
（真因数：列出某数的因数，去掉该数本身，剩下的就是它的真因数）。
微视频介绍定义如果一个数恰好等于它的真因数之和，则称该数为“完全数” ，又称完美数。
（真因数：列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真因数）。
例如：第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。
第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
第三个完全数是496，有因数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。
后面的完全数还有8128、33550336等等。
历史公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。
圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。
在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。
难怪有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。
它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。
是否存在奇完全数
其次查阅这方面有关重要思想及方法应用
也适当阅读数论方面伟大代表人物的书籍，观点 及其成就目前有为大家所熟悉的高斯和陈景润 （在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是数 论的方法），俄国数学家车比雪夫 。还有数论 新秀著名青年数学家张寿武
主要参考文献
1.中国数学资源网 《数学的100个基本问题》 《数学与文化》 《希尔伯特的23个数学问题回顾》 “数学进展”杂志
学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整 数性质的分支。
早在公元前300年，古希腊数学家欧几里得在他
的名著《几何原本》中证明，如果2n－1是一个质数，则 2n—1(2n－1)一定是一个完全数。很显然，这个公式给出 的完全数必定是偶数。后来瑞士数学家欧拉进一步证明： 每一个偶完全数必定是欧几里得给出的形式。这样一来， 欧几里得公式成了数学家寻找完全数的线索。即使如此， 寻找完全数也十分困难。
1456年，人们才发现了第5个完全数：33550336，
它是一个偶数。
19世纪初，人们才找到第9个完全数，它有37位：
2658455991569831744654692615953842176，也是偶 数。到1996年为止，人们总共找到了33个完全数，而且 其中大部分是用电子计算机找到的。
目前此问题的研究现阶段大致状况
是否存在奇完全数的研究
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关于奇完全数的研究姓名：XXX 专业班级：信息与计算科学2005XXXXXX 指导教师：XXX摘要本文首先介绍了完全数的一些基本性质和当前研究状况，鉴于偶完全数与梅森素数一一对应的特殊关系,接着对梅森素数进行了介绍。
完全数各因子（除1）的倒数和等于1，也就是有若干个循环小数相加，它们的和是1。
于是本文又对循环小数的性质进行了讨论，并得出了可喜的结果：两个循环节位数不相等的小数相加，它们的和不会等于1；偶完全数的非2幂因子项的倒数的循环节位数相等。
在这个过程中意外的得到了“一个素数，只要非2与5，那么它就会整除一个全1数”。
迄今为止,人类共发现46个完全数,且均为偶完全数.是否有奇完全数存在,至今尚未解决。
本文在奇完全数存在的条件下,研究了奇完全数的各因子倒数循环节的规律，得到两个性质：奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会是互异的素数；奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会相等。
【关键词】完全数；梅森素数；循环节；奇完全数Study on the Odd Perfect NumberAbstract：This thesis firstly introduce some of the basic nature and current research status of the Perfect Number.In view of Even Perfect Number correspondence with Mersenne prime,then Mersenne prime to have been introduced.The toal multiplicative inverse of all factor (except 1)of Odd Perfect Number equal 1,in other words,some recurring decimal for adder,the sum equal 1.Then reserth on the recurring decimal,have some encouraging conclusions:if two recurring decimal for adder,have unequal recurrent length,then sum of them can't equal 1; Even Perfect Number non-2 factor have equal recurent length.And have a surprise conclusion:a prime,if it is not 2、5,can divide a all 1 number.So far, 46 perfect numbers have been found, and they are all Even Perfect Numbers. It is not known whether or not there exists an Odd Perfect Number. In the paper, on the supposition that Odd Perfect Number do exist,give two conclusions:the length of factor's multiplicative inverse of Odd Perfect Number can't all prime number,and can't all equal!Keywords: perfect number; Mersenne prime; recurrent number; odd perfect number目录符号说明.................................................................................................................... - 1 - 第1章前言.............................................................................................................. - 2 - 第2章预备知识...................................................................................................... - 5 - 第3章梅森素数...................................................................................................... - 7 -3.1有关概念、定理.......................................................................................... - 8 -3.2 梅森素数判定法的算法设计..................................................................... - 8 -3.3有关梅森素数分布规律的研究.................................................................. - 9 -3.4现今的46个梅森素数...............................................................................- 10 - 第4章循环小数.....................................................................................................- 12 - 第5章奇完全数.....................................................................................................- 19 - 结论.........................................................................................................................- 21 - 致谢.........................................................................................................................- 22 - 参考文献...................................................................................................................- 23 -符号说明本文中未加说明的字母均表整数，以下是全篇通用符号，如在个别地方有不同含义则将明确说明。
其他符号会在所含章节说明。
1、)(m σ表示正整数m 的正因子(包括1与m )的和；2、b a |表示a 能整除b ；3、)(n ϕ表示欧拉函数；4、p M 表示由正整数p 所形成的梅森数,记为12-=pp M； 5、gcd(,)m n 表示整数n m 和的最大公约数6、lcm (,)m n 表示整数n m 和的最小公倍数7、)2(12+n M π表示当122+<n p 时,梅森素数的个数；8、120.n a a a 表示这是一个无限循环小数，循环节为12n a a a ；9、(s)RF 表示整数s 的真因子；第1章 前言数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支[13]。
数论在数学中的地位是独特的，素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”。
因此数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
下面简要列出几颗“明珠”：费马大定理、孪生素数问题、哥德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题…数论的一个主要任务，就是研究整数（尤其是正整数）的性质[4，12]。
由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。
其中初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
公元前6世纪以前，古希腊人在对整数的因子分解过程中，发现有些数具有下面奇特的性质，就是它的所有真因子（即除自身以外的约数）之和等于这个数本身！称之为完全数[10，11，12]。
例如6，它有1，2，3，6四个约数，除去其本身，其余三个数相加：1+2+3=6。
在仅依靠手工计算的年代下，古希腊人只发现了4个完全数，分别是：6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+31+62+124+2488128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
”公元前300年左右，古希腊学者欧几里得（Euclid ）在其《几何原本》中给出了寻找完全数的方法“如果p 和12-p 都是素数，那么自然数)12(21-⋅-p p 一定是完全数”，并给出了证明，以下文中称之为欧几里得完全数定理。
人们发现4个完全数后，吸引了许多的数学家去探觅完全数珠宝。
1644年，法国数学家梅森（M. Mersenne,1588--1648）在没有证明的情况下武断的说：当257≤p 时，只有当p 取2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257时，)12(21-⋅-p p 是完全数，而对于其余的整数p ，)12(21-⋅-p p 为合数[7，8，9]。
这就是历史上著名的“梅森猜测” ，而形如12-p 的数被称为“梅森数”，其中的素数称为“梅森素数”。
梅森猜测中包含着若干错漏，人类花了200多年才辨明其真伪。